imported>Invisigoth67: form

2026-02-10T15:11:03Z

form

Neue Seite

[[Datei:Lane-emden.JPG|mini|Lösungen der Lane-Emden-Gleichung für n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.]]

Die astrophysikalische '''Lane-Emden-Gleichung''' beschreibt die Struktur einer selbstgravitierenden Kugel, deren Zustandsgleichung die einer [[polytrop]]en Flüssigkeit ist. Ihre Lösungen beschreiben die Abhängigkeit des Drucks und der Dichte vom Radius <math>r</math> und erlauben somit Rückschlüsse auf die Stabilität und Ausdehnung der Kugel. Sie ist benannt nach den Astrophysikern [[Jonathan Homer Lane]] (1819–1880) und [[Robert Emden]] (1862–1940); Lane schlug sie 1870 als mathematisches Modell zur Untersuchung der inneren Struktur der Sterne vor. [[Lord Kelvin]] und [[August Ritter]] waren an der Entwicklung dieser Gleichung ebenfalls maßgeblich beteiligt.

== Physikalischer Kontext ==

Eine [[polytrop]]e Flüssigkeit genügt der Gleichung <math>\textstyle P = K \rho^\gamma</math> (<math>P</math>: Druck, <math>\textstyle \rho</math>: Dichte). Man verwendet allerdings statt <math>\textstyle \gamma</math> meist den Polytropenindex <math>\textstyle n</math>, der wie folgt definiert ist: <math>\textstyle \gamma = 1 + \frac{1}{n}</math>. Sternmaterie kann in guter Näherung als polytropes Fluid angesehen werden, so etwa [[Entartete Materie|entartetes Gas]], das in Abhängigkeit davon, ob es relativistisch oder nicht-relativistisch ist, einen Polytropenindex von <math>\textstyle n=3\,\mathrm{bzw.}\,1,\!5</math> besitzt (d. h. <math>\textstyle \gamma=\frac{4}{3}\, \mathrm{bzw.}\,\frac{5}{3}</math>).

== Herleitung ==

Die Gleichgewichtsbedingung lautet allgemein für [[isentrop]]e Kugeln: <math>\textstyle \varphi + H = const</math>. Dabei ist <math>\textstyle \varphi</math> das gravitative Potential, <math>\textstyle H = (n+1) \frac{P}{\rho}</math> die [[Enthalpie]]. Nach Anwendung des [[Laplace-Operator]]s auf beiden Seiten ergibt sich <math>\textstyle \Delta (\varphi + H) = 0</math>.

Mit der Definition <math>\textstyle \rho = \lambda \theta^n</math> und entsprechend <math>\textstyle P = K \lambda ^{1 + \frac{1}{n}} \theta^{n+1}</math> ist die Enthalpie <math>\textstyle H = (n+1)K \lambda^{1/n} \theta</math>.

Mit der [[Poisson-Gleichung]] <math>\textstyle \Delta \varphi = 4 \pi G \lambda \theta^n</math> wird aus der Gleichgewichtsbedingung: <math>\textstyle 4 \pi G \lambda \theta^n + (n+1) K \lambda^{1/n} \Delta \theta = 0</math>. Mit der Maßstabstransformation <math>\textstyle r = \alpha \xi</math> und einem günstig gewählten <math>\textstyle \alpha</math>, so dass <math>\textstyle 4 \pi G \lambda = \frac{(n+1)K \lambda ^{1/n}}{\alpha^2}</math> erhält man<ref name="Thorne688">{{Literatur |Autor=Kip S. Thorne, Roger D. Blandford|Titel=Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics |Auflage=1. |Verlag=Princeton University Press |Ort= Princeton |Datum= 2017 |ISBN=0691159025 |Seiten= 688}}</ref>

: <math> \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0 </math>

Wenn man <math>\textstyle \lambda</math> mit der Dichte im Zentrum <math>\textstyle \rho_c</math> identifiziert, ergibt sich
<math>\textstyle \xi= r \left(\frac{4 \pi G \rho_c^2}{(n+1)P_c}\right)^{\frac{1}{2}} </math> und <math>\textstyle \rho = \rho_c \theta^n </math>.

== Lösungen ==

Die Anfangsbedingungen sind <math>\textstyle \theta (0) = 1</math> und <math>\textstyle \left.\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}\xi}\right|_{\xi = 0} = 0</math>.
Die Nullstelle von <math>\textstyle \xi</math>, notiert als <math>\textstyle \xi_1</math>, legt die Grenze der Kugel, in der Anwendung also die Grenze des Sterns, fest.

Die Lane-Emden-Gleichung lässt sich für ''n'' = 0, 1 und 5 analytisch lösen. Während die ersten beiden Fälle auf einfach zu lösende Gleichungen führen, sind alle übrigen deutlich komplizierter. Die Lösung für ''n'' = 5 wurde 1885 von [[Arthur Schuster]], später auch unabhängig davon von Emden selbst gefunden. Die drei analytischen Lösungen sind in der Tabelle dargestellt:

{| class="wikitable"
|-
! ''n'' =
| 0
| 1
| 5
|-
! <math> \theta </math> =
| <math> 1 - \frac {\xi^2}{6} </math>
| <math> \frac{\sin\xi}{\xi} </math>
| <math> \left(1+ \frac{\xi^2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} </math>
|-
! <math> \xi_1 </math> =
| <math> \sqrt 6 </math>
| <math> \pi </math>
| ∞
|}

Für ''n'' = 1 wird die Gleichung zu einer sphärischen [[Besselsche Differentialgleichung|Besselschen Differentialgleichung]] mit der [[sinc-Funktion]] als Lösung.<ref name="Thorne688"/>

== Radius ==

Mit der Definition für <math>\textstyle \xi</math> gilt für den Radius des Sterns (im Gleichgewicht)
: <math>R = \sqrt{\frac{(n + 1) P_{\rm c}}{4 \pi G \rho_{\rm c}^2}} \; \xi_1</math>.

Für ''n'' = 1 ist wegen <math>\textstyle P_{\rm c} = K \rho_{\rm c}^2</math> der Radius unabhängig von der Gesamtmasse bzw. der Dichte im Zentrum. Der Stern enthält im gleichen Volumen beliebig viel Masse, die die Gleichgewichtsbedingung erfüllt.

== Siehe auch ==
* [[Weißer Zwerg]]

== Literatur ==
* Ya.B. Zel’dovich, S.I. Blinnikov, N.I. Shakura: ''Physical Grounds of Structure and Evolution of Stars''. Moscow University Press, 1981
* Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie: ''An Introduction to Modern Astrophysics''. 2nd Edition. Pearson, 2007
* George Paul Horedt: ''Seven-digit tables of Lane-Emden functions''. In: ''Astrophysics and Space Science.'' Band 126, Nr. 2, Oktober 1986, Seiten 357–408, {{bibcode|1986Ap&SS.126..357H}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=Lane-EmdenDifferentialEquation |title=Lane-Emden Differential Equation}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:LaneEmdenGleichung}}
[[Kategorie:Astrophysik]]
[[Kategorie:Gewöhnliche Differentialgleichung]]

Lane-Emden-Gleichung - Versionsgeschichte

imported>Invisigoth67: form