imported>Ulanwp: 7 fehlende Sprachparameter eingefügt; 4 Datumsparameter konvertiert

2026-04-05T06:27:05Z

7 fehlende Sprachparameter eingefügt; 4 Datumsparameter konvertiert

Neue Seite

[[Datei:Lambert-w.svg|288px|mini|Der Graph von ''W''(''x'') für ''W'' > −4 und ''x'' < 6. Der obere Zweig ''W'' ≥ −1 ist die Funktion ''W''0 (principal branch), der untere Zweig mit ''W'' ≤ −1 ist die Funktion ''W''−1.]]

In der [[Mathematik]] ist die '''lambertsche W-Funktion''' (oder ''Lambert-W-Funktion''), auch '''Omegafunktion''' oder '''Produktlogarithmus''', benannt nach [[Johann Heinrich Lambert]], die [[Umkehrfunktion]] von
: <math>f\colon x \mapsto x \mathrm e^x,</math>
wobei <math>\mathrm e^x</math> die [[Exponentialfunktion]] ist. Die lambertsche W-Funktion wird meistens mit <math>W(x)</math> bezeichnet.

== Eigenschaften ==
=== Im Reellen ===
[[Datei:Diagram of the real branches of the Lambert W function.png|mini|400px|Die zwei Funktionsäste <math>W_0</math> und <math>W_{-1}</math>]]
Da die Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>\left(-\infty,0\right]</math> nicht [[Injektivität|injektiv]] ist, besitzt die lambertsche W-Funktion auf dem Intervall <math>\left[-\tfrac 1{\mathrm e},0\right)</math> zwei Funktionsäste <math>W_0(x)</math> und <math>W_{-1}(x)</math>. Mit <math>W(x)</math> wird aber in der Regel der obere der beiden Äste bezeichnet.

Die W-Funktion kann nicht als [[elementare Funktion]] ausgedrückt werden.

Zumeist wird sie in der [[Kombinatorik]] verwendet, beispielsweise zur Auswertung von [[Baum (Graphentheorie)|Bäumen]] oder zur [[Asymptote|asymptotischen]] Bestimmung der [[Bell-Zahl]]en.

Die Ableitungsfunktion eines Astes der W-Funktion kann mit Hilfe der [[Umkehrregel]] der [[Differentialrechnung]] gefunden werden (an der Stelle <math>-1/\mathrm e</math> existiert die Ableitung nicht, ihr Betrag wächst bei hinreichender Annäherung an diese Stelle in jedem Ast über alle Schranken):
: <math>W'(x) = \frac{W(x)}{x (1+W(x))} \text{ für } x>-\frac {1}{\mathrm e}, x \neq 0</math>

sowie <math>W'_0(0)=1</math> für den oberen Ast (der untere Ast ist für <math>x \ge 0</math> gar nicht definiert).

Die Ableitungen höherer Ordnung haben die Form
: <math>\frac{\mathrm{d}^n W(x)}{\mathrm{d}x^n} = \frac{(-1)^{n+1} W^n(x)}{x^n (1+W(x))^{2n-1}}\cdot P_n(W(x)),</math>

wobei die <math>P_n</math> Polynome sind, die sich aus folgender Rekursionsformel berechnen lassen:
: <math>P_{n+1}(t) = (nt+3n-1) \cdot P_n(t)-(t+1) \cdot P_n'(t), \quad n \ge 1</math>

Ausgehend von <math>P_1(t)=1</math> ergeben sich damit die nächsten drei Ableitungen zu:
: <math>\begin{align}
W''(x) &= -\frac{W^2(x)}{x^2 (1+W(x))^3}\cdot (W(x)+2)\\
W^{(3)}(x) &= +\frac{W^3(x)}{x^3 (1+W(x))^5}\cdot (2W^2(x)+8W(x)+9)\\
W^{(4)}(x) &= -\frac{W^4(x)}{x^4 (1+W(x))^7}\cdot (6W^3(x)+36W^2(x)+79W(x)+64)
\end{align}</math>

Eine [[Stammfunktion]] ergibt sich durch Substitution des ganzen Integranden:
: <math>\int W(x)\, \mathrm dx = x \left(W(x) - 1 + \frac 1{W(x)} \right) + C</math>

Durch implizites Differenzieren kann man zeigen, dass <math>W</math> folgender [[Differentialgleichung]] genügt:
: <math>(1+W)z\frac{\mathrm dW}{\mathrm dz} = W\quad\text{mit }z\neq -\frac 1e</math>

Die [[Taylor-Reihe]] von <math>W</math> um <math>x_0=0</math> ist durch folgende Formel gegeben:
: <math>W(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac 32 x^3 - \frac 83 x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \ldots</math>

Der [[Konvergenzradius]] beträgt <math>\tfrac 1\mathrm e</math>. Folgende zwei Funktionen haben ebenso Taylor-Reihen in diesem Muster:
: <math>\frac{W(x)}{1 + W(x)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{(n-1)!}\,x^n = x - 2x^2 + \frac{9}{2} x^3 - \frac{32}{3} x^4 + \frac{625}{24}x^5 - \ldots</math>
: <math>1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{W(x)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{(n+1)(n-1)!}\,x^n = \frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x^2 + \frac{9}{8} x^3 - \frac{32}{15} x^4 + \frac{625}{144}x^5 - \ldots</math>

=== Im Komplexen ===
[[Datei:Product Log.jpg|mini|upright=1.95|Der Hauptzweig der W-Funktion auf der komplexen Zahlenebene: Man beachte den Bruch entlang der negativen reellen Halbachse ab <math>-1/\mathrm e</math>. Die Koordinaten eines Punkts beschreiben Real- und Imaginärteil des Arguments, die Helligkeit den [[Betragsfunktion|Betrag]] und der Farbton die [[Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Phase]] des Ergebnisses.]]
[[Datei:Lambert-modulus-HSV.png|mini|upright=1.95|Betrag des Hauptzweigs der W-Funktion als Höhe, Phase als Farbton]]

Für jedes <math>k\in\Z</math> gibt es einen Zweig <math>W_k</math> der W-Funktion, wobei <math>k = 0</math> und <math>k = -1</math> die oben genannten reellen Zweige darstellen. Der Hauptzweig <math>W_0</math> ist insofern besonders, als er auf der gesamten komplexen Zahlenebene definiert ist; alle anderen Zweige (Nebenzweige) haben eine [[Definitionslücke]] bei <math>z = 0</math>. Konkret gilt
: <math>W_0(0) = 0</math> und
: <math>\lim_{z\to0} W_k(z) = -\infty</math> für alle <math>k\ne0</math>.
Dieses Verhalten ist im Diagramm oben für die reellen Fälle exemplarisch ersichtlich.

Die Verzweigungsstelle für den Hauptzweig ist bei <math>z = -\tfrac{1}{\mathrm e}</math>, die sich über den Rest der negativen Halbachse in Richtung <math>-\infty</math> erstreckt. Diese Verzweigung trennt den Hauptzweig von den Nebenzweigen <math>W_{-1}</math> und <math>W_{+1}</math>.
Auf den Nebenzweigen beginnt die Verzweigung bereits bei <math>z = 0</math> und setzt sich wie beim Hauptzweig in Richtung <math>-\infty</math> fort.

Alle Zweige sind [[Injektivität|injektiv]] und ihre Wertebereiche sind [[disjunkt]].
Aufgefasst als Funktion mit zwei Parametern aus <math>\Z</math> und <math>\Complex</math> hat die W-Funktion die gesamte komplexe Zahlenebene als Wertebereich.
Das Bild der reellen Achse ist die [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] der reellen Achse mit der [[Quadratrix des Hippias]], der für <math>t \in \R \setminus \{k\pi \mid k \in \Z \setminus \{0\}\}</math> definierten parametrischen Kurve <math>w(t)=-t\cot t + it</math>, wobei man unter <math>w(0)</math> den Grenzwert <math>\lim_{t \to 0} w(t) = -1</math> versteht, wodurch <math>w</math> an der Stelle <math>t = 0</math> stetig fortgesetzt wird.

== Spezielle Werte ==
: <math>W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\mathrm i\pi} 2</math>
: <math>W\left(-\frac 1e\right) = -1</math>
: <math>W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right) = -\ln 2</math>
: <math>W\left(0\right) = 0</math>
: <math>W\left(1\right) = 0{,}5671432904\dots =: \Omega</math>   (die [[Omega-Konstante]])
: <math>W\left(\mathrm e\right) = 1</math>

== Integrale ==
=== Integraldarstellungen der lambertschen W-Funktion ===
Der [[Kehrwert]] des Nachfolgers<ref>{{Internetquelle |url=https://math.stackexchange.com/questions/45745/interesting-integral-related-to-the-omega-constant-lambert-w-function |titel=Interesting integral related to the Omega Constant/Lambert W Function |sprache=en |abruf=2022-12-20}}</ref> der lambertschen W-Funktion hat diese Integraldarstellung:
: <math>\frac{1}{1 + W(x)} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\bigl[x\exp(y) - y\bigr]^2 + \pi^2} \,\mathrm{d}y</math>
Die lambertsche W-Funktion direkt hat diese<ref>{{Internetquelle |url=https://sites.google.com/site/istvanmezo81/other-things |titel=Webpage of István Mező PhD - Miscellaneous |sprache=de |abruf=2023-01-30}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://math.paperswithcode.com/paper/an-integral-representation-for-the-lambert-w |titel=Papers with Code - An integral representation for the Lambert W function |sprache=en |abruf=2023-01-30}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=David Jeffrey |Titel=Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert $ W$ |Datum=2011-01-01 |Online=[https://www.academia.edu/15555333/Stieltjes_Poisson_and_other_integral_representations_for_functions_of_Lambert_W_ Online] |Abruf=2023-01-30 |Sprache=en}}</ref> Integralidentitäten:
: <math>W(x) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{y^2 + 1}\ln\biggl\{1 + \frac{x \exp\bigl[y\arccot(y)\bigr]}{\sqrt{y^2 + 1}\,\arccot(y)}\biggr\} \,\mathrm{d}y</math>
Die kanadischen Mathematiker German Kalugin, David Jeffrey und Robert Corless entdeckten einige Formeln für die Integralrepräsentation der lambertschen W-Funktion und hielten diese Formeln in ihrer gemeinsamen Arbeit ''Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert W'' fest. Dieser Zusammenhang wurde danach in erweiterter Form von dem ungarischen Mathematiker István Mező entdeckt. Er schrieb in seinem Werk ''An integral representation for the Lambert W function'' die Herleitung für die Integraldarstellung der lambertschen W-Funktion nieder.

=== Integrale mit der lambertschen W-Funktion ===
Integrale von Produkten aus der lambertschen Funktion und gebrochen rationalen Funktionen:
: <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\,\mathrm dx = \sqrt{8\pi}</math>
: <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt[3]{x}}\,\mathrm dx = 3^{5/3}\,\Gamma(\tfrac{2}{3})</math>
: <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt[4]{x}}\,\mathrm dx = 2^{7/2}\,\Gamma(\tfrac{3}{4})</math>
: <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt[5]{x}}\,\mathrm dx = 5^{9/5}\,\Gamma(\tfrac{4}{5})</math>
Dabei wird mit dem <math>\Gamma</math> die [[Gammafunktion]] zum Ausdruck gebracht.

== Verwendung außerhalb der Kombinatorik ==
Die lambertsche W-Funktion kann gebraucht werden, um Gleichungen vom Typus
: <math>a(x)\mathrm e^{a(x)} = y</math>
zu lösen (<math>a(x)</math> ist ein beliebiger, von <math>x</math> abhängiger Ausdruck).<ref>{{YouTube|jVa86rzzSg0|Wer findet ALLE Lösungen der Gleichung?|sec=390}}</ref>

Auch die Gleichung
: <math>x^x = z</math>
kann mit Hilfe der lambertschen W-Funktion gelöst werden. Die Lösung lautet
: <math>x = \frac{\ln z}{W(\ln z)} = \exp\left(W(\ln z)\right).</math>

Der unendliche [[Potenzturm]]
: <math>x\uparrow\uparrow \infty := x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}</math>
kann an den konvergenten Stellen mit der W-Funktion in geschlossene Form gebracht werden:
: <math>x\uparrow\uparrow \infty = \frac{W(\ln \frac 1x)}{\ln \frac 1x}.</math>

=== Verallgemeinerungen ===
Mit Hilfe der normalen lambertschen W-Funktion lassen sich die exakten Lösungen „transzendenter algebraischer“ Gleichungen (in ''x'') folgender Form ausdrücken:
: <math>\mathrm e^{-c x} = a_0 (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\quad(1)</math>
mit reellen Konstanten <math>a_0, c</math> und <math>r</math>. Die Lösung ist <math>x = r + \frac{1}{c} W \left( \frac{c\, \mathrm e^{-c r}}{a_0 } \right)</math>. Verallgemeinerungen der lambertschen W-Funktion umfassen:<ref>T. C. Scott, R. B. Mann: ''General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function.'' In: ''AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing).'' '''17''' Nr. 1, April 2006. S. 41–47. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1127202.1127208&coll=&dl=ACM acm.org]; [https://arxiv.org/abs/math-ph/0607011 Arxiv-Artikel.]</ref><ref>{{cite journal |first=T. C. |last=Scott |first2=G. |last2=Fee |first3=J. |last3=Grotendorst |date=2013 |title=Asymptotic series of Generalized Lambert W Function |journal=SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) |volume=47 |issue=185 |pages=75–83 |url=http://www.sigsam.org/cca/articles/185/asymptotic.pdf |language=en}}</ref><ref>{{cite journal |first=T. C. |last=Scott |first2=G. |last2=Fee |first3=J. |last3=Grotendorst |first4=W. Z. |last4=Zhang |date=2014 |title=Numerics of the Generalized Lambert W Function |journal=SIGSAM |volume=48 |issue=188 |pages=42–56 |url=http://www.sigsam.org/cca/articles/188/numerics_of_generalized_LW_pp42-56.pdf |language=en}}</ref>

* Eine Anwendung auf dem Gebiet der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und der [[Quantenmechanik]] ([[Quantengravitation]]) in niedrigeren Dimensionen, die eine zuvor unbekannte Verknüpfung zwischen beiden Gebieten aufzeigte, siehe ''Journal of Classical and Quantum Gravity,''<ref>P. S. Farrugia, R. B. Mann, T. C. Scott: ''N-body Gravity and the Schrödinger Equation.'' In: ''Class. Quantum Grav.'' 24, 2007, S. 4647–4659. [[doi:10.1088/0264-9381/24/18/006]]; [https://arxiv.org/abs/gr-qc/0611144v2 Arxiv-Artikel.]</ref> wobei die rechte Seite von Gleichung (1) nun ein quadratisches Polynom in <math>x</math> ist:
:: <math>\mathrm e^{-c x} = a_0 (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)</math>

: Hierbei sind <math>r_1</math> und <math>r_2</math> voneinander verschiedene reelle Konstanten, die Wurzeln des quadratischen Polynoms. Die Lösung ist eine Funktion allein des Arguments <math>x</math>, aber <math>r_i</math> und <math>a_0</math> sind Parameter dieser Funktion. Insofern ähnelt diese Verallgemeinerung der [[Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion|hypergeometrischen]] Funktion und der [[Meijersche G-Funktion|Meijerschen G-Funktion]], aber sie gehört zu einer anderen „Klasse“ von Funktionen. Wenn <math>r_1 = r_2</math>, so können beide Seiten von (2) faktorisiert und auf (1) reduziert werden, sodass sich die Lösung auf die normale lambertsche W-Funktion reduziert. Gleichung (2) entspricht der Gleichung für das „Dilaton“-Feld, von dem die Metrik des „linealen“ Zwei-Körper-Gravitationsproblems in 1 + 1 Dimensionen (eine räumliche und eine zeitliche Dimension) für den Fall ungleicher (Ruhe-)Massen abgeleitet ist, sowie dem Problem der Eigenwertberechnung für das quantenmechanische Doppelminimum-Dirac-Deltafunktions-Modell in einer Dimension und mit „ungleichen“ Ladungen.

* Analytische Lösungen der Energie-Eigenwerte für einen speziellen Fall des quantenmechanischen Analogons des eulerschen Drei-Körper-Problems, nämlich des (dreidimensionalen) [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoffmolekül-Ions]].<ref>T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst: ''New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion.'' In: ''Chem. Phys.'' 324: 2006. S. 323–338. [[doi:10.1016/j.chemphys.2005.10.031]]; [https://arxiv.org/abs/physics/0607081 Arxiv-Artikel.]</ref> Hier ist nun die rechte Seite von (1) (oder (2)) das Verhältnis von zwei Polynomen unendlichen Grades in <math>x</math>:
:: <math>\mathrm e^{-c x} = a_0 \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)</math>
: mit paarweise verschiedenen reellen Konstanten <math>r_i</math> und <math>s_i</math> sowie <math>x</math> als Funktion des Energie-Eigenwertes und des Kern-Kern-Abstands <math>r</math>. Gleichung (3), mit den Spezialfällen (1) und (2), steht in Beziehung zu einer großen Klasse [[Retardierte Differentialgleichung|retardierter Differentialgleichungen]]. Mit Hilfe von [[Godfrey Harold Hardy|Hardys]] Begriff der „falschen Ableitung“ wurden exakte mehrfache Wurzeln für spezielle Fälle von Gleichung (3) gefunden.<ref>{{cite journal |first=Aude |last=Maignan |first2=T. C. |last2=Scott |date=2016 |title=Fleshing out the Generalized Lambert W Function |journal=SIGSAM |volume=50 |issue=2 |pages=45–60 |doi=10.1145/2992274.2992275 |language=en}}</ref> Die Anwendungen der lambertschen W-Funktion auf grundlegende physikalische Probleme sind damit selbst für die normale lambertsche W-Funktion, siehe (1), keineswegs erschöpft. Dies zeigen jüngste Beispiele aus dem Gebiet der Atom- und Molekularphysik<ref>T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III: ''The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions.'' In: ''[[Physical Review|Phys. Rev. A.]]'' 75:060101, 2007. {{Webarchiv |url=http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PLRAAN000075000006060101000001&idtype=cvips&gifs=yes |text=''scitation.aip.org.'' |archive-is=20120717073513}}</ref> das Keiper-Li-Kriterium für die [[Riemannsche Vermutung]].<ref>{{cite journal |first1=R. C. |last1=McPhedran |first2=T.C. |last2=Scott |first3=Aude |last3=Maignan |date=2023 |title=The Keiper-Li Criterion for the Riemann Hypothesis and Generalized Lambert Functions |journal=ACM Commun. Comput. Algebra |volume=57 |issue=3 |pages=85–110 |doi=10.1145/3637529.3637530 |language=en}}</ref>

== Beziehung zu anderen Funktionen ==
=== Hypergeometrische Funktionen ===
Die W-Funktion steht in direktem Zusammenhang zu [[Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion|verallgemeinerten hypergeometrischen Funktionen]]. Diese Beziehung wird durch die Gleichungen

: <math>\zeta\left( n \right) = \frac{1}{1 - 2^{1 - n}} \cdot \operatorname{_{n + 1}F_{n}}\left( 1,\, a_{1},\, a_{2},\, \dots,\, a_{n};\, a_{1} + 1,\, a_{2} + 1,\, \dots,\, a_{n} + 1;\, -1 \right)\, /;\, a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = 1 \wedge n - 1 \in \mathbb{N}</math>

und

: <math>\zeta\left( n \right) = \operatorname{_{n + 1}F_{n}}\left( 1,\, a_{1},\, a_{2},\, \dots,\, a_{n};\, a_{1} + 1,\, a_{2} + 1,\, \dots,\, a_{n} + 1;\, 1 \right)\, /;\, a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = 1 \wedge n - 1 \in \mathbb{N}</math>

klar.<ref>{{Internetquelle |url=https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta/26/01/01/ |titel=Riemann zeta function: Representations through more general functions (subsection 26/01/01) |abruf=2023-03-02 |sprache=en}}</ref>

=== Fox H-Funktion ===
Die [[Fox H-Funktion]] steht im direkten Zusammenhang zur W-Funktion, was durch die Relation

: <math>
\overline{\operatorname{W}_{-1}\left( -\alpha \cdot z \right)} = \begin{cases} \lim_{\beta \to \alpha^{-}} \left[ \frac{\alpha^{2} \cdot \left( \left( \alpha - \beta \right) \cdot z \right)^{\frac{\alpha}{\beta}}}{\beta} \cdot \operatorname{H}_{1,\, 2}^{1,\, 1} \left( \begin{matrix} \left( \frac{\alpha + \beta}{\beta},\, \frac{\alpha}{\beta} \right)\\ \left( 0,\, 1 \right),\, \left( -\frac{\alpha}{\beta},\, \frac{\alpha - \beta}{\beta} \right)\\\end{matrix} \mid -\left( \left( \alpha - \beta \right) \cdot z \right)^{\frac{\alpha}{\beta} - 1} \right) \right],\, \text{falls} \left| z \right| < \frac{1}{\mathrm e \left| \alpha \right|}\\
\lim_{\beta \to \alpha^{-}} \left[ \frac{\alpha^{2} \cdot \left( \left( \alpha - \beta \right) \cdot z \right)^{-\frac{\alpha}{\beta}}}{\beta} \cdot \operatorname{H}_{2,\, 1}^{1,\, 1} \left( \begin{matrix} \left( 1,\, 1 \right),\, \left( \frac{\beta - \alpha}{\beta},\, \frac{\alpha - \beta}{\beta} \right)\\ \left( -\frac{\alpha}{\beta},\, \frac{\alpha}{\beta} \right)\\\end{matrix} \mid -\left( \left( \alpha - \beta \right) \cdot z \right)^{1 - \frac{\alpha}{\beta}} \right) \right],\, \text{andernfalls}\\ \end{cases}
</math>

deutlich wird, wobei <math>\overline{z}</math> das komplex-konjugierte <math>z</math> ist.<ref>{{Internetquelle |autor=Pushpa Narayan Rathie and Luan Carlos de Sena Monteiro Ozelim |url=https://www.researchgate.net/publication/365706509_On_the_Relation_between_Lambert_W-Function_and_Generalized_Hypergeometric_Functions |titel=On the Relation between Lambert W-Function and Generalized Hypergeometric Functions |abruf=2023-03-02 |sprache=en}}</ref>

== Numerische Berechnung ==
Eine Folge von Näherungen an die W-Funktion kann rekursiv mithilfe der Beziehung
: <math>w_{j+1} = w_j-\frac{w_j \mathrm e^{w_j}-z}{\mathrm e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_j\mathrm e^{w_j}-z)}{2w_j+2}}</math>
berechnet werden.<ref name="Corless">R. M. Corless u. a.: {{Webarchiv |url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf |wayback=20101214110615 |text=''On the Lambert W function.''}}. (PDF; 304 kB). In: ''Adv. Computational Maths.'' 5, 1996, S. 329–359.</ref> Alternativ kann auch das [[Newton-Verfahren]] zur Lösung der Gleichung <math>w \mathrm e^w - z = 0</math> verwendet werden:
: <math>w_{j+1} = w_j-\frac{w_j \mathrm e^{w_j}-z}{\mathrm e^{w_j}+\mathrm e^{w_j} w_j}</math>.

== Tabelle reeller Funktionswerte ==
<math>W_0,</math> oberer Zweig:
: <math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0{,}3679 & -0{,}34 & -0{,}2 & 0 & 0{,}3 & 0{,}7 & 1{,}2 & 2 & 3 & 4 & 6 & 10 & 20 & 40 & +\infty \\
\hline
y & -1 & -0{,}6537 & -0{,}2592 & 0 & 0{,}2368 & 0{,}4475 & 0{,}6356 & 0{,}8526 & 1{,}0499 & 1{,}2022 & 1{,}4324 & 1{,}7455 & 2{,}205 & 2{,}6968 & +\infty \\
\end{array}
</math>
<math>W_{-1},</math> unterer Zweig:
: <math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0{,}3679 & -0{,}365 & -0{,}355 & -0{,}31 & -0{,}25 & -0{,}18 & -0{,}1 & -0{,}05 & -0{,}025 & -0{,}01 & -0{,}005 & -0{,}001 & -0{,}0001&0 \\
\hline
y &-1 & -1{,}1307 & -1{,}2912 & -1{,}7044 & -2{,}1533 & -2{,}7128 & -3{,}5772 & -4{,}4998 & -5{,}3696 & -6{,}4728 & -7{,}284 & -9{,}118 & -11{,}6671 &-\infty \\
\end{array}
</math>
Andere Werte lassen sich über <math>x = y\,\mathrm e^y</math> berechnen.

Eine Näherung von <math>W_0(x)</math> für große <math>x</math> ist<ref>{{MathWorld |id=LambertW-Function |title=Lambert W-Function}}</ref>
: <math>W_0(x) \approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x).</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:Johann Heinrich Lambert|Wfunktion]]

Lambertsche W-Funktion - Versionsgeschichte

imported>Ulanwp: 7 fehlende Sprachparameter eingefügt; 4 Datumsparameter konvertiert