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2024-08-26T12:54:52Z

HC: Ergänze Kategorie:Pierre-Simon Laplace als Namensgeber

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Der '''Laplace-Filter''' bzw. '''diskrete Laplace-Operator''' ist ein [[Filter (Bildverarbeitung)|Filter]] zur [[Kantendetektion]],
der den [[Laplace-Operator]] (Summe der beiden reinen zweiten Ableitungen) approximiert:
:<math>\Delta f= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>
Unter einer Kante versteht man nun eine Kurve <math>\vec{g}(t)</math>, entlang derer der Gradient des Bildes <math>f</math> immer in Normalenrichtung zeigt (das heißt eine [[Isolinie]]):
:<math>f(\vec{g}(t)) \implies \frac{df}{dt}=\nabla f|_{\vec{g}(t)} \cdot \frac{\partial \vec{g}}{\partial t}=0 </math>
Das Vektorfeld <math>\nabla f</math> ist also im Bereich der Kante quellenfrei.
Eine Kante kann sich also nur einstellen, falls folgende Gleichung erfüllt ist:
:<math>0=\nabla\cdot(\nabla f)=\Delta f</math>
Man sucht also die Nulldurchgänge eines Laplace-gefilterten Bildes. Allerdings ist hierbei zu beachten, dass auch <math>\Delta f</math> homogener Flächen gleich null sind. Der Laplace-Filter liefert also nur eine Obermenge der möglichen Kanten.

== Funktionsweise ==
[[Datei:Kanten laplace.png|mini|400px|Berechnung der zweiten Ableitung von Kanten in einem verrauschten 1D-Signal]] In der nebenstehenden Abbildung ist ein verrauschtes Signal gezeigt, von dem die zweite Ableitung berechnet wurde. Die Kante taucht hier als Nulldurchgang des Signals auf. Auf ein diskretes Signal ''g<sub>n</sub>'' bzw. ''g<sub>nm</sub>'' wird der Laplace-Operator über eine [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] angewendet. Dabei kann man folgende einfache [[Faltungsmatrix|Faltungsmasken]] verwenden (siehe [[Laplace-Operator#Diskreter Laplace-Operator|Diskreter Laplace-Operator]]):
:'''1D:''' <math>\quad \vec{D}^2_x \; =\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\end{bmatrix}</math>
:'''2D:''' <math>\quad \mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}</math>
Für das 2D-Filter gibt es noch eine zweite Variante, welche im Unterschied zur oberen Variante zusätzlich auf 45°-Kanten anspricht:
:'''2D:''' <math>\quad \mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -8 & 1\\1 & 1 & 1\end{bmatrix}</math>
Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten. Am Ende des Artikels sieht man Beispiele für die Anwendung des Laplace-Filters.

== Übertragungsfunktion und Isotropie des Filters ==
[[Datei:Laplacetf.png|mini|400px|Übertragungsfunktion verschiedener Laplace-Filter]]
Die Übertragungsfunktion ([[Fourier-Transformation|Fourier-Transformierte]]) des idealen Laplace-Operators Δ lautet:
:<math>\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\ \ \ \ \circ-\bullet\ \ \ \ -4\pi^2|\vec k|^2</math>
Ein diskretisierter Laplace-Operator muss diese parabolische Übertragungsfunktion möglichst gut approximieren.

Die Abbildung rechts zeigt die [[Übertragungsfunktion]] des ersten 2D-Laplace-Filters. Man sieht deutlich die Anisotropie und den [[Hochpass]]-Charakter der Übertragungsfunktion. Als Formel lautet sie:
:<math>\hat{l}(\vec k)=-4\sin^2(\pi k_x/2)-4\sin^2(\pi k_y/2)</math>
Sie zeigt um <math>\vec k=0</math> Ähnlichkeit zur idealen Übertragungsfunktion des Laplace-Operators.

Man kommt zu einer isotroperen Approximation des Laplace-Operator, wenn man eine etwas andere Darstellung des Laplace-Filters wählt:
:<math>
4(\mathcal{B}^2-\mathcal{I})
= \frac{1}{4}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & -12 & 2 \\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix}
</math>
Dabei ist <math>\mathcal{B}^2</math> der 3×3-[[Gauß-Filter|Binomialfilter]] (Glättungsfilter) und <math>\mathcal{I}</math> ein „Einheits-Filter“/δ-Puls, der das Bild auf sich selbst abbildet (Die Punktantwort ist überall null, bis auf das zentrale Pixel. Dort ist sie 1). Die Übertragungsfunktion dieses Filters lautet:
:<math>\hat{l}(\vec k)=-4\cos^2(\pi k_x/2)\cdot\cos^2(\pi k_y/2)-4</math>
Diese Übertragungsfunktion ist ebenfalls in der Abbildung rechts enthalten. Es zeigt sich, dass sie wesentlich isotroper ist als die erste Version.

== Beispielbilder ==
[[Datei:Laplace beispiel.png|Anwendung des Laplace-Filters (einfachste Filtermaske) auf ein Testbild]]
<gallery>
Boxfilter pavilion original.jpg|Originalbild
Laplace operator1.jpg|Bild gefiltert mit der einfachsten Filtermaske (Anklicken zum Vergrößern)
Laplace operator2.jpg|Bild gefiltert mit der zweiten Filtermaske (Anklicken zum Vergrößern)
</gallery>

== Software ==
Der Laplace-Filter kann mit dem Grafikprogramm [[GIMP]]<ref>{{Internetquelle |url=https://docs.gimp.org/2.8/de/plug-in-laplace.html |titel=7.4. Laplace |werk=GNU Image Manipulation Program - Benutzerhandbuch |hrsg=GIMP |abruf=2018-11-29}}</ref> über die Menüaufrufe Filter → Kanten finden → Kanten ausgeführt werden. In den freien Bildverarbeitungsbibliotheken [[Scikit-image]]<ref>{{Internetquelle |url=https://scikit-image.org/docs/dev/api/skimage.filters.html#skimage.filters.laplace |titel=Module: filters — skimage v0.15.dev0 docs |abruf=2018-11-29 |sprache=en}}</ref> und [[OpenCV]]<ref>{{Internetquelle |url=https://docs.opencv.org/master/d5/db5/tutorial_laplace_operator.html |titel=OpenCV: Laplace Operator |abruf=2018-11-29 |sprache=en}}</ref> ist er ebenfalls implementiert.

== Siehe auch ==
* [[Prewitt-Operator]]
* [[Sobel-Operator]]

== Literatur ==
* [[Bernd Jähne]]: ''Digitale Bildverarbeitung.'' 6., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2005, ISBN 3-540-24999-0
* Russell Merris: ''Laplacian matrices of graphs: a survey.'' In: Linear Algebra and its Applications. 197–198, 143–176 (1994). {{ISSN|0024-3795}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kantendetektion]]
[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Pierre-Simon Laplace als Namensgeber]]

Laplace-Filter - Versionsgeschichte

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