imported>DerSpezialist: Formulierung

2022-10-24T20:55:25Z

Formulierung

Neue Seite

Der Begriff '''lange Gerade''' (oder '''Alexandroff-Gerade''') bezeichnet in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] einen [[Topologischer Raum|topologischen Raum]], der anschaulich einer ins [[Überabzählbarkeit|Überabzählbare]] verlängerten [[Reelle Zahl#Topologie, Kompaktheit, erweiterte reelle Zahlen|Geraden]] entspricht. Da sie sich lokal wie die Gerade verhält, sich global aber wesentlich davon unterscheidet, dient sie in der Topologie häufig als Gegenbeispiel. Sie ist vor allem eines der beliebtesten Beispiele eines nicht [[Parakompakter Raum|parakompakten]] topologischen Raums. In der Definition einer [[Mannigfaltigkeit]] fordert man üblicherweise die Parakompaktheit oder die Existenz einer abzählbaren [[Basis (Topologie)|Basis]] (das [[Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]]). Ohne diese Bedingungen kann die lange Gerade als [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbare]] Mannigfaltigkeit ohne abzählbare Basis angesehen werden. Sätze wie der [[Einbettungssatz von Whitney]] gelten für solche Mannigfaltigkeiten nicht, weil Teilmengen des Euklidischen Raumes immer zweitabzählbar sind: Es gibt aber immer eine glatte Einbettung in einen unendlichdimensionalen Raum.<ref>Rafael Dahmen: ''Smooth embeddings of the Long Line and other non-paracompact manifolds into locally convex spaces.'' In: ''Topology and its Applications'' Nr. 202, 2016, S. 70–79.</ref>

== Definition ==

Der '''abgeschlossene lange Strahl''' ''L'' wird definiert als das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] der kleinsten überabzählbaren [[Ordinalzahl]] <math>\omega_1</math> mit dem halboffenen [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[0,1)</math>, ausgestattet mit der von der [[Lexikographische Ordnung|lexikographischen Ordnung]] induzierten [[Ordnungstopologie]]. Der '''offene lange Strahl''' bezeichnet das Komplement des Ursprungs <math>(0,0)</math> im abgeschlossenen langen Strahl.

Invertiert man die Ordnungsrelation auf dem offenen langen Strahl, vereinigt diese geordnete Menge mit dem abgeschlossenen langen Strahl so zu einer neuen geordneten Menge, dass jedes Element des ersteren kleiner ist als jedes Element des letzteren, und versieht diese dann mit der Ordnungstopologie, so erhält man die '''lange Gerade'''. Anschaulich hat man dann in beide Richtungen einen offenen langen Strahl an den Ursprung geheftet.

== Eigenschaften ==
* Die lange Gerade ist ein [[normaler Raum]], sie ist nicht [[Parakompakter Raum|parakompakt]].<ref>[[Steven G. Krantz]]: ''A Guide to Topology'' (= ''The Dolciani Mathematical Expositions.'' 40 = ''MAA Guides.'' 4). Mathematical Association of America, Washington DC 2009, ISBN 978-0-88385-346-7, Kapitel 2.10 „Paracompactness“.</ref>
* Die lange Gerade ist [[folgenkompakt]], aber nicht [[Kompakter Raum|kompakt]].<ref>Steen, Seebach: ''Counterexamples in Topology.'' 1978, S. 172.</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Winfried Koch, [[Dieter Puppe]] |Titel=Differenzierbare Strukturen auf Mannigfaltigkeiten ohne abzählbare Basis |Sammelwerk=Archiv der Mathematik |Band=19 |Nummer=1 |Datum=1968 |Seiten=95–102 |DOI=10.1007/BF01898807}}
* {{Literatur |Autor=[[Hellmuth Kneser]], [[Martin Kneser]] |Titel=Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden |Sammelwerk=Archiv der Mathematik |Band=11 |Datum=1960 |Seiten=104–106 |DOI=10.1007/BF01236917}}
* {{Literatur |Autor=[[Lynn Arthur Steen]], J. Arthur Seebach |Titel=Counterexamples in Topology |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=New York NY u. a. |Datum=1978 |ISBN=3-540-90312-7 |Seiten=71–72 |Kommentar=Neuauflage: Dover Publications, New York NY 1995, ISBN 0-486-68735-X}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Kompaktheit]]

Lange Gerade - Versionsgeschichte

imported>DerSpezialist: Formulierung