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2026-02-10T16:47:08Z

Einfluss der Parametrisierung: \textstyle

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Das '''Kurven-''', '''Linien-''', '''Weg-''' oder '''Konturintegral''' erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die [[Integralrechnung|Integration]] in der komplexen Ebene ([[Funktionentheorie]]) oder im mehrdimensionalen Raum ([[Vektoranalysis]]).

Den [[Weg (Mathematik)|Weg]], die Linie oder die [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], über die integriert wird, nennt man den '''Integrationsweg'''.

Wegintegrale über [[Kurve (Mathematik)#Geschlossene Kurven|''geschlossene'' Kurven]] werden auch als '''Ringintegral''', '''Umlaufintegral'''<ref>{{BibISBN|3-540-64491-1|Seite=524}}</ref> oder '''Zirkulation''' bezeichnet und mit dem Symbol <math>\textstyle \oint</math> geschrieben.

== Reelle Wegintegrale ==
=== Wegintegral erster Art ===
[[Datei:Line integral of scalar field.gif|mini|Illustration eines Kurvenintegrals erster Art über ein Skalarfeld]]
Das Wegintegral einer stetigen [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]
: <math>f\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math>
entlang eines stückweise stetig differenzierbaren [[Weg (Mathematik)|Weges]]
: <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n</math>
ist definiert als
:<math>\int\limits_\gamma \! f \,\mathrm{d} s
:= \int\limits_a^b \! f(\gamma(t)) \, \| \dot\gamma(t) \|_2 \,\mathrm{d} t.</math>
Dabei bezeichnet <math>\dot\gamma</math> die Ableitung von <math>\gamma</math> nach <math>t</math> und <math>\|\dot\gamma(t)\|_2</math> die [[euklidische Norm]] des Vektors <math>\dot\gamma(t)</math>.

Die [[Bildmenge]] <math>\mathcal C := \gamma([a,b])</math> ist eine stückweise [[glatte Kurve]] in <math>\mathbb{R}^n</math>.

==== Anmerkungen ====
* Ein Beispiel für eine solche Funktion <math>f</math> ist ein [[Skalarfeld]] mit [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]].
* Ein Weg <math>\gamma</math> kann eine Kurve <math>\mathcal C</math> entweder als Ganzes oder auch nur in Abschnitten mehrfach durchlaufen.
* Für <math>f \equiv 1</math> ergibt das Wegintegral erster Art die Länge des Weges <math>\gamma</math>.
* Der Weg <math>\gamma</math> bildet u. a. <math>a \in \mathbb{R}</math> auf den Anfangspunkt der Kurve ab und <math>b \in \mathbb{R}</math> auf deren Endpunkt.
* <math>t \in [a,b]</math> ist ein Element der Definitionsmenge von <math>\gamma</math> und steht allgemein ''nicht'' für die Zeit. <math>\mathrm dt</math> ist das zugehörige [[Differential (Mathematik)|Differential]].

=== Wegintegral zweiter Art ===
[[Datei:Line integral of vector field.gif|mini|Illustration eines Kurvenintegrals zweiter Art über den Weg <math>r</math> in einem Vektorfeld]]
Das Wegintegral über ein stetiges [[Vektorfeld]]
: <math>\mathbf f\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n</math>
mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral über das [[Skalarprodukt]] aus <math> \mathbf{f} \circ \gamma</math> und <math>\dot\gamma</math>:
: <math>\int\limits_\gamma \! \mathbf{f}(\mathbf{x}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{x}
:= \int\limits_a^b \! \mathbf{f}(\gamma(t)) \cdot \dot\gamma(t)\,\mathrm{d} t</math>

=== Umparametrisierung ===
Sei <math>\varphi\colon[c, d]\to[a, b] </math> eine bijektive, differenzierbare Funktion und somit streng monoton, dann ist <math>\tilde{\gamma} = \gamma\circ\varphi\colon[c, d]\to\R^n</math> eine Umparametrisierung des Weges <math>\mathcal{C} = \gamma([a, b]) = \tilde\gamma([c, d]) </math>. Mithilfe der Kettenregel erhält man für Wegintegrale erster und zweiter Art die Beziehungen

:<math>\int_{\gamma} f \,\mathrm{d}s = \int_{\tilde\gamma} f \,\mathrm{d}s,</math>

:<math>\int_{\gamma} \mathbf{f}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x} = \pm\int_{\tilde\gamma} \mathbf{f}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x},</math>

wobei man in der letzten Gleichung auf der rechten Seite ein positives (negatives) Vorzeichen erhält, falls <math>\varphi </math> streng monoton wachsend (fallend) ist. Wegintegrale erster Art bleiben also invariant unter Umparametrisierungen.

Für Wegintegrale zweiter Art ist der Integralwert nur invariant unter orientierungserhaltenden Umparametrisierungen, d. h. <math>\gamma</math> und <math>\tilde\gamma</math> müssen <math>\mathcal{C}</math> in derselben Richtung durchlaufen, was <math>\gamma(a) = \tilde\gamma(c)</math> und <math>\gamma(b) = \tilde\gamma(d)</math> impliziert. Dies ist genau dann gegeben, wenn <math>\varphi</math> streng monoton wächst, was wiederum <math>\varphi(c) = a, \varphi(d) = b</math> impliziert.

Ist umgekehrt <math>\varphi</math> streng monoton fallend, dann gilt <math>\varphi(c) = b</math> und <math>\varphi(d) = a</math>. Die Kurve <math>\mathcal{C}</math> wird in umgekehrter Richtung durchlaufen und entsprechend sind Start- und Endpunkte der beiden Wege vertauscht, d. h. <math>\gamma(a) = \tilde\gamma(d)</math> sowie <math>\gamma(b) = \tilde\gamma(c)</math>. Während Wegintegrale erster Art invariant unter solchen Umparametrisierungen sind, sind ändert sich bei Wegintegralen zweiter Art das Vorzeichen. Ein Spezialfall einer solchen Umparametrisierung ist gegeben durch <math>c = a</math>, <math>d = b</math> und <math>\varphi^{-}(t) = a + b - t</math>. Den entsprechenden rückwärts durchlaufenden Weg bezeichnet man als <math>\gamma^{-} = \gamma\circ\varphi^{-}</math> und erhält entsprechend die Gleichungen

:<math>
\int_{\gamma^{-}} f \,\mathrm{d}s = \int_{\gamma} f \,\mathrm{d}s
\quad\text{und}\quad
\int_{\gamma^{-}} \mathbf{f}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x} = -\int_{\gamma} \mathbf{f}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x},</math>

=== Einfluss der Parametrisierung ===
Umgekehrt sei <math>\mathcal{C}</math> ein Weg (mit fester Orientierung) und seien <math>\gamma\colon[a, b]\to\mathcal{C}, \tilde\gamma\colon[a, b]\to\mathcal{C}</math> zwei Parametrisierungen (mit derselben Orientierung), die (bis auf einzelnen Punkte) bijektiv sind, dann lässt sich der Weg mittels <math>\varphi:=\gamma^{-1}\circ\tilde\gamma\colon[c,d]\to[a, b]</math> umparametrisieren. Entsprechend haben die Integrale <math>\textstyle \int_{\gamma} f \,\mathrm{d}s</math>, <math>\textstyle \int_{\gamma} \mathbf{f}\cdot\mathrm{d}\mathbf{x}</math> denselben Wert für alle Parametrisierungen <math>\gamma</math> (mit entsprechender Orientierung für Wegintegrale zweiter Art). Dies rechtfertigt den Namen ''Kurvenintegral'' und die Notation <math>\textstyle \int_{\mathcal{C}} \equiv \int_{\gamma}</math>.

=== Kurvenintegrale ===
Da eine Kurve <math>\mathcal C</math> das Bild eines Weges <math>\gamma</math> ist, entsprechen die Definitionen der Kurvenintegrale im Wesentlichen den Wegintegralen.

Kurvenintegral 1. Art:
: <math>\int\limits_{\mathcal C} \! f \,\mathrm{d} s
:= \int\limits_a^b \! f(\gamma(t)) \| \dot\gamma(t) \|_2 \, \mathrm{d} t</math>

Kurvenintegral 2. Art:
: <math>\int\limits_\mathcal C \mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x}
:= \int\limits_a^b \mathbf{f}(\gamma(t)) \cdot \dot\gamma(t)\,\mathrm dt</math>

Ein Spezialfall ist wieder die Länge der durch <math>\gamma</math> parametrisierten Kurve <math>\mathcal C</math>:
: <math>\mathrm{L\ddot ange\ von\ }\mathcal C = |\mathcal{C}| = L(\mathcal{C}) = \int\limits_{\mathcal C} \mathrm{d}s = \int\limits_a^b\|\dot\gamma(t)\|_2\,\mathrm dt,</math>
welche nach obigen Aussagen unabhängig von der Parametrisierung <math>\gamma</math> und deren Orientierung ist.

=== Wegelement und Längenelement ===
Der in den Kurvenintegralen erster Art auftretende Ausdruck
: <math>\mathrm ds= \|\dot\gamma(t)\|_2 \, \mathrm dt</math>
heißt ''skalares Wegelement'' oder ''Längenelement''. Der in den Kurvenintegralen zweiter Art auftretende Ausdruck
:<math>\mathrm d\mathbf{x} = \dot\gamma(t)\,\mathrm dt</math>
heißt ''vektorielles Wegelement''.

=== Rechenregeln ===
Seien <math>\int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>, <math>\int\limits_\gamma \mathbf{g}(\mathbf{x})</math> Kurvenintegrale gleicher Art (also entweder beide erster oder beide zweiter Art), sei das Urbild der beiden Funktionen <math>\mathbf{f}</math> und <math>\mathbf{g}</math> von gleicher Dimension und sei <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n</math>. Dann gelten für <math>\alpha</math>, <math>\beta\in \mathbb R</math> und <math>c\in\mathbb [a, b]</math> die folgenden Rechenregeln:

* <math>\alpha\int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x}) + \beta\int\limits_\gamma \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \int\limits_\gamma (\alpha\mathbf{f}(\mathbf{x}) + \beta\mathbf{g}(\mathbf{x}))</math>    (Linearität)

* <math>\int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \int\limits_{\gamma|_{[a, c]}} \mathbf{f}(\mathbf{x}) + \int\limits_{\gamma|_{[c, b]}} \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>    (Zerlegungsadditivität)
Seinen <math>
\gamma_1\colon[a,b]\to\mathbb R^n </math> und <math>
\gamma_2\colon[c,d]\to\mathbb R^n </math> mit <math>
\gamma_1(b) = \gamma_2(c) </math>, d. h. der Endpunkt von <math>
\gamma_1 </math> ist der Startpunkt von <math>
\gamma_2 </math>, dann definiert

<math>\gamma_1\oplus\gamma_2\colon[a, b + d -c]\to\R^{n}, t \to (\gamma_1\oplus\gamma_2)(t) :=
\begin{cases}
\gamma_1(t), \quad& \text{für}\, a \le t \le b \\
\gamma_2(t - b + c), \quad& \text{für}\, b < t \le b + d -c
\end{cases}</math>

einen stückweise differenzierbaren Weg, der <math>
\gamma_1 </math> und <math>
\gamma_2 </math> miteinander verknüpft. Diese Verknüpfung hat die Eigenschaften

<math>(\gamma_1\oplus\gamma_2)\oplus\gamma_3 = \gamma_1\oplus(\gamma_2\oplus\gamma_3)
\quad \text{(Assoziativität)}</math>

<math>
(\gamma_1\oplus\gamma_2)^{-} = \gamma_2^{-}\oplus\gamma_1^{-} </math>

und man erhält auch hier Zerlegungsadditivität für beide Typen von Wegintegralen:

<math>\int_{\gamma_1\oplus\gamma_2} f \,\mathrm{d}s =
\int_{\gamma_1} f \,\mathrm{d}s +
\int_{\gamma_2} f \,\mathrm{d}s</math>

<math>\int_{\gamma_1\oplus\gamma_2} \mathbf{f} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x} =
\int_{\gamma_1} \mathbf{f} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x} +
\int_{\gamma_2} \mathbf{f} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x}</math>

Aus der [[Dreiecksungleichung#Für Summen und Integrale|Dreiecksungleichung für Integrale]] und der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt die Dreiecksungleichung für Wegintegrale:
:<math>\left| \int_{\gamma} \mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot\mathrm{d}\mathbf{x}\right|
\le \int_{\gamma} \left\|\mathbf{f}(\mathbf{x})\right\|_{2}\, \mathrm{d}s
\le L(\mathcal{C})\, \sup_{\mathbf{x}\in\mathcal{C}} \left\|\mathbf{f}(\mathbf{x})\right\|_{2}, </math>

wobei <math>\mathcal{C} = \gamma([a, b]) </math> den durch <math>\gamma </math> parametrisierten Weg bezeichnet und <math>L(\mathcal{C}) </math> dessen Länge (wie oben definiert). Man beachte, dass bei der ersten Ungleichung Wegintegral zweiter Art gegen ein Wegintegral erster Art abgeschätzt wird. Analog gilt die Dreiecksungleichung

:<math>\left| \int_{\gamma} f(\mathbf{x})\, \mathrm{d}s \right|
\le \int_{\gamma} \left|f(\mathbf{x})\right|\, \mathrm{d}s
\le L(\mathcal{C})\, \sup_{\mathbf{x}\in\mathcal{C}} \left|f(\mathbf{x})\right| </math>

für Wegintegrale erster Art.

== Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven ==
Ist <math>\gamma</math> ein geschlossener Weg, so schreibt man
: statt <math>\displaystyle\int\limits_\gamma</math> auch <math>\displaystyle\oint\limits_\gamma</math>

und analog für geschlossene Kurven <math>\mathcal C</math>
: statt <math>\displaystyle \int\limits_\mathcal C</math> auch <math>\displaystyle\oint\limits_\mathcal C</math>.

Mit dem Kreis im Integral möchte man deutlich machen, dass <math>\gamma</math> geschlossen ist. Der einzige Unterschied liegt hierbei in der Notation.

== Beispiele ==
* Ist <math>\mathcal C</math> der [[Funktionsgraph|Graph]] einer Funktion <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>, so wird diese Kurve durch den Weg
:: <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^2,\quad t\mapsto(t,f(t))</math>
: parametrisiert. Wegen
:: <math>\|\dot\gamma(t)\|_2=\sqrt{1+f'(t)^2}</math>
: ist die Länge der Kurve gleich
:: <math>\int\limits_\mathcal C\mathrm ds = \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}\,\mathrm dt.</math>
* Eine Ellipse mit großer Halbachse <math>a</math> und kleiner Halbachse <math>b</math> wird durch <math>(a\cos t, \, b\sin t)</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> parametrisiert. Ihr Umfang ist also

:: <math>\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}\,\mathrm dt = 4a\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\varepsilon^2\cos^2t}\;\mathrm dt</math>.
: Dabei bezeichnet <math>\varepsilon</math> die [[Exzentrizität (Mathematik)|numerische Exzentrizität]] <math>\sqrt{1-b^2/a^2}</math> der Ellipse. Das Integral auf der rechten Seite wird aufgrund dieses Zusammenhanges als [[elliptisches Integral]] bezeichnet.

== Wegunabhängigkeit ==
Ist ein Vektorfeld <math>\mathbf{F}</math> ein ''[[Gradientenfeld]]'', d. h., <math>\mathbf{F}</math> ist der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] eines skalaren Feldes <math>V</math>, mit

: <math>\mathbf{\nabla} V = \mathbf{F}</math>,

so gilt für die [[Differentialrechnung|Ableitung]] der [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] von <math>V</math> und <math>\mathbf{r}(t)</math>

: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} V(\mathbf{r}(t)) = \mathbf{\nabla} V(\mathbf{r}(t)) \cdot \dot{\mathbf{r}}(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \dot{\mathbf{r}}(t)</math>,

was gerade dem Integranden des Wegintegrals über <math>\mathbf{F}</math> auf <math>\mathbf{r}(t)</math> entspricht. Daraus folgt für eine gegebene Kurve <math>\mathcal S</math>

: <math>\int\limits_{\mathcal S} \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm d\mathbf{x} = \int\limits_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \dot{\mathbf{r}}(t)\,\mathrm dt = \int\limits_a^b \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} V(\mathbf{r}(t)) \,\mathrm dt = V(\mathbf{r}(b)) - V(\mathbf{r}(a)).</math>
[[Datei:Konservative Kraft Wege.svg|mini|200px|Zwei beliebige Kurven <math>\mathcal S1</math> und <math>\mathcal S2</math> in einem Gradientenfeld]]
Dies bedeutet, dass das Integral von <math>\mathbf{F}</math> über <math>\mathcal S</math> ausschließlich von den Punkten <math>\mathbf{r}(b)</math> und <math>\mathbf{r}(a)</math> abhängt und der Weg dazwischen irrelevant für das Ergebnis ist. Aus diesem Grund wird das Integral eines Gradientenfeldes als „wegunabhängig“ bezeichnet.

Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve <math>\mathcal S</math> mit zwei beliebigen Wegen <math>\mathcal S_1</math> und <math>\mathcal S_2</math>:

: <math>\oint\limits_{\mathcal S} \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} = \int\limits_{1,\mathcal{S}_1}^2 \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} + \int\limits_{2,\mathcal{S}_2}^1 \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} = 0</math>

Dies ist insbesondere in der [[Physik]] von großer Bedeutung, da beispielsweise die [[Gravitation]] diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als [[konservative Kraft]]felder bezeichnet. Das skalare Feld <math>V</math> ist dabei das [[Skalarpotential|Potential]] oder die [[potentielle Energie]]. Konservative Kraftfelder erhalten die mechanische Energie, d. i. die Summe aus [[Kinetische Energie|kinetischer Energie]] und potentieller Energie. Gemäß dem obigen Integral wird auf einer geschlossenen Kurve insgesamt eine Arbeit von 0 J aufgebracht.

Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der [[Integrabilitätsbedingung]] zeigen und gilt im Allgemeinen nur auf [[Zusammenhängender Raum#Einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden Gebieten]] bzw. nur zwischen zueinander [[Homotopie|homotopen]] Kurven <math>\mathcal{S}_{1}</math> und <math>\mathcal{S}_{2}</math>.

[[Datei:Windungszahl5.png|mini|400px|links|Die Kurve <math>\gamma</math> umläuft das Zentrum <math>z_0</math> zweimal]]
Ist das Vektorfeld nur in einer (kleinen) Umgebung <math>U</math> eines Punktes nicht als Gradientenfeld darstellbar, so ist das geschlossene Wegintegral von Kurven außerhalb von <math>U</math> proportional zur Windungszahl um diesen Punkt und ansonsten unabhängig vom genauen Verlauf der Kurve (siehe [[Algebraische Topologie#Methodik|Algebraische Topologie: Methodik]]).

== Komplexe Wegintegrale ==

=== Integrale komplexwertiger Funktionen ===
Ist <math>f\colon[a,b]\to\mathbb{C}</math> eine [[komplexwertige Funktion]], dann nennt man <math>f</math> integrierbar, wenn <math>\operatorname{Re}f</math> und <math>\operatorname{Im}f</math> integrierbar sind. Man definiert
: <math>\int\limits_a^bf(x)\mathrm{d} x := \int\limits_a^b\operatorname{Re}f(x)\mathrm{d}x +\mathrm{i}\int\limits_a^b\operatorname{Im}f(x)\mathrm{d}x</math>.
Das Integral ist damit <math>\mathbb{C}</math>-linear. Ist <math>f</math> im Intervall <math>[a,b]</math> stetig und <math>F</math> eine [[Stammfunktion]] von <math>f</math>, so gilt wie im Reellen
: <math>\int\limits_a^bf(x)\mathrm{d}x = F(b)-F(a)</math>.

=== Wegintegrale komplexer Funktionen ===
Der Integralbegriff wird nun auf die komplexe Ebene wie folgt erweitert: Ist <math>f\colon U\to\mathbb C</math> eine komplexwertige Funktion auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>U\subseteq\mathbb C</math>, und ist <math>\gamma\colon[0,1]\to U</math> ein stückweise stetig differenzierbarer [[Weg (Mathematik)|Weg]] in <math>U</math>, so ist das ''Wegintegral'' ''von'' <math>f</math> ''entlang des Weges'' <math>\gamma</math> definiert als
: <math>\int\limits_\gamma f := \int\limits_\gamma f(z)\,\mathrm dz := \int\limits_0^1 f(\gamma(t))\cdot \dot{\gamma}(t)\,\mathrm dt.</math>
Der Malpunkt bezeichnet hier komplexe Multiplikation.

==== Folgerungen ====
Die zentrale Aussage über Wegintegrale komplexer Funktionen ist der [[Cauchyscher Integralsatz|Cauchysche Integralsatz]]: Für eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> hängt das Wegintegral nur von der [[Homotopie]]klasse von <math>\gamma</math> ab. Ist <math>U</math> [[Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängend]], so hängt das Integral also überhaupt nicht von <math>\gamma</math>, sondern nur von Anfangs- und Endpunkt ab.

==== Beziehung zu reellen Wegintegralen ====
Definiert man

:<math>\tilde{U} := \left\{(x, y)\in\R^2 \mid x+iy \in U \right\} \subset \R^2,
</math>

:<math>\tilde{f}: \tilde{U} \rightarrow \R^2, (x, y) \rightarrow \tilde{f}(x, y) := \left(u(x, y), v(x, y)\right) := \left(\Re{f(x+iy)}, \Im{f(x+iy)}\right)</math>

:<math>\tilde{\gamma}: [0, 1] \rightarrow \tilde{U}, t \rightarrow \tilde{\gamma}(t) := \left(\alpha(t), \beta(t)\right) := \left(\Re{\gamma(t)}, \Im{\gamma(t)}\right)</math>

als reelle Entsprechungen von <math>U</math>, <math>f</math> und <math>\gamma</math> mit <math>u, v: \tilde{U}\rightarrow \R
</math> bzw. <math>\alpha, \beta: [0, 1] \rightarrow \R</math> Real- und Imaginärteil von <math>f
</math> bzw. <math>\gamma</math>, dann gilt nach obiger Definition

:<math>\begin{align}
\int\limits_\gamma f(z)\,\mathrm dz
=& \int\limits_0^1 f(\gamma(t))\cdot \dot{\gamma}(t)\,\mathrm dt
= \int\limits_0^1 \left[u(\tilde{\gamma}(t))+i v(\tilde{\gamma}(t))\right]\cdot\left[\dot{\alpha}(t) + i \dot{\beta}(t)\right]\,\mathrm dt \\
=& \int\limits_0^1 u(\tilde{\gamma}(t)) \dot{\alpha}(t) - \dot{\beta}(t) v(\tilde{\gamma}(t)) \,\mathrm dt
+ i \int\limits_0^1 v(\tilde{\gamma}(t)) \dot{\alpha}(t) + \dot{\beta}(t) u(\tilde{\gamma}(t)) \,\mathrm dt \\
=& \int\limits_0^1 \begin{pmatrix} u(\tilde{\gamma}(t)) \\ -v(\tilde{\gamma}(t)) \end{pmatrix} \cdot\tilde{\gamma}(t)\,\mathrm dt
+ i \int\limits_0^1 \begin{pmatrix} v(\tilde{\gamma}(t)) \\ u(\tilde{\gamma}(t)) \end{pmatrix} \cdot\tilde{\gamma}(t)\,\mathrm dt \\
=& \int\limits_{\tilde{\gamma}} \mathbf{g}(\mathbf{x})\cdot\mathrm{d}\mathbf{x}
+ i \int\limits_{\tilde{\gamma}} \mathbf{h}(\mathbf{x})\cdot\mathrm{d}\mathbf{x},
\end{align}</math>

wobei im letzten Schritt die Vektorfelder

:<math>\mathbf{g}: \tilde{U} \rightarrow \R^2,
\mathbf{x}=(x, y) \rightarrow \mathbf{g}(x, y) := \begin{pmatrix} u(x, y) \\ -v(x, y) \end{pmatrix},
\quad
\mathbf{h}: \tilde{U} \rightarrow \R^2,
\mathbf{x}=(x, y) \rightarrow \mathbf{h}(x, y) := \begin{pmatrix} v(x, y) \\ u(x, y) \end{pmatrix}</math>

eingeführt wurden. Das heißt das Wegintegral einer komplexen Funktion kann auch als Summe zweier reellen Wegintegrale zweiter Art dargestellt werden.

Aus der letzten Darstellung folgt auch unmittelbar der [[Cauchyscher Integralsatz|Cauchysche Integralsatz]], denn für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math> erfüllen <math>u</math> und <math>v</math> die [[Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]]. Da diese äquivalent zur [[Integrabilitätsbedingung]]en von <math>\mathbf{g}</math> und <math>\mathbf{h}</math> sind, ist das komplexe Wegintegral über <math>f</math> wegunabhängig, d. h. sein Wert ist invariant unter [[Homotopie|homotopen]] Wegänderungen <math>\gamma_1 \rightarrow \gamma_2</math>.

==== Eigenschaften ====
Eigenschaften wie Linearität, Zerlegungsadditivität und Invarianz unter Umparametrisierung folgen nach der letzten Darstellung direkt aus den entsprechenden Beziehungen für reelle Kurvenintegrale.

Analog zum reellen Fall definiert man die ''Länge'' des Weges <math>\gamma</math> durch
: <math>\operatorname{L}(\gamma) := \int\limits_0^1 \left| \dot{\gamma}(t) \right| \mathrm{d}t</math>.

Auch für komplexe Kurvenintegrale gilt die Dreiecksungleichung
: <math>\left| \int_\gamma f(z) \, \mathrm dz \right|
\leq \int_{\tilde{\gamma}} \left\|\tilde{f}(x, y)\right\|_{2}\, \mathrm{d} s(x, y)
\leq \operatorname{L}(\gamma)\cdot \sup_{z \in \gamma([0, 1]) } \left|f(z)\right|</math>,

Das zweite Integral ist dabei ein zweidimensionales, reelles Wegintegral erster Art, wobei <math>\tilde{f}</math> und <math>\tilde{\gamma}</math> wie oben die reellen Versionen von <math>f</math> und <math>\gamma</math> sind. Die verkürzte Ungleichung

:<math>\left| \int_\gamma f(z) \, \mathrm dz \right|
\leq C \cdot \operatorname{L}(\gamma)
\quad\text{mit}\quad
C = \sup_{z \in \gamma([0, 1]) } \left|f(z)\right| < \infty</math>

wird als [[Standardabschätzung für Wegintegrale|Standardabschätzung]] bezeichnet und ist vor allem für theoretische Zwecke von besonderer Bedeutung.

Wie im reellen Fall ist das Wegintegral unabhängig von der Parametrisierung des Weges <math>\gamma</math>, d. h., es ist nicht zwingend notwendig, <math>[0,1]</math> als Parameterbereich zu wählen, wie sich durch Substitution zeigen lässt. Dies erlaubt die Definition komplexer Kurvenintegrale, indem man den obigen Formeln den Weg <math>\gamma</math> durch eine Kurve <math>\mathcal C</math> in <math>\mathbb{C}</math> ersetzt.

== Siehe dagegen ==
* [[Pfadintegral]]

== Literatur ==
* [[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis – Teil 2''. 1981, 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0. S. 369, Satz 180.1; S. 391, Satz 184.1; S. 393, Satz 185.1.

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=917 Kurvenintegrale] bei ''[[Matroids Matheplanet]]''

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Integralbegriff]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Vektoranalysis]]

Kurvenintegral - Versionsgeschichte

imported>Christian1985: /* Einfluss der Parametrisierung */ \textstyle