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2024-02-07T17:59:54Z

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'''Langzeitkorrelationen''', auch '''Langzeit[[persistenz]]''', '''Erhaltungsneigung''' oder '''Memory-Effekt''' genannt, sind [[Korrelation]]en mit [[Grenzwert (Funktion)|divergierender]] [[Korrelationslänge]].

Bei positiven Korrelationen folgt auf einen hohen Wert eher ein weiterer hoher und auf einen niedrigen ein niedriger; bei Langzeitkorrelationen gilt dies aufgrund der langsam abfallenden [[Autokorrelation|Korrelationsfunktion]] ebenso für ausgedehnte hohe bzw. niedrige Bereiche, die dann auf gleiche Weise miteinander korreliert sind wie die Einzelwerte. Dies führt zu einer ausgeprägten Berg- und Talstruktur, die sich etwa darin äußert, dass sich langzeitkorrelierte Sequenzen nur schwer von [[Trend (Statistik)|Trends]] abgrenzen lassen.

Langzeitkorrelationen sind [[Selbstaffinität|selbstaffine]] Strukturen, die [[Selbstähnlichkeit]] nur unter [[anisotrop]]er Längentransformation zeigen. Damit also z. B. eine langzeitkorrelierte Reihe aus [[Zufallszahl]]en sich selbst ähnelt, müssen die [[Abszisse]] und die [[Ordinate]] mit ''unterschiedlichen'' Faktoren gestreckt oder gestaucht werden.

Eine Erweiterung der Beschreibung von Langzeitkorrelationen stellt die [[Multifraktal]]ität dar, bei der verschiedene [[Moment (Stochastik)|Momente]] unterschiedlich langzeitkorreliert sind, was besonders stark bei Abfluss[[zeitreihe]]n auftritt.

== Auftreten ==
Langzeitkorrelationen sind bisher hauptsächlich bei [[Autokorrelation]]en untersucht worden, können grundsätzlich aber auch bei [[Kreuzkorrelation]]en und allgemein im [[multivariat]]en Fall auftreten. Sie wurden in den verschiedensten Bereichen gefunden, z. B. in
* [[Abfluss]][[Zeitreihenanalyse|zeitreihen]]
* langen [[Wetter]]<nowiki />aufzeichnungen
* [[DNA-Sequenz]]en
* Schwanken des [[Herzfrequenz|Herzschlags]]
* [[Fluktuation]]en in neuronalen [[Aktionspotential]]en
* dem menschlichen [[Gehen|Gang]].

Erstmals wurde der Effekt der Langzeitkorrelationen 1951 von [[Harold Edwin Hurst|H.E. Hurst]] bei der Untersuchung der langjährigen [[Nil]]<nowiki />reihe beschrieben. Er untersuchte, welche [[Pegel (Wasserstandsmessung)|Pegel]]<nowiki />schwankungen des Nils ein [[Staudamm]] fassen muss, ohne überzulaufen oder auszutrocknen, was zu seiner [[R/S-Analyse]] mit dem [[Hurst-Exponent]]en <math>H</math> (verwandt mit <math>\alpha</math>, s. u.) führte. Im Zuge der [[Chaosforschung]] wurde die Thematik aufgegriffen und ist heute in vielen Bereichen Gegenstand der Forschung.

== Mathematische Beschreibung ==
Bei Langzeitkorrelationen hat das [[Integralrechnung|Integral]] über die Korrelationsfunktion <math>C(s)</math> keinen endlichen Wert:

: <math>s_{\times} = \int_0^\infty \! \! C(s) \cdot {\rm d}s \quad \rightarrow \quad \infty \, .</math>

Dies gilt vor allem für eine [[Potenzfunktion|potenzgesetzartig]] abfallende Korrelationsfunktion:

: <math>C(s) \sim s^{-\gamma}</math>

mit einem [[Korrelationsexponent]]en <math>0<\gamma<1</math> (im eindimensionalen Fall).

Derartige Korrelationen können mit verschiedenen Methoden [[Quantifizierung|quantifiziert]] werden:
* die [[Numerische Mathematik|numerisch]] berechnete Korrelationsfunktion liefert den obigen Korrelationsexponenten <math>\gamma</math>.
* das [[Spektrale Leistungsdichte|Leistungsspektrum]] fällt ab mit dem [[Exponent (Mathematik)|Exponenten]] <math>\beta</math>.
* die [[Trendbereinigende Fluktuationsanalyse|Fluktuationsanalyse]] zeigt den [[Fluktuationsexponent]]en <math>\alpha</math>.
* und andere, z. B. [[Wavelet]]s.
Zwischen den drei Exponenten gelten die Beziehungen:

:<math>\begin{alignat}{2}
& \alpha + \gamma/2 && = 1\\
& \beta + \gamma && = 1 \, ,
\end{alignat}</math>

letztere kann mittels des [[Wiener-Chintschin-Theorem]]s gezeigt werden.

Im Gegensatz zu Langzeitkorrelationen haben [[Kurzzeitkorrelation]]en, die z. B. aus einem [[Autoregressiver Prozess|autoregressiven Prozess]] hervorgehen, eine endliche Korrelationslänge, z. B.

:<math>C(s) = {\rm e}^{-s/s_\times}</math>.

== Literatur ==
* [[Harold Edwin Hurst]]: ''Long-term storage capacity of reservoirs''. In: ''Transactions of the [[American Society of Civil Engineers]]'', Bd. 116 (1951), Heft 2447, S. 770–808, {{ISSN|0066-0604}}
* Jens Feder: ''Fractals'' (Physics of solids and liquids). Plenum Press, New York 1988, ISBN 0-306-42851-2.
* [[Armin Bunde]], [[Shlomo Havlin]] (Hrsg.): ''Fractals and Disordered Systems''. 2. Auflage. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-56219-2.
* Armin Bunde, Jan W. Kantelhardt: [https://websrv.physik.uni-halle.de/Fachgruppen/kantel/22-01-Phys_Bl_57_49.pdf ''Langzeitkorrelationen in der Natur: von Klima, Erbgut und Herzrhythmus''.] (PDF; 896 kB). In: ''[[Physik Journal|Physikalische Blätter]]'', Band 57, 2001, S. 49–54, {{ISSN|1617-9439}}.

[[Kategorie:Geostatistik]]
[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]

Langzeitkorrelation - Versionsgeschichte

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