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In der [[Mathematik]] ist eine '''Lambert-Reihe''' eine spezielle [[Reihe (Mathematik)|Reihe]]. Benannt ist sie nach [[Johann Heinrich Lambert]].

== Definition ==
Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:
:<math>S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \frac {q^n}{1-q^n}</math>

Die Lambertsche L-Funktion bilden den Spezialfall dieser Reihe mit <math>a_n = 1</math> für alle Werte ''n:''
:<math>L(q)=\sum_{n=1}^\infty \frac {q^n}{1-q^n}</math>

== Eigenschaften ==
=== Konvergenz ===
Für <math>|q| = 1</math> konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für <math>|q| \neq 1</math> konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe <math>\textstyle \sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergiert. Konvergiert <math>\textstyle \sum_{n=1}^\infty a_n</math> nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle <math>q</math>, für die die Potenzreihe <math>\textstyle \sum_{n=1}^\infty a_n q^n</math> konvergiert ''(Satz von [[Konrad Knopp]]).''

=== Lambert-Reihe als Potenzreihe ===
Die Lambert-Reihe kann für <math>|q| < 1</math> in eine [[geometrische Reihe]]
:<math>S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{k=1}^\infty q^{nk} = \sum_{m=1}^\infty b_m q^m</math>

entwickelt werden, wobei sich die Koeffizienten <math>b_m</math> der neuen Reihe durch [[Dirichlet-Faltung]] von <math>a_n</math> mit der konstanten Folge <math>1_{(n)} = 1</math> ergeben:
:<math>b_m = (a*1)(m) = \sum_{n\mid m} a_n</math>

== Alternative Form ==
Setzt man <math>q=e^{-z}</math>, so erhält man eine andere übliche Form der Reihe
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac {a_n}{e^{zn}-1}= \sum_{m=1}^\infty b_m e^{-mz},</math>

wieder mit
:<math>b_m = (a*1)(m) = \sum_{n\mid m} a_n.</math>

Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit <math>z=2\pi</math>, treten in Ausdrücken der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]] für ungerade natürliche Zahlen auf.

== Anwendung ==
Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.<ref>{{Internetquelle |autor=Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein |url=http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf |titel=Pi and the AGM |werk=wayback.cecm.sfu.ca |abruf=2023-05-12 |archiv-datum=2023-04-02 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf |offline=ja |archiv-bot=2026-02-18 01:43:28 InternetArchiveBot }}</ref><ref>{{MathWorld|Erdos-BorweinConstant|Erdős-Borwein Constant}}</ref>

Unendliche Summe geradstelliger [[Fibonacci-Folge|Fibonacci-Zahlen]] (mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die [[Goldener Schnitt|Goldene Zahl]] dargestellt):
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{F_{2n}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{5} \ \Phi^{2n}}{\Phi^{4n}-1} = \sqrt{5}\left(L\left(\Phi^{-2}\right)-L\left(\Phi^{-4}\right)\right)</math>

Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger [[Pell-Folge|Pell-Zahlen]]:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{P_{2n}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right)^{2n}}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{4n}-1} = 2\sqrt{2}\left(L\left(\left(\sqrt{2}-1\right)^2\right)-L\left(\left(\sqrt{2}-1\right)^4\right)\right)</math>

Darstellung der [[Erdős-Borwein-Konstante]] mit der Lambertschen L-Funktion:
:<math>E = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} - 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n} + 1}{2^{n^2}\left(2^{n} - 1\right)} = L\left(\frac{1}{2}\right)</math>

Unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der Zweierpotenzen:
:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} + 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{1}{2^{n} - 1} - \frac{2}{4^{n} - 1}\right) = L\left(\frac{1}{2}\right) - 2L\left(\frac{1}{4}\right)</math>

== Siehe auch ==
* [[Thetafunktion]]
* [[Elliptisches Nomen]]

== Literatur ==
* {{MathWorld|LambertSeries|Lambert Series}}
* {{Literatur
|Autor=[[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]]
|Titel=Differential- und Integralrechnung II
|Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
|BandReihe=62
|Auflage=6.
|Verlag=[[Volkseigener Betrieb|VEB]] [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
|Ort=Berlin
|Datum=1974
|Seiten=323}}
* Ravi Agarwal: ''Lambert series and Ramanujan.'' Department of Mathematics and Astronomy, Universität Lucknow (लखनऊ विश्वविद्यालय), Indien.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Analytische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Johann Heinrich Lambert|Reihe]]

Lambert-Reihe - Versionsgeschichte

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