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[[Datei:Mplwp Langevin-function.svg|mini|Langevin-Funktion]]

Die '''Langevin-Funktion''' <math>L(x)</math> (nach dem [[Physiker]] [[Paul Langevin]] (1872–1946)) ist eine [[Funktion (Mathematik)|mathematische Funktion]], die zur Berechnung von [[Orientierungspolarisation]], [[Polarisation]], [[Magnetisierung]] und Widerstand verwendet wird.

== Definition ==
Die Langevin-Funktion<ref name="Brandt293">{{Literatur |Autor=[[Siegmund Brandt]] |Titel=Elektrodynamik |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2005 |ISBN=3-540-21458-5 |Seiten=293 |Sprache=de}}</ref> ist definiert durch
:<math>L(x) = \coth(x)-{1 \over x}</math>,
wobei <math>\coth</math> den [[Kotangens hyperbolicus]] bezeichnet.

== Eine Anwendung ==
Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines [[Paramagnet]]en in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter <math>\xi</math> eingeführt:

:<math>\xi = \frac{m B}{k_\mathrm B T}</math>

Die einzelnen [[Formelzeichen]] stehen für folgende [[Physikalische Größe|Größen]]:
* <math>m</math>: [[Magnetisches Moment]] eines Teilchens
* <math>B</math>: Betrag der [[Magnetische Flussdichte|magnetischen Flussdichte]] des angelegten äußeren [[Magnetismus|Magnetfeldes]]
* <math>k_\mathrm B</math>: [[Boltzmann-Konstante]]
* <math>T</math>: [[Absolute Temperatur]]

Für die Magnetisierung <math>M</math> eines Paramagneten ergibt sich dann:

:<math>M = N m L(\xi)</math>

<math>N</math> steht dabei für die [[Stoffmenge]] und <math>m</math> für das magnetische Moment der einzelnen [[Spin]]s des Paramagneten. Eine weitere, [[Quantenmechanik|quantenmechanische]] Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die [[Brillouin-Funktion]] gegeben.

== Reihenentwicklungen ==
Für alle reellen Werte x konvergent ist diese Summenreihe:

:<math> L(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2x} {\pi^2 n^2+x^2} </math>
Beispielsweise gilt für die diskrete [[Cauchy-Verteilung]] jene Summenreihe:
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^2+1} = \frac{\pi L(\pi)}{2} </math>
Somit ist die unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Quadratzahlen elementar.

Und folgender Grenzwert gilt:
:<math> \zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^2 + x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\pi L(\pi x)}{2x} = \frac{\pi^2}{6} </math>
Dieser Wert ist beim sogenannten [[Basler Problem]] die Lösung.

Die [[Maclaurinsche Reihe]] lautet wie folgt:

:<math> L(x) = \sum_{n=1}^\infty 2(-1)^{n+1}\pi^{-2n}\zeta(2n) x^{2n - 1} = \frac{1}{3} x - \frac{1}{45} x^3 + \frac{2}{945} x^5 - \frac{1}{4725} x^7 + \cdots </math>
Der [[Konvergenzradius]] dieser Reihe ist die [[Kreiszahl]] π.

Und für das Quadrat der Langevin-Funktion gilt:

:<math> L(x)^2 = \sum_{n=1}^\infty (4n+6)(-1)^{n+1}\pi^{-2n-2}\zeta(2n+2) x^{2n} = \frac{1}{9} x^2 - \frac{2}{135} x^4 + \frac{1}{525} x^6 - \frac{2}{8505} x^8 + \cdots </math>
Der griechische Buchstabe Zeta stellt die [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannsche Zetafunktion]] dar.

Eine Näherung<ref name="Brandt293" /> der Langevin-Funktion für <math>|x| \ll 1</math> ist

:<math>L(x) = \coth(x)-\frac{1}{x} \approx \frac{x}{3}</math>.

Für <math>x \gg 1</math> gilt die Näherung<ref name="Brandt293" />

:<math>L(x) \approx 1 - \frac{1}{x}</math>.

== Umkehrfunktion ==
Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Die invertierte Langevin-Funktion wird mit einer Minus-Eins von [[Spitzklammer]]n umkleidet in Exponentenstellung hinter dem L dargestellt. Diese Umkehrfunktion ist ähnlich wie die [[Lambertsche W-Funktion]] nicht elementar darstellbar.

Eine verbreitete Näherung, die im Intervall <math>(-1, 1)</math> gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:<ref name="Cohen">{{cite journal |first=A. |last=Cohen |date=1991 |title=A Padé approximant to the inverse Langevin function |journal=[[Rheologica Acta]] |volume=30 |issue=3 |pages=270–273 |doi=10.1007/BF00366640 |language=en}}</ref>
:<math>
L^{\langle -1 \rangle}(x) \approx x \frac{3-x^2}{1-x^2}
</math>
Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um <math>|x| = 0{,}8</math>. Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben.<ref name="Jedynak1">{{cite journal |first=R. |last=Jedynak |date=2017 |title=New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function |journal=[[Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics]] |volume=249 |pages=8–25 |doi=10.1016/j.jnnfm.2017.09.003 |language=en}}</ref><ref name="Kroger1">{{cite journal |first=M. |last=[[Martin Kröger (Physiker)|Kröger]] |date=2015 |title=Simple, admissible, and accurate approximants of the inverse Langevin and Brillouin functions, relevant for strong polymer deformations and flows |journal=[[Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics]] |volume=223 |pages=77–87 |doi=10.1016/j.jnnfm.2015.05.007 |language=en}}</ref>

Die Maclaurinsche Reihe der invertierten Langevin-Funktion lautet wie folgt<ref>Laurence A. Belfiore: ''Physical Properties of Macromolecules.'' John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0-470-55158-5, S. 277 ({{Google Buch |BuchID=tpdwySsCfcEC |Seite=277}})</ref> und hat den Konvergenzradius 1:
:<math>
L^{\langle -1 \rangle}(x) \approx 3x + \frac{9}{5}x^3 + \frac{297}{175}x^5 + \frac{1539}{875}x^7 + \dotsb
</math>

== Siehe auch ==
* [[Langevin-Gleichung]]
* [[Brillouin-Funktion]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]

Langevin-Funktion - Versionsgeschichte

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