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2022-10-18T15:03:23Z

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Die '''Lagrange-Dichte''' <math>\mathcal{L}</math> (nach dem Mathematiker [[Joseph-Louis Lagrange]]) spielt in der [[theoretische Physik|theoretischen Physik]] eine Rolle bei der Betrachtung von [[Feld (Physik)|Feldern]]. Sie beschreibt die Dichte der [[Lagrange-Funktion]] <math>L</math> in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das [[Integralrechnung|Integral]] der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:

:<math>L=\int \mathrm d^3 r \mathcal{L}=\iiint \mathrm dx \, \mathrm dy \, \mathrm dz \, \mathcal{L} \left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial t}, \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}, t \right)</math>
mit dem betrachteten Feld <math>\phi(x,y,z,t)</math>.

Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch [[Bewegungsgleichung]]en. So, wie man die [[Lagrange-Funktion|Lagrange-Gleichungen]] zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem [[Hamiltonsches_Prinzip #Das_Hamiltonsche_Prinzip_f.C3.BCr_Felder|Hamiltonschen Prinzip für Felder]] erhalten ([[Feldtheorie (Physik) #Die_Bewegungsgleichung_für_Felder|Herleitung]]). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:

:<math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_i} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi_i}{\partial t}} - \sum_{j=1}^3
\frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi_i}{\partial x_j}} = \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_i} - \partial_\mu \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu \phi_i)} = 0</math>.

== Beispiel ==
[[Datei:String Solution 3D.gif|miniatur|Beispielhafte Lösung der Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite (String) in 3 Dimensionen. Parameter: <math>E=\mu=1</math>, Animation läuft mit 10 % der tatsächlichen Geschwindigkeit.]]
Für eine in einer Dimension [[Schwingung|schwingende]] [[Saite]] ergibt sich für die '''Lagrange-Dichte'''

:<math>\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[\mu \left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)^2 - E \left(\frac{\partial \phi}{\partial x} \right)^2 \right]</math>

In diesem Beispiel bedeuten:
:<math>\phi=\phi(x,t)</math> die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)
:<math>\mu</math> die lineare Massendichte
:<math>E</math> den [[Elastizitätsmodul]]

Mit dieser '''Lagrange-Dichte''' ergibt sich

:<math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0</math>

:<math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial t}} = \mu \frac{\partial \phi}{\partial t}</math>

:<math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial x}} = - E \frac{\partial \phi}{\partial x}</math>

Damit ergibt sich für die '''Bewegungsgleichung''' der schwingenden Saite

:<math>E \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} - \mu \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = 0</math>

==Anwendung in der Relativitätstheorie==

Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine [[Kovarianz_(Physik)|kovariante Darstellung]] der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die [[Wirkung_(Physik)|Wirkung]] über

:<math>S=\int \mathrm d^4x\,\sqrt{-g}\, \mathcal{L}</math>

definiert, wobei <math>g</math> die [[Determinante]] des [[Metrischer Tensor|metrischen Tensors]] ist.<ref>{{Literatur |Autor=Clinton L. Lewis |Titel=Explicit gauge covariant Euler–Lagrange equation |Sammelwerk=American Journal of Physics |Band=77 |Seiten=839 |Datum=2009 |DOI=10.1119/1.3153503}}</ref> Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Pseudoskalar, also invariant unter [[Lorentz-Transformation]]en:

:<math>\mathcal{L}'(x_\mu)=\mathcal{L}(x'_\mu)=\mathcal{L}(x_\mu)</math> mit <math>x'_\mu=\Lambda_{\mu\nu}x^\nu</math>, wobei <math>\Lambda_{\mu\nu}</math> der Lorentz-Transformationstensor ist.

== Literatur ==
* [[Franz Schwabl]]: ''Lagrange-Dichte''. In: Ders.: ''Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II)''. Springer, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-28865-7, S. 281ff.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Feldtheorie]]
[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Joseph-Louis Lagrange als Namensgeber]]

Lagrange-Dichte - Versionsgeschichte

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