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2025-04-14T19:48:51Z

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[[Datei:Spherical wave2.gif|mini|Zweidimensionale Darstellung einer Kugelwelle]]
Die '''Kugelwelle''' ist eine sich regelmäßig sowie gleichmäßig von einer Quelle in alle Raumrichtungen in streng [[konzentrisch]]en [[Wellenfront]]en ausbreitende [[Welle]] (z. B.: [[Schallwelle]], [[Lichtwelle]]).

Solch eine kugelförmige Wellenfront entsteht nur unter der Annahme stark [[Idealisierung (Physik)|idealisierter]] Voraussetzungen, z. B.
* bei einem [[Kugelstrahler]] nullter Ordnung, also einer [[atmende Kugel|Atmenden Kugel]], als Quelle
* bei Abstrahlung in ein [[Homogenität (Physik)|homogen]]es [[isotrop]]es [[Ausbreitungsmedium|Medium]] (hier am Beispiel von Schallwellen in Luft behandelt) und
* bei ungestörter Ausbreitung.
Ist der Ausgangsort einer Welle ([[Sendeanlage|Sender]]) als punktförmig anzusehen, so breitet sich die Welle in einem homogenen, isotropen Medium als Kugelwelle aus, d. h. die Flächen gleicher [[Welle #Phase|Phasen]] sind konzentrisch zum Sender gelegene Kugelflächen, die gleiche Abstände voneinander haben.

Charakteristisch für Kugelwellen ist, dass alle [[Feldgröße|Feld-]] und [[Energiegröße]]n auf konzentrischen Schalen um den Erregungsmittelpunkt des Senders konstant sind, während diese bei [[ebene Welle|ebenen Wellen]] in Ebenen konstant sind, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Wellenbewegung stehen. Mit wachsender Entfernung vom Sender werden die Kugelwellen ebenen Wellenfronten immer ähnlicher.

Analytisch lässt sich eine harmonische Kugelwelle darstellen als

:<math>u(r, t) = u_0 \frac{\exp \left[ \mathrm i(\omega t - kr) \right]}{kr}</math>

mit
* der [[Exponentialfunktion]] <math>\exp</math>
* der [[imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] <math>i</math>
* der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math>
* der Zeit <math>t</math>
** dem [[Phasenwinkel]] <math>\varphi = \omega t</math>
* der [[Wellenzahl]] <math>k</math>
* dem Abstand <math>r</math>.
Die Energie einer Kugelwelle verteilt sich auf immer größere Flächen, d. h. die [[Energiedichte]] bzw. [[Leistungsdichte]] nimmt mit dem [[Kehrwert|reziproken]] Abstandsquadrat 1/''r''<sup>2</sup> ab. Dies wird auch als das quadratische Energie-[[Abstandsgesetz]] bezeichnet. Anders ausgedrückt: bei Verdopplung der Entfernung <math>r</math> zum Sender reduziert sich die Leistungsdichte durch die Vervierfachung der Kugelfläche auf ein Viertel des ursprünglichen Wertes.

== Akustische Kugelwelle (Schall) ==
=== Schallenergiegrößen ===
Die [[Schallintensität]] <math>I</math> (d. h. die Flächenleistungsdichte des Schalls) nimmt als [[Schallenergiegröße]] proportional mit dem Quadrat der Entfernung vom Sender ab:

:<math>I = \frac{P_\mathrm{ak}}{A} \sim \frac{1}{r^2} \quad \mathrm{bzw.} \quad I \sim \frac{I_0}{r^2}</math>

d. h. ihr Größenwert viertelt sich je Entfernungsverdopplung:

:<math>\Leftrightarrow \frac{I_2} {I_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2</math>

Dies liegt daran, dass die von der [[Schallquelle]] insgesamt emittierte [[Schallleistung]] <math>P_\mathrm{ak}</math> im theoretischen Modell auf den [[Hüllfläche]]n um die Kugelschallquelle konstant bleibt, d. h., dass sie von der Senderentfernung unabhängig ist:

::<math>P_\mathrm{ak} = \text{const}. \neq f(r)</math>

während sie sich ständig vergrößernde Kugelflächen <math>A</math> durchsetzt, die mit dem Abstandsquadrat ansteigen:

::<math>A = 4 \cdot \pi \cdot r^2</math>

Die o. g. Abnahme der Schallintensität und ebenso des [[Schalldruckpegel]]s auf ein Viertel kann jeweils als Abnahme um 6 [[Dezibel|dB]] ausgedrückt werden.

=== Schallfeldgrößen ===
Ähnlich wie bei [[elektromagnetisch]]en Kugelwellen unterscheidet man auch bei Schall-Kugelwellen zwischen
* einem [[Nahfeld und Fernfeld (Akustik)|Nahfeld]] <math>\left( r < 2 \cdot \lambda \right)</math>
* einem Fernfeld <math>\left( r > 2 \cdot \lambda \right)</math>
mit
* <math>r</math> der Entfernung vom Messpunkt zum Sender
* <math>\lambda</math> der [[Wellenlänge]].

==== Fernfeld ====
Die [[Schallfeldgröße]]n [[Schalldruck|Schall(wechsel)druck]] ''p'', [[Schallschnelle]] ''v'' und [[Schallauslenkung]] ''ξ'' nehmen im Fernfeld mit <math>\tfrac{1}{r}</math> ab, d. h. ihre Größenwerte halbieren sich je Entfernungsverdopplung:

:<math>p \sim \frac{1}{r} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{p_2} {p_1} = \frac{r_1}{r_2}</math>

:<math>v \sim \frac{1}{r} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{v_2} {v_1} = \frac{r_1}{r_2}</math>

:<math>\xi \sim \frac{1}{r} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{\xi_2} {\xi_1} = \frac{r_1}{r_2}</math>


(Die Schallschnelle ''v'' stellt lediglich die Wechselgeschwindigkeit der [[Teilchen]] dar. Sie ist nicht zu verwechseln mit der [[Schallgeschwindigkeit]] ''c'', mit der sich die Schallenergie ausbreitet.)

==== Nahfeld ====
Im Nahfeld nehmen die Schallschnelle und die Schallauslenkung mit <math>\frac{1}{r^2}</math> ab, der Schalldruck dagegen mit <math>\frac{1}{r}</math>.

Der 1/''r''<sup>2</sup>-Abfall der Schnelle im Nahfeld einer Kugelschallwelle wird im Wesentlichen durch die Blindschnelle 'v verursacht, die neben dem Wirkanteil –v auftritt. Bei der Schallabstrahlung im Nahfeld tritt nämlich neben der eigentlichen (Wirk-)[[Schallenergie]] auch eine Blindenergie-Komponente auf, die durch die mitschwingende Mediummasse zustande kommt. Darunter versteht man diejenige Luftmasse, die in unmittelbarer Nähe der Schallquelle "[[Watt (Einheit)|watt]]<nowiki/>los" hin- und hergeschoben wird, ohne dabei komprimiert zu werden. Infolge dieser nicht zu vernachlässigenden Massewirkung der mitschwingenden Luft tritt zwischen Schallschnelle und Schalldruck eine [[Phasenverschiebung]] auf, die für die Größe der Blindenergie kennzeichnend ist (siehe hierzu den Weblink).

Im ebenen [[Schallfeld]] besteht die Schnelle nur aus ihrem Wirkanteil, dort gibt es keinen Blindanteil.

== Weblinks ==
* [https://www.sengpielaudio.com/Schallschnelle-Veit.pdf Die Schallschnelle bei der Kugelwelle von Ivar Veit] (PDF-Datei; 51 kB)

[[Kategorie:Akustik]]
[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Welle]]
[[Kategorie:Wellenlehre]]

[[en:Wave equation#Spherical waves]]

Kugelwelle - Versionsgeschichte

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