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2025-02-05T04:53:24Z

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Im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Körpertheorie]] beschreibt die '''Kummer-Theorie''' bestimmte [[Körpererweiterung]]en, die man durch [[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] <math>n</math>-ter Wurzeln von Elementen des Grundkörpers erhält. Ursprünglich wurde die Theorie von [[Ernst Eduard Kummer]] bei seiner Beschäftigung mit der [[Großer fermatscher Satz|fermatschen Vermutung]] in den 1840er-Jahren entwickelt.

Die Hauptaussagen der Theorie hängen nicht vom speziellen Grundkörper ab, nur darf dessen [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] kein Teiler von <math>n</math> sein. Eine grundlegende Rolle spielt die Kummer-Theorie in der [[Klassenkörpertheorie]], allgemein ist sie zum Verständnis abelscher Erweiterungen wichtig; sie besagt, dass zyklische Erweiterungen durch Wurzelziehen gewonnen werden können, sofern der Grundkörper genügend Einheitswurzeln enthält.

== Kummererweiterungen ==
=== Definition ===
Sei <math>n>1</math> eine [[natürliche Zahl]]. Eine '''Kummer-Erweiterung''' ist eine Körpererweiterung <math>L/K</math>, für die gilt:

*<math>K</math> enthält <math>n</math> verschiedene <math>n</math>-te [[Einheitswurzel]]n, also die Nullstellen des Polynoms <math>X^n-1</math>.
*<math>L/K</math> hat eine [[Abelsche Gruppe|abelsche]] [[Galoisgruppe]] vom [[Gruppenexponent|Exponenten]] <math>n</math>. Letzteres bedeutet, dass für alle Elemente <math>\sigma</math> der Galoisgruppe <math>\sigma^n=\operatorname{Id}</math> gilt und <math>n</math> minimal mit dieser Eigenschaft ist.

=== Beispiele ===
* Ist <math>n=2</math>, so ist die erste Bedingung immer erfüllt, falls <math>K</math> nicht die Charakteristik 2 hat, die beiden Einheitswurzeln sind 1 und −1. Kummer-Erweiterungen sind in diesem Fall zunächst quadratische Erweiterungen <math>L=K(\sqrt a)</math>, wobei <math>a</math> ein nichtquadratisches Element von <math>K</math> ist. Die Lösungsformel für [[quadratische Gleichung]]en zeigt, dass jede Erweiterung vom Grad 2 diese Gestalt besitzt. Ebenfalls Kummer-Erweiterungen für <math>n=2</math> sind biquadratische (durch Adjunktion zweier Quadratwurzeln) und allgemeiner multiquatratische (durch Adjunktion mehrerer Quadratwurzeln) Erweiterungen. Hat <math>K</math> die Charakteristik 2, gibt es keine Kummer-Erweiterungen, da in Charakteristik 2 die Gleichung <math>-1=1</math> gilt, es also keine zwei verschiedenen Einheitswurzeln gibt.

* Für <math>n=3</math> gibt es keine Kummer-Erweiterungen der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\mathbb Q</math>, da nicht alle drei dritten Einheitswurzeln rational sind. Sei <math>a</math> eine beliebige rationale Zahl, die keine dritte Potenz ist, und <math>L</math> der [[Zerfällungskörper]] von <math>X^3-a</math> über <math>\mathbb Q</math>. Sind <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Nullstellen dieses kubischen Polynoms, so gilt <math>(\alpha/\beta)^3=\alpha^3/\beta^3=a/a=1</math>. Da das kubische [[Polynom]] ferner [[Körpererweiterung#Separabilität|separabel]] ist, hat es drei verschiedene Nullstellen. Damit liegen auch die beiden nichttrivialen dritten Einheitswurzeln, nämlich <math>\alpha/\beta</math> und <math>\beta/\alpha</math>, in <math>L</math>, sodass <math>L</math> einen Unterkörper <math>K</math> besitzt, der die drei Einheitswurzeln enthält. Dann ist <math>L/K</math> eine Kummer-Erweiterung.

* Enthält <math>K</math> allgemeiner <math>n</math> verschiedene <math>n</math>-te Einheitswurzeln, woraus bereits folgt, dass die Charakteristik von <math>K</math> kein Teiler von <math>n</math> ist, so erhält man durch Adjunktion einer <math>n</math>-ten Wurzel eines Elements <math>a</math> von <math>K</math> zum Körper <math>K</math> eine Kummer-Erweiterung. Ihr Grad <math>m</math> ist dabei ein Teiler von <math>n</math>. Als Zerfällungskörper des Polynoms <math>X^n-a</math> ist die Kummer-Erweiterung automatisch [[Körpererweiterung#Galoiserweiterung|galoissch]] mit [[Zyklische Gruppe|zyklischer]] Galoisgruppe der Ordnung <math>m</math>.

== Kummer-Theorie ==

Die Kummer-Theorie macht Aussagen der umgekehrten Richtung. Ist <math>K</math> ein Körper, der <math>n</math> verschiedene <math>n</math>-te Einheitswurzeln enthält, so besagt sie, dass jede [[zyklische Erweiterung]] von <math>K</math> vom Grad <math>n</math> durch das Ziehen einer <math>n</math>-ten Wurzel gewonnen werden kann. Bezeichnet man mit <math>K^\times</math> die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente des Körpers <math>K</math>, so stehen die zyklischen Erweiterungen von <math>K</math> vom Grad <math>n</math>, die in einem fest gewählten [[Algebraischer Abschluss|algebraischen Abschluss]] liegen, in Bijektion mit den zyklischen Untergruppen von <math>K^\times/(K^\times)^n</math>, also der [[Faktorgruppe]] von <math>K^\times</math> nach den <math>n</math>-ten Potenzen.

Die Bijektion kann explizit angegeben werden: Einer zyklischen Untergruppe <math>\Delta \subseteq K^\times/(K^\times)^n</math> wird die Erweiterung <math>K(\Delta^{1/n})</math> zugeordnet, die durch Adjunktion aller <math>n</math>-ten Wurzeln von Elementen aus <math>\Delta</math> zu <math>K</math> entsteht.

Umgekehrt ordnet man der Kummererweiterung <math>L/K</math> die Untergruppe <math>\Delta = K^\times \cap (L^\times)^n</math> zu.

Ordnet diese Bijektion die Gruppe <math>\Delta</math> und die Körpererweiterung <math>L/K</math> einander zu, so gibt es einen Isomorphismus <math>\Delta \cong \operatorname{Hom}(\operatorname{Gal}(L/K), \mu_n)</math>, der gegeben ist durch <math>a \mapsto (\sigma \mapsto \tfrac{\sigma(\alpha)}{\alpha})</math>. Dabei steht <math>\mu_n</math> für die Gruppe der <math>n</math>-ten Einheitswurzeln und <math>\alpha</math> für eine beliebige <math>n</math>-te Wurzel von <math>a\in\Delta</math>.

== Verallgemeinerungen ==

Die oben angegebene Korrespondenz setzt sich fort zu einer Bijektion zwischen Untergruppen <math>\Delta\subseteq K^\times/(K^\times)^n</math> und abelschen Erweiterungen vom Exponenten <math>n</math>. Diese allgemeine Fassung wurde erstmals von [[Ernst Witt]] angegeben.<ref>{{Literatur|Autor=[[Peter Roquette]]|Titel=Class Field Theory in Characteristic p, its Origin and Development|Sammelwerk=Class Field Theory, its Centenary and Prospect|Verlag=Math. Soc. Japan|Ort=Tokyo|Jahr=2001|Seiten=549-631}} Die Originalarbeit von Witt ist: {{Literatur | Autor=Ernst Witt | Titel=Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper | Sammelwerk=Journal für die reine und angewandte Mathematik | Band=173 | Jahr=1935 | Seiten=34-51}}</ref>

In Charakteristik <math>p>0</math> gibt es eine analoge Theorie für zyklische Erweiterungen vom Grad <math>p</math>, die [[Artin-Schreier-Theorie]]. Eine Verallgemeinerung für abelsche Erweiterungen vom Exponenten <math>p^n</math> stammt ebenfalls von Witt.<ref>{{Literatur | Autor=Ernst Witt | Titel=Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad p<sup>n</sup>. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p | Sammelwerk=Journal für die reine und angewandte Mathematik | Band=176 | Jahr=1936 | Seiten=126-140}}</ref> Sie verwendet die in derselben Arbeit eingeführten [[Wittvektor|Wittvektoren]].

== Fußnoten ==

<references/>

== Quellen ==
* [[Jürgen Neukirch]]: ''Klassenkörpertheorie''. Bibliographisches Institut, Mannheim 1986.
* {{EoM | Titel = Kummer extension | Autor = L. V. Kuz'min | Url = http://eom.springer.de/k/k055960.htm }}

[[Kategorie:Körpertheorie]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]

Kummer-Theorie - Versionsgeschichte

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