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2025-11-08T19:21:40Z

Geometrisches Langlands-Programm

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Das '''Langlands-Programm''' der [[Mathematik]] besteht in einer Reihe von weitreichenden [[Vermutung (Mathematik)|Vermutungen]], die die [[Zahlentheorie]] und die [[Darstellung (Gruppe)|Darstellungstheorie]] von [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] miteinander verknüpfen. Sie wurden von [[Robert Langlands]] seit 1967 aufgestellt.

== Verbindung zur Zahlentheorie ==
Als Ausgangspunkt des Programms kann man das [[Artinsches Reziprozitätsgesetz|Reziprozitätsgesetz]] von [[Emil Artin]] ansehen, das das [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz|quadratische Reziprozitätsgesetz]] verallgemeinert. Artins Reziprozitätsgesetz ordnet einem [[Algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlkörper]], dessen [[Galoisgruppe]] über <math>\mathbb Q</math> [[Abelsche Gruppe|kommutativ]] (abelsch) ist, eine [[L-Funktion]] der eindimensionalen Darstellungen der Galoisgruppe zu und besagt, dass diese L-Funktion mit einer gewissen [[L-Reihe|Dirichletschen L-Reihe]] übereinstimmt.

Für nichtabelsche Galoisgruppen und höherdimensionale Darstellungen kann man ebenfalls L-Funktionen in natürlicher Weise definieren.

== Automorphe Darstellungen ==
Die Idee von Langlands war es, eine geeignete Verallgemeinerung der Dirichletschen L-Funktionen zu finden, die es erlaubt, die Aussage von Artin in diesem allgemeineren Rahmen zu formulieren.

[[Erich Hecke|Hecke]] hatte schon früher Dirichletsche L-Funktionen mit [[Automorphe Form|automorphen Formen]], also mit [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] der [[Halbebene#Obere Halbebene|oberen Halbebene]] der [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] <math>\mathbb C</math>, die gewisse [[Funktionalgleichung]]en erfüllen, in Verbindung gebracht (siehe [[Hecke-Operator]]). Langlands verallgemeinerte dies auf ''[[automorphe kuspidale Darstellung]]en.'' Dabei handelt es sich um unendlichdimensionale irreduzible Darstellungen der [[Allgemeine lineare Gruppe|allgemeinen linearen Gruppe]] <math>\mathrm{GL}_n</math> über dem [[Ring (Algebra)|Ring]] der [[Adelering|Adele]] von <math>\mathbb Q</math>, wobei dieser Ring alle [[Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigungen]] von <math>\mathbb Q</math> berücksichtigt, siehe [[p-adische Zahlen]].

Langlands wies diesen automorphen Darstellungen gewisse L-Funktionen zu und vermutete, dass jede L-Funktion einer endlichdimensionalen Darstellung der Galoisgruppe mit der L-Funktion einer automorphen kuspidalen Darstellung übereinstimmt. Dies ist die sogenannte „Reziprozitätsvermutung“.

== Ein allgemeines Funktorialitätsprinzip ==
Langlands verallgemeinerte dies noch weiter: Anstelle der allgemeinen linearen Gruppe <math>\mathrm{GL}_n</math> kann man andere [[reduktive Gruppe]]n betrachten. Zu einer solchen Gruppe <math>G</math> konstruierte Langlands eine komplexe [[Lie-Gruppe]] <math>{}^{\mathrm{L}}G</math>, und für jede automorphe kuspidale Darstellung von <math>G</math> und jede endlichdimensionale Darstellung von <math>{}^{\mathrm{L}}G</math> definierte er eine L-Funktion. Eine seiner Vermutungen besagt dann, dass diese L-Funktionen gewisse Funktionalgleichungen erfüllen, die solche von bekannten L-Funktionen verallgemeinern.

In diesem Rahmen formulierte Langlands ein allgemeines „Funktorialitätsprinzip“: Wenn zwei reduktive Gruppen und ein Morphismus zwischen ihren L-Gruppen gegeben sind, so sind diesem vermuteten Prinzip nach ihre automorphen Darstellungen miteinander in einer Weise verbunden, die mit ihren L-Funktionen verträglich ist. Diese Funktorialität impliziert alle anderen Vermutungen. Es ist vom Typ her die Konstruktion einer [[induzierten Darstellung]], was in der traditionellen Theorie der automorphen Formen eine „Liftung“ genannt wurde. Versuche, eine solche Konstruktion direkt anzugeben, haben nur zu eingeschränkten Resultaten geführt.

All diese Vermutungen können auch für andere [[Körper (Algebra)|Körper]] formuliert werden. Anstelle von <math>\mathbb Q</math> kann man [[Algebraischer Zahlkörper|algebraische Zahlkörper]], [[Lokaler Körper|lokale Körper]] und [[Funktionenkörper]], d. h. endliche [[Körpererweiterung]]en von <math>\mathbb F_p(t)</math>, betrachten, wobei <math>p</math> eine [[Primzahl]] und <math>\mathbb F_p(t)</math> den Körper der rationalen Funktionen über dem [[Endlicher Körper|endlichen Körper]] mit <math>p</math> Elementen bezeichnet.

== Ideen, die zum Langlands-Programm führten ==
In das Programm gingen folgende Ideen ein: die ''Philosophie der Spitzenformen,'' die einige Jahre zuvor von [[Israel Gelfand]] formuliert worden war, der Zugang von [[Harish-Chandra]] zu [[Halbeinfache Liegruppe|halbeinfachen]] [[Liegruppe]]n und im technischen Sinn die [[Selbergsche Spurformel|Spurformel]] von [[Atle Selberg|Selberg]] und anderen. Das Neue in Langlands Arbeit war, neben der technischen Tiefe, die vermutete direkte Verbindung zur Zahlentheorie und die funktorielle Struktur des Ganzen.

In den Arbeiten von Harish-Chandra findet man beispielsweise das Prinzip, dass man das, was man mit einer halbeinfachen (oder reduktiven) Liegruppe tun kann, für alle machen sollte. Wenn somit die Rolle von niederdimensionalen Liegruppen wie der <math>\mathrm{GL}(2)</math> in der Theorie der [[Modulform]]en erkannt worden war, so war der Weg offen für Spekulationen über <math>\mathrm{GL}(n)</math> für beliebiges <math>n > 2</math>.

Die Idee der ''Spitzenform'' rührte von den Spitzen bei [[Modulkurve]]n her, sie war aber auch sichtbar in der [[Spektraltheorie]] als [[diskretes Spektrum]], im Gegensatz zu dem [[Kontinuierliches Spektrum|kontinuierlichen Spektrum]] von [[Eisensteinreihe]]n. Dieser Zusammenhang wird für größere Liegruppen technisch weit komplizierter, da die [[Parabolische Untergruppe|parabolischen Untergruppen]] zahlreicher sind.

== Ergebnisse und Preise ==
Teile des Programms für lokale Körper wurden 1998 beendet und das für Funktionenkörper 1999. [[Laurent Lafforgue]] erhielt 2002 die [[Fields-Medaille]] für seine Arbeiten im Fall von Funktionenkörpern. Diese setzten frühere Untersuchungen von [[Vladimir Drinfeld]] fort, der 1990 ebenfalls mit der Fields-Medaille ausgezeichnet wurde. Für Zahlkörper ist das Programm nur in wenigen speziellen Fällen bewiesen, zum Teil von Langlands selbst. Für lokale Funktionenkörper wurde die Langlandsvermutung von [[Gérard Laumon]], [[Michael Rapoport]], [[Ulrich Stuhler]] bewiesen.<ref>G. Laumon, M. Rapoport, U. Stuhler: ''<math>\mathcal{D}</math>-elliptic sheaves and the Langlands correspondence.'' In: ''Invent. Math.'' 113 (1993), 217–338.</ref> Die lokale Langlandsvermutung (für lokale ''p''-adische Körper) wurde 1998 von [[Michael Harris (Mathematiker)|Michael Harris]] und [[Richard Taylor (Mathematiker)|Richard Taylor]] sowie unabhängig davon von [[Guy Henniart]] bewiesen.

Langlands erhielt [[1996]] den [[Wolf-Preis]] für Mathematik für seine Arbeit zu diesen Vermutungen und im Jahre 2018 den [[Abel-Preis]]. Für den Beweis des [[Fundamentallemma]]s erhielt [[Ngô Bảo Châu]] 2010 die Fields-Medaille.

== Geometrisches Langlands-Programm ==
Wegen der großen Schwierigkeiten der Realisierung des Langlands-Programms in der Zahlentheorie sind einige Mathematiker ([[Alexander Beilinson]], [[Vladimir Drinfeld]], [[Gérard Laumon]] ab den 1980er Jahren, [[Edward Frenkel]], [[Dennis Gaitsgory]], [[Kari Vilonen]]) dazu übergegangen, bei der Langlands-Korrespondenz statt Zahlkörpern Funktionenkörper (Kurven über den komplexen Zahlen oder endlichen Körpern) zu betrachten. Das folgt einer alten Tradition, statt den schwierigeren Fall von Zahlkörpern zunächst den einfacheren von Funktionenkörpern zu studieren. Das Gebiet hat Verbindungen zu Stringtheorie und konformen Quantenfeldtheorien seit der Arbeit von [[Anton Kapustin]] und [[Edward Witten]], die [[S-Dualität (Stringtheorie)|S-Dualität]] mit der geometrischen Langlands-Korrespondenz in Verbindung brachten.<ref>A. Kapustin, E. Witten: ''Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program.'' In: ''Communications in Number Theory and Physics.'' Band 1, 2007, S. 1–236, {{arXiv|hep-th/0604151}}.</ref> Es gibt auch Verbindungen zur [[Topologische Quantenfeldtheorie|topologischen Quantenfeldtheorie]]. Im Mai 2024 wurde von einer Gruppe von Autoren unter Federführung von D. Gaitsgory und S. Raskin eine Serie von Preprints veröffentlicht, die die geometrische Langlands-Vermutung beweisen soll.<ref>{{Internetquelle |autor=D. Arinkin, D. Beraldo, J. Campbell, L. Chen, D. Gaitsgory, J. Faergeman, K. Lin, S. Raskin, N. Rozenblyum |url=https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/ |titel=Proof of the geometric Langlands conjecture |abruf=2024-07-26}}</ref>

== Literatur ==
* [[Stephen Gelbart]]: ''An Elementary Introduction to the Langlands Program.'' In: ''Bulletin of the AMS.'' Band 10, 1984, S. 177–219, [http://www.ams.org/bull/1984-10-02/S0273-0979-1984-15237-6/home.html ams.org]
* [[Anthony W. Knapp]]: ''Introduction to the Langlands program.'' In: T. N. Bailey, A. W. Knapp (Hrsg.): ''Representation theory and automorphic forms.'' In: ''Amer. Math. Soc.'' 1997, S. 245–302.
* Anthony W. Knapp: ''Group Representations and Harmonic Analysis from Euler to Langlands.'' [http://www.ams.org/notices/199604/knapp.pdf Teil 1] (PDF; 183 kB), [http://www.ams.org/notices/199605/knapp-2.pdf Teil 2] (PDF; 177 kB). In: ''Notices AMS.'' 1996.
* [[Solomon Friedberg]]: ''What is the Langlands Program?'' In: ''Notices AMS'', Juni/Juli 2018, [https://www.ams.org/cgi-bin/notices/nxg-issue?year=2018&issue=06 ams.org]

Geometrisches Langlands-Programm:
* [[Edward Frenkel]]: ''Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory.'' {{arXiv|hep-th/0512172}}.
* Edward Frenkel: ''Langlands program, Trace formulae, and their geometrization.'' In: ''Bull. Amer. Math. Soc.'' Band 50, 2013, S. 1–55, [http://www.ams.org/journals/bull/2013-50-01/S0273-0979-2012-01387-3/home.html ams.org]
* Edward Frenkel: ''Gauge theory and the Langlands duality.'' Bourbaki Seminar 2009, {{arXiv|0906.2747}}.

== Weblinks ==
* [https://ncatlab.org/nlab/show/geometric+Langlands+correspondence Geometric Langlands Correspondence.] ncat Lab
* [http://publications.ias.edu/rpl/ Website mit den Schriften von Robert Langlands]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]

Langlands-Programm - Versionsgeschichte

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