imported>Voluntario: /* Formeln */ Den Satz "Die vier Größen sind nicht unabhängig voneinander." entfernt, weil trivial und irrelevant.

2024-08-08T13:47:33Z

Formeln: Den Satz "Die vier Größen sind nicht unabhängig voneinander." entfernt, weil trivial und irrelevant.

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Eine '''Kugelschicht''', auch '''Kugelscheibe''' genannt, ist ein Teil einer [[Kugel]], der von zwei [[Parallel (Geometrie)|parallelen]] [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird '''Kugelzone''' genannt.

== Formeln ==
Für die Berechnung von [[Volumen]], [[Mantelfläche]] und [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]] einer Kugelschicht gelten die folgenden [[Mathematische Formel|Formeln]]. Dabei bezeichnet <math>r</math> den [[Radius]] der Kugel, <math>a_1,a_2</math> die Radien der Begrenzungskreise und <math>h</math> die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] der Kugelschicht.

Die Höhe kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:
:<math>h = \sqrt{r^2 - a_2^2} \pm \sqrt{r^2 - a_1^2}</math>
Hierbei gilt das Minuszeichen für eine Kugelschicht ohne Kugelmittelpunkt und das Pluszeichen für eine Kugelschicht mit Kugelmittelpunkt.

Der Radius ergibt sich wie folgt:
:<math>r = \frac{1}{2h} \sqrt{(a_1^2 + a_2^2 + h^2)^2 - 4a_1^2a_2^2} =\frac{1}{2h} \sqrt{a_1^4+a_2^4+h^4 -2a_1^2a_2^2+2a_1^2h^2+2a_2^2h^2}</math>
{| class="wikitable"
| colspan="2" |[[Datei:Kugel-zone-s.svg|450px]]
|-
| '''[[Volumen]]'''
|<math> V = \frac{\pi}{6} \cdot h \cdot (3 \cdot a_1^2 + 3 \cdot a_2^2 + h^2)</math>
|-
| '''Inhalt der [[Mantelfläche]]'''
|<math>M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot h \cdot \sqrt{ a_1^2 + \left(\frac{a_1^2 - a_2^2 - h^2}{2 \cdot h}\right)^2 }</math>
|-
| Oberfläche
|<math>\begin{align}
O &= M + A_{\text{Kreis}\,1} + A_{\text{Kreis}\,2} \\
&= \pi \cdot (2 \cdot r \cdot h + a_1^2 + a_2^2) \\
&= 2 \pi \cdot h \cdot \sqrt{a_1^2 + \left(\frac{a_1^2 - a_2^2 - h^2}{2 \cdot h}\right)^2 } + \pi( a_1^2 + a_2^2)
\end{align}</math>
|}

=== Herleitung ===
Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das [[Kugelsegment]] <math>S_1</math> mit dem unteren Kreis als Basiskreis, dem das Kugelsegment <math>S_2</math> mit dem oberen [[Kreis]] als Basiskreis weggenommen wird. Es sei <math>h_1</math> die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] von <math>S_1</math> und <math>h_2</math> die Höhe von <math>S_2</math>.
Die [[Volumen|Volumina]] der beiden Kugelsegmente sind
:<math>V_1 = \frac{\pi}{3} \cdot h_1^2 \cdot (3 \cdot r - h_1)</math>
:<math>V_2 = \frac{\pi}{3} \cdot h_2^2 \cdot (3 \cdot r - h_2)</math>
Siehe dazu auch [[Kugelsegment]]. Also ist
:<math>\begin{align}
V &= V_1 - V_2 = \frac{\pi}{3} \cdot (3 \cdot (h_1^2 - h_2^2) \cdot r - (h_1^3 - h_2^3)) \\
&= \frac{\pi}{3} \cdot (h_1 - h_2) \cdot (3 \cdot (h_1 + h_2) \cdot r - (h_1^2 + h_1 \cdot h_2 + h_2^2))
\end{align} </math>
Mit den Beziehungen <math>2 \cdot r \cdot h_1 = a_1^2 + h_1^2, \ 2 \cdot r \cdot h_2 = a_2^2 + h_2^2</math> (siehe [[Kugelsegment]]) ergibt sich
:<math> \begin{align}
V &= \frac{\pi}{3} \cdot (h_1 - h_2) \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot (a_1^2 + h_1^2 + a_2^2 + h_2^2) - h_1^2 - h_1 \cdot h_2 - h_2^2\right) \\
&= \frac{\pi}{6} \cdot (h_1 - h_2) \cdot (3 \cdot (a_1^2 + a_2^2) + (h_1 - h_2)^2)
\end{align} </math>
Da <math>h = h_1 - h_2</math> ist, folgt die obige Formel: <math> V = \frac {\pi}{6} \cdot h \cdot (3 \cdot a_1^2 + 3 \cdot a_2^2 + h^2) </math>

Für die [[Mantelfläche]] ergibt sich analog
:<math>M = M_1 - M_2 = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h_1 - 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h_2 = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot (h_1 - h_2) = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h</math>

=== Beziehung der Parameter ===
Für den Beweis der Beziehung zwischen <math>r, a_1, a_2, h</math> sei <math>d</math> der Abstand der unteren [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] zum Kugelmittelpunkt <math>M</math>. Dann gilt
:<math>r^2 = d^2 + a_1^2, \ r^2=(d+h)^2+a_2^2</math>
Setzt man die beiden [[Gleichung]]en gleich und löst nach <math>d</math> auf, so erhält man
:<math> d = \frac{a_1^2 - a_2^2 - h^2}{2 \cdot h}</math>,
und mit der ersten Gleichung folgt
:<math>r^2 = a_1^2 + \left(\frac{a_1^2 - a_2^2 - h^2}{2 \cdot h}\right)^2</math>

== Siehe auch ==
* [[Kugelsegment]]
* [[Kugelausschnitt]]
* [[Kugelring]]
* [[Kugelkeil]]

== Literatur ==
* I. Bronstein u. a.: ''Taschenbuch der Mathematik.'' Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2.
* ''Kleine Enzyklopädie Mathematik'', Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.
* L. Kusch u. a.: ''Mathematik, Teil 4 Integralrechnung.'' Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|SphericalSegment|Spherical Segment}}
* {{MathWorld|Zone|Spherical zone}}

[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Kugelschicht - Versionsgeschichte

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