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2023-01-09T06:21:34Z

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Die '''LUX-Methode''' ist ein [[Algorithmus|Verfahren]] zur Erzeugung [[Magisches Quadrat|magischer Quadrate]]. Es stammt von dem englischen Mathematiker [[John Horton Conway]].

== Verfahren ==
Die LUX-Methode dient zur Erzeugung magischer Quadrate der Ordnung <math>4n+2</math>, wobei <math>n</math> eine positive [[natürliche Zahl]] ist. Zunächst wird eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] mit <math>2n+1</math> Zeilen und Spalten betrachtet, die folgendermaßen mit Buchstaben gefüllt wird:

* Die ersten <math>n+1</math> Zeilen werden komplett mit <math>\mathrm{L}</math> gefüllt.
* Es folgt eine Zeile mit <math>\mathrm{U}</math>.
* Die restlichen <math>n-1</math> Zeilen werden mit <math>\mathrm{X}</math> beschrieben.
* Zuletzt wird das mittlere <math>\mathrm{U}</math> mit dem <math>\mathrm{L}</math> darüber vertauscht.

Nun wird mit der [[Magisches Quadrat#Konstruktion|siamesischen Methode]] ein magisches Quadrat der Ordnung <math>2n+1</math> erzeugt, das auf den Buchstaben zu liegen kommt. Dann werden der Reihe nach alle Zahlen <math>i</math> dieses magischen Quadrats folgendermaßen durch die vier aufeinander folgenden Zahlen <math>(i-1) \cdot 4 + a</math>,  <math>(i-1) \cdot 4 + b</math>,  <math>(i-1) \cdot 4 + c</math>  und  <math>(i-1) \cdot 4 + d</math>  entsprechend der Vorschrift des zugehörigen Buchstabens ersetzt:

:<math>
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \quad mit \quad
\mathrm{L} \colon \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \quad
\mathrm{U} \colon \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \quad
\mathrm{X} \colon \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}
</math>

Man stellt sich dabei vor, die Buchstaben mit einem Stift zu zeichnen (daher der Name LUX-Methode).

== Beispiel ==
Für <math>n = 2</math> hat die Buchstabenmatrix die Form

:<math>\begin{bmatrix}
\mathrm{L} & \mathrm{L} & \mathrm{L} & \mathrm{L} & \mathrm{L} \\
\mathrm{L} & \mathrm{L} & \mathrm{L} & \mathrm{L} & \mathrm{L} \\
\mathrm{L} & \mathrm{L} & \mathrm{U} & \mathrm{L} & \mathrm{L} \\
\mathrm{U} & \mathrm{U} & \mathrm{L} & \mathrm{U} & \mathrm{U} \\
\mathrm{X} & \mathrm{X} & \mathrm{X} & \mathrm{X} & \mathrm{X}
\end{bmatrix}</math>

Nach der siamesischen Methode ergibt sich nun das folgende magische Quadrat:

:<math>\begin{bmatrix}
\mathrm{L}=17 & \mathrm{L}=24 & \mathrm{L}=1 & \mathrm{L}=8 & \mathrm{L}=15 \\
\mathrm{L}=23 & \mathrm{L}=5 & \mathrm{L}=7 & \mathrm{L}=14 & \mathrm{L}=16 \\
\mathrm{L}=4 & \mathrm{L}=6 & \mathrm{U}=13 & \mathrm{L}=20 & \mathrm{L}=22 \\
\mathrm{U}=10 & \mathrm{U}=12 & \mathrm{L}=19 & \mathrm{U}=21 & \mathrm{U}=3 \\
\mathrm{X}=11 & \mathrm{X}=18 & \mathrm{X}=25 & \mathrm{X}=2 & \mathrm{X}=9
\end{bmatrix}</math>

Nun startet man bei <math>\mathrm{L}=1</math> ganz oben in der Mitte und ersetzt die Zahl 1 durch die Zahlen 1 bis 4 gemäß dem Buchstaben <math>\mathrm{L}</math>. Es folgt <math>\mathrm{X}=2</math> in der letzten Zeile, wobei die Zahl 2 durch die Zahlen 5 bis 8 gemäß dem Buchstaben <math>\mathrm{X}</math> ersetzt werden. Das nächste Feld ist dann <math>\mathrm{U}=3</math> und so weiter. Am Ende ergibt sich das folgende magische Quadrat:

:<math>\begin{bmatrix}
68 & 65 & 96 & 93 & 4 & 1 & 32 & 29 & 60 & 57 \\
66 & 67 & 94 & 95 & 2 & 3 & 30 & 31 & 58 & 59 \\
92 & 89 & 20 & 17 & 28 & 25 & 56 & 53 & 64 & 61 \\
90 & 91 & 18 & 19 & 26 & 27 & 54 & 55 & 62 & 63 \\
16 & 13 & 24 & 21 & 49 & 52 & 80 & 77 & 88 & 85 \\
14 & 15 & 22 & 23 & 50 & 51 & 78 & 79 & 86 & 87 \\
37 & 40 & 45 & 48 & 76 & 73 & 81 & 84 & 9 & 12 \\
38 & 39 & 46 & 47 & 74 & 75 & 82 & 83 & 10 & 11 \\
41 & 44 & 69 & 72 & 97 &100 & 5 & 8 & 33 & 36 \\
43 & 42 & 71 & 70 & 99 & 98 & 7 & 6 & 35 & 34
\end{bmatrix}</math>

== Siehe auch ==
* [[Vollkommen perfektes magisches Quadrat]]

== Literatur ==
* {{Literatur|Titel=Aha! Solutions|Autor=Martin Erickson|Verlag=[[Mathematical Association of America]]|Jahr=2009|ISBN=978-0-883-85829-5|Seiten=98}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld|title=Magic square|id=MagicSquare}}

[[Kategorie:Algorithmus]]
[[Kategorie:Diskrete Mathematik]]

LUX-Methode - Versionsgeschichte

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