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2026-03-18T12:32:31Z

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[[Datei:Kurvenschar parabel.svg|mini|Parabelschar <math>f_a (x) = a x^2</math><br />''Bündel'' in <math>(0, 0)</math> und ''Büschel'' in <math>a</math>]]
[[Datei:Schar.gif|mini|Funktionenschar einer Parabel]]
Eine '''Kurvenschar''', auch '''Funktionenschar''', '''Funktionsschar''' oder '''Parameterfunktion''', ist eine Menge verschiedener [[Kurve (Mathematik)|Kurven]], deren Abbildungsvorschriften sich in mindestens einem [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] unterscheiden.
Sonderfälle sind das ''Büschel'', eine einparametrige Schar, und das ''Bündel'', eine Schar mit einem allen Funktionen gemeinsamen Punkt.

== Definition ==

Die Schar ist eine Menge von [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] auf einer Kurve, Kurven auf einer [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] oder Flächen im [[Raum (Mathematik)|Raum]], die jeweils durch eine [[Gleichung]] oder ein System von Gleichungen mit veränderlichen Parametern beschrieben werden.

Gemäß einer anderen [[Definition]] ergibt sich eine Kurvenschar aus dem Graphen einer Funktion, in der ein freier Parameter der betreffenden Funktion in [[Parameterdarstellung]] variiert wird.

Zur Veranschaulichung von Funktionsscharen eignen sich besonders [[dynamische Geometrie|dynamische-Geometrie]]-Systeme.

=== Sonderfälle ===
* Handelt es sich bei allen Schaubildern der Funktionsschar um [[Gerade (Geometrie)|Geraden]], so spricht man von einer ''Geradenschar.''
** Verlaufen dabei die einzelnen Geraden auch noch parallel, so bezeichnet man sie als [[Parallelenschar]].
** Wenn sich alle beteiligten Geraden in einem Punkt schneiden, handelt es sich um ein [[Geradenbündel (Elementargeometrie)|Geradenbündel]].
** Wenn sich alle beteiligten Geraden sowohl in einem Punkt schneiden als auch in einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] liegen, handelt es sich um ein [[Geradenbüschel]].

* Handelt es sich bei allen Kurven der Schar um [[Parabel (Geometrie)|Parabeln]], so spricht man von einer ''Parabelschar.''

== Eigenschaften ==
[[Datei:Ortskurve wendepunkte.svg|mini|hochkant=1.0|Ortskurve (rot) der Wendepunkte einer Funktionsschar (schwarz)]]
Für bestimmte Punkte einer Kurvenschar lässt sich oft eine [[Ortskurve (Kurvendiskussion)|Ortskurve]] bestimmen, d. h. eine neue Kurve, die die Lage dieser Punkte in Abhängigkeit der Parameter der Schar angibt (über alle Kurven der Schar).

== Beispiele ==

* alle Kurven der zur Funktion <math>f_p (x) = p</math> gehörigen Kurvenschar verlaufen parallel zur <math>x</math>-Achse (Geraden). Der Parameter dieser Kurvenschar ist <math>p</math>.
* alle Kurven der zur Funktion <math>f_a (x) = a x^2,\, a \neq 0 </math> gehörigen Schar sind Parabeln durch den Koordinatenursprung (siehe Abbildung). Der Parameter ist <math>a</math>.
* alle Kurven der zur [[Relation (Mathematik)|Relation]] <math>r^2 = x^2 + y^2 \ \Leftrightarrow{}\ r = \sqrt{x^2 + y^2}</math> gehörigen Schar sind [[konzentrisch]]e [[Kreis (Geometrie)|Kreise]]. Der Parameter ist hier <math>r</math>.

== Literatur ==
* ''Kurvenschar'' In: ''Schülerduden – Mathematik II''. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 241–242
* Mark Ja. Vygodskij: ''Höhere Mathematik griffbereit: Definitionen, Theoreme, Beispiele''. Springer 2013, ISBN 978-3-322-90113-2, S. [https://books.google.de/books?id=7_-BBwAAQBAJ&pg=PA696 696]

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=FamilyofCurves|title=Family of Curves}}

[[Kategorie:Analysis]]

Kurvenschar - Versionsgeschichte

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