imported>Kognitiver: vorher: Anteil der Basisfläche = π a ²; jetzt: Kurzform Kugel genügt; Erklärung mit ''Kuppel'' (ist hohl) und ''Kreisscheibe'' (ist dick) war nicht eindeutig

2025-08-30T18:06:32Z

vorher: Anteil der Basisfläche = π a 2; jetzt: Kurzform Kugel genügt; Erklärung mit ''Kuppel'' (ist hohl) und ''Kreisscheibe'' (ist dick) war nicht eindeutig

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[[Datei:Casquete 3D.stl|mini|hochkant=1.25|Interaktives 3D-Modell einer Kugelkalotte: Nach Anklicken kann das Bild mit der Maus manipuliert werden]]
Ein '''Kugelsegment''' oder '''Kugelabschnitt''' ist ein Teil einer [[Kugel]], der durch den Schnitt mit einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] abgetrennt wird. Die kreisförmige Schnittfläche ist seine [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]]. Ein Kugelsegment ist ein Sonderfall einer [[Kugelschicht]], bei der die Höhe bis an die Kugeloberfläche heranreicht. Eine [[Halbkugel]] ist wiederum ein Sonderfall eines Kugelsegments, bei der die Schnittebene den Kugelmittelpunkt enthält. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird '''Kugelkalotte''', auch '''Kugelkappe''' oder '''Kugelhaube''' genannt.<ref>[[Harald Scheid]], Wolfgang Schwarz: ''Elemente der Geometrie'' (2009)</ref>

== Formeln ==
[[Datei:Kugel-kappe-s.svg|hochkant=2|mini|Der blaue Körper ist ein Kugelsegment; der rosa Restkörper ebenfalls.]]
Für die Berechnung von [[Volumen]], [[Mantelfläche]] und [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]] eines Kugelsegments gelten die folgenden [[Mathematische Formel|Formeln]]. Dabei bezeichnet <math>r</math> den [[Radius]] der [[Kugel]], <math>a</math> den Radius des Basiskreises des Kugelsegments und <math>h</math> die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] des Kugelsegments.

Diese drei Größen sind nicht unabhängig voneinander. Das Kugelsegment ist durch zwei beliebige dieser drei Größen bestimmt. Aus zwei der drei Größen lässt sich die dritte nach dem Satz des Pythagoras berechnen
:<math>(r - h)^2 + a^2 = r^2</math>, bzw. <math>2 r h = a^2 + h^2</math>
In den folgenden Formeln ist bei ± Minus zu nehmen, wenn das Kugelsegment weniger als die halbe Kugel groß ist, sonst Plus.
:<math>h = r \pm \sqrt{r^2 - a^2}</math>
:<math>h^2 = 2 r \, (r \pm \sqrt{r^2 - a^2}) - a^2</math>

Statt <math>a</math> und <math>h</math> reicht auch die Angabe des [[Winkel]]s <math>\theta_0</math> des Basiskreises (siehe Abbildung). Es gilt:
:<math>a = r \, \sin\theta_0</math>
:<math>h = r \, (1 - \cos\theta_0)</math>

Es gibt deshalb jeweils mehrere Formeln, je nachdem, welche der Größen gegeben sind.
{| class="wikitable"
|+ Größen eines Kugelsegments mit dem Radius ''r'' der Kugel, dem Radius ''a'' des Basiskreises und der Höhe ''h''
|-
| rowspan="4" |'''[[Volumen]]'''
|<math>V_{r,h} = \frac{\pi}{3} h^2 \, (3r - h)</math>
|-
|<math>V_{h,a} = \frac{\pi}{6} h \, (3 a^2 + h^2)</math>
|-
|<math>V_{r,a} = \frac{\pi}{3} \, (r \pm \sqrt{r^2 - a^2}) \, \left(a^2 + r \, (r \pm \sqrt{r^2 - a^2})\right)</math>
|-
|<math>V_{r,\theta_0} = \frac{\pi}{3} \, r^3 \, (2 + \cos\theta_0) \, (1 - \cos\theta_0)^2</math>
|-
| rowspan="5" |'''[[Flächeninhalt|Flächeninhalt der]]''' '''[[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]]''' Anteil der Basisfläche <math> = \pi a^2 </math>
|<math>O_{r,h,a} = \pi \, (2rh + a^2)</math>
|-
|<math>O_{r,h} = \pi \, h (4r - h)</math>
|-
|<math>O_{h,a} = \pi \, (2a^2 + h^2)</math>
|-
|<math>O_{r,a} = \pi \left(a^2 + 2 r \, (r \pm \sqrt{r^2 - a^2})\right)</math>
|-
|<math>O_{r,\theta_0} = 2 \pi \, r^2 \, (1 - \cos\theta_0 + \tfrac{1}{2}\sin^2\theta_0)</math>
|-
| rowspan="4" |'''[[Flächeninhalt|Flächeninhalt der]] ''' '''[[Mantelfläche]]'''
|<math>M_{r,h} = 2 \pi \, r h</math>
|-
|<math>M_{h,a} = \pi \, (a^2 + h^2)</math>
|-
|<math>M_{r,a} = 2 \pi \, r \, \left(r \pm \sqrt{r^2 - a^2}\right)</math>
|-
|<math>M_{r,\theta_0} = 2 \pi \, r^2 \, (1 - \cos\theta_0)</math>
|}

=== Sonderfälle ===
Für <math>h = r</math> ist <math>a = r</math> und das Kugelsegment eine [[Halbkugel]]: <math>V = \tfrac{2 \pi}{3} r^3, \ M = 2 \pi r^2,\ O = 3 \pi r^2.</math>

Für <math>h = 2 r</math> ist <math>a = 0</math> und das Kugelsegment ist eine ganze [[Kugel]]: <math>V = \tfrac{4 \pi}{3} r^3, \ M = O = 4 \pi r^2.</math>

=== Herleitung ===
[[Datei:Kugelkappe-int-s.svg|250px|mini|Kugelkappe: Funktion für das Volumenintegral]]
Nach dem [[Satz des Pythagoras]] gilt: <math>(r - h)^2 + a^2 = r^2</math>. Auflösen der Klammer liefert:
:<math> 2 r h = a^2 + h^2</math>.
Das [[Volumen]] eines Kugelsegments ergibt sich aus dem Volumenintegral für [[Rotationskörper]] für den [[Kreisbogen]] <math>y = f(x) = \sqrt{r^2 - (x-r)^2} = \sqrt{2 r x - x^2}</math>:
:<math>V = \pi \int\limits_{0}^{h} f(x)^2 \,dx = \pi \int\limits_{0}^{h} 2rx - x^2 \, dx = \frac{\pi \, h^2}{3} \, (3r - h)</math>.

Entsprechend ergibt sich die [[Mantelfläche]] eines Kugelsegments (ohne Basiskreis) aus der Flächenformel für [[Rotationsfläche]]n
:<math>M = 2 \pi \int\limits_{0}^{h} f(x) \sqrt {1 + f'(x)^2} \, dx = 2 \pi \, r \int\limits_{0}^{h} dx = 2 \pi \, r h</math> .

Und mit Basiskreis: <math>O = \pi \, (2 r h + a^2) = \pi \, (2 a^2 + h^2)</math>.

== Höherdimensionale euklidische Räume ==
Eine Kalotte im n-dimensionalen Raum hat Volumen und Mantelfläche<ref name="S-Li">{{cite journal|title=Consice Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap|first1=S.|last1=Li|journal=Asian Journal of Mathematics and Statistics|year=2011|pages=66–70|language=Englisch|url=https://docsdrive.com/pdfs/ansinet/ajms/2011/66-70.pdf}}</ref>
:<math>V_{cap^n} = \frac{\pi ^ {\frac{n-1}{2}}\, r^{n}}{\,\Gamma \left ( \frac{n+1}{2} \right )} \int\limits_{0}^{\arccos\left(\frac{r-h}{r}\right)}\sin^n (\theta) \,\mathrm{d}\theta =
\frac{1}{2}V_{n} \, r^n I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2} \right)
</math>
:<math>M_{cap^n} =\frac{1}{2}M_{n} \, r^{n-1} I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n-1}{2}, \frac{1}{2} \right)</math>
mit
* der [[Gammafunktion]] Γ
* dem Vollvolumen <math>V_n</math>
* dem vollen Mantel <math>M_n</math>
* der regularisierten [[Betafunktion]] <math>I_{sin^2(\theta_0)}(n/2,1/2) = \tfrac{B(sin^2(\theta_0),n/2,1/2)}{B(n/2,1/2)}</math> mit den Werten <math>2\phi/\pi</math> für n=1, <math>1-\cos(\phi)</math> für n=2, <math>2\phi-\sin(2\phi)/\pi</math> für n=3 und <math>1-3\cos(\phi)/2+\cos^3(\phi)/2</math> für n=4.

=== Vierdimensionale Kalotte ===

Eine Kalotte im 4-dimensionalen Raum hat die Mantelfläche
:<math>M_{cap^4} = r^3\pi(2\theta -\sin(2\theta ))</math>

Von Interesse ist hier auch der Rand des Kalottenmantels
:<math>U_{cap^4} = 4a^2\pi</math>

== Siehe auch ==
* [[Kugelausschnitt]]
* [[Kugelschicht]]
* [[Kugelring]]
* [[Kugelkeil]]
* [[Kreissegment]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Spherical caps}}
* {{MathWorld|SphericalCap|Spherical Cap}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* Bronstein-Semendjajew: ''Taschenbuch der Mathematik.'' Harri-Deutsch-Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 252.
* ''Kleine Enzyklopädie Mathematik'', Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.

[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Kugelsegment - Versionsgeschichte

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