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2022-05-10T21:00:45Z

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[[File:Spherical Wedge.svg|thumb|right|250px|Ein Kugelkeil mit Radius ''r'' und Öffnungswinkel ''α'']]
Ein '''Kugelkeil''' ist in der [[Geometrie]] ein Teil einer [[Vollkugel]], der von zwei einander in einem [[Durchmesser]] schneidenden [[Halbebene]]n herausgeschnitten wird. Der [[Rand (Topologie)|Rand]] (die [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]]) besteht aus einem [[Kugelzweieck]] und zwei [[Kreis#Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring|Halbkreisen]] mit dem [[Radius]] der Kugel.

Betrachtet man die Vollkugel (Radius <math>r</math>) als [[Rotationskörper]], der durch Rotation eines Halbkreises um den begrenzenden Durchmesser um den [[Winkel]] 360° entsteht, so entsteht ein Kugelkeil, wenn man den Halbkreis nur um einen Winkel <math>\alpha < 360^\circ</math> (den „Öffnungswinkel“ des Keils) rotieren lässt.

Das ''[[Volumen]] des Kugelkeils'' ist intuitiv [[Proportionalität|proportional]] zu seinem Öffnungswinkel und ergibt sich daher zu
:<math>V = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot V_\text{Kugel} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot\frac{4\pi}{3}r^3</math>.

Wegen <math>360^\circ=2\pi</math> [[Radiant (Einheit)|rad]] lässt sich das vereinfachen zu
:<math>V = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \frac{4\pi}{3}r^3 = \frac{2}{3}\alpha r^3</math>.

Analog erhält man für den ''[[Flächeninhalt]] des Kugelzweiecks''
:<math>A = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot O_\text{Kugel} = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 4\pi r^2 = 2\alpha r^2</math>.

Für die ''Oberfläche'' des Kugelkeils gilt
:<math>O = A + \pi r^2 = (2\alpha + \pi)r^2</math>.

Die Formeln für das Volumen und den Flächeninhalt des Kugelzweiecks lassen sich exakt mit Hilfe von [[Kugelkoordinaten]] und [[Volumenintegral|Volumen]]- bzw. [[Flächenintegral]]en herleiten.

== Weitere Kugelteile ==
* [[Kugelausschnitt]]
* [[Kugelsegment]]
* [[Kugelschicht]]
* [[Kugelring]]

== Literatur ==
* ''Kleine Enzyklopädie Mathematik.'' Verlag Harri Deutsch (1977), ISBN 3871443239, S. 214.

== Weblinks ==
* {{MathWorld | id = SphericalWedge | title = Spherical Wedge}}

[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Kugelkeil - Versionsgeschichte

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