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[[Datei:Polynomialdeg 3.svg|200px|mini|Graph einer Funktion 3. Grades; die Nullstellen (''y'' = 0) sind dort, wo der Graph die [[Kartesisches Koordinatensystem|''x''-Achse]] schneidet. Dieser Graph hat drei reelle Nullstellen.]]
Eine '''kubische Gleichung''' ist eine [[Gleichung#Bestimmungsgleichungen|Bestimmungsgleichung]], die sich auf die Form
:<math>A \cdot x^3 + B \cdot x^2 + C \cdot x + D = 0</math>
bringen lässt. <math>A, B, C</math> und <math>D</math> sind die ''Koeffizienten'' der Gleichung, wobei <math>A \ne 0</math> vorausgesetzt wird. Die [[Variable (Mathematik)|Variable]] <math>x</math> bezeichnet die ''Unbekannte''. Weil die [[Nullstelle|Nullstellen]] eines [[Polynom|Polynoms]] dritten Grades gesucht sind, spricht man auch von einer [[Algebraische Gleichung|''algebraischen Gleichung'']] oder ''Polynomgleichung dritten Grades''.

Im Falle [[Reelle Zahl|reeller]] Koeffizienten lässt sich eine kubische Gleichung geometrisch deuten, nämlich durch den [[Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] der [[Kubische Funktion|kubischen Funktion]] mit der Gleichung <math>f(x) = A \cdot x^3 + B \cdot x^2 + C \cdot x + D</math>. Die reellen Lösungen der Gleichung entsprechen den Schnittpunkten des Funktionsgraphen mit der <math>x</math>-Achse. Nach dem [[Zwischenwertsatz]] hat eine kubische Gleichung mindestens eine reelle Lösung. Andererseits kann sie höchstens drei reelle Lösungen haben.

Eine kubische Gleichung mit [[Komplexe Zahl|komplexen]] Koeffizienten hat stets drei komplexe Lösungen <math>x_1, x_2, x_3</math>, die auch zusammenfallen können. Dies folgt aus dem [[Fundamentalsatz der Algebra]], nach dem sich jedes nicht konstante Polynom mit Koeffizienten aus <math>\C</math> in Linearfaktoren zerlegen lässt.
:<math>A \cdot x^3 + B \cdot x^2 + C \cdot x + D = A \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot (x - x_3)</math>

Kubische Gleichungen werden nicht nur mit reellen oder komplexen Koeffizienten betrachtet, sondern allgemeiner mit Koeffizienten aus einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]] oder – noch allgemeiner – mit Koeffizienten aus einem [[Ring (Algebra)|Ring]].

Kubische Gleichungen können in Körpern der Charakteristik ungleich 2 und 3 durch Radikale aufgelöst werden. Dies gelingt etwa mit Hilfe der [[Cardanische Formeln|Cardanischen Formeln]].

== Lösungsansätze ==
=== Raten einer Lösung ===
==== Verfahren ====
Kennt man eine Lösung <math>x_1</math>, so kann man das kubische Polynom mit Hilfe der [[Polynomdivision]] oder des [[Horner-Schema]]s durch <math>(x - x_1)</math> dividieren und erhält so ein quadratisches Polynom. Die mit diesem Polynom gebildete [[quadratische Gleichung]] kann man mit Hilfe einer [[ABC-Formel|Lösungsformel]] lösen und erhält so die restlichen Lösungen <math>x_2,x_3</math> der kubischen Gleichung. Dieses Verfahren ist aber nur für eine [[Rationale Zahl|rationale]] Lösung <math>x_1</math> praktikabel. Bereits bei der [[Irreduzibles Polynom|irreduziblen]] Gleichung <math>x^3-6x-6=0</math> ist das Verfahren mit der noch relativ einfachen Lösung <math>x=\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}</math> nicht mehr praktikabel, da die Koeffizienten der verbleibenden quadratischen Gleichung sehr kompliziert werden. In diesen Fällen lassen sich die Lösungen mit der unten genannten [[Cardanische Formeln|Cardanischen Formel]] leichter bestimmen.

Sind alle Koeffizienten der kubischen Gleichung [[Ganze Zahl|ganzzahlig]], so kann man versuchen, eine rationale Lösung zu raten, das heißt, durch Probieren zu finden. Ist der führende Koeffizient <math>A</math> vom Betrag gleich 1, so kann man die ganzzahligen Teiler des letzten Koeffizienten <math>D</math> durchprobieren (auch negative Werte!). Ist <math>A</math> von eins verschieden, so müssen alle Brüche, deren Zähler ein Teiler von <math>D</math> und deren Nenner ein Teiler von <math>A</math> ist, durchprobiert werden. Der [[Satz über rationale Nullstellen]] garantiert, dass man mit diesem endlichen Aufwand eine rationale Nullstelle findet, falls eine solche existiert.
Sind die Koeffizienten rational, so kann man ganzzahlige Koeffizienten erreichen, indem man die Gleichung mit dem [[Hauptnenner]] aller Koeffizienten multipliziert.

==== Beispiel ====
Als rationale Lösungen der kubischen Gleichung

:<math>3x^3 - 8 x^2 - 11x + 10 = 0</math>

kommen nur die ganzzahligen Teiler <math>\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10</math> des letzten Koeffizienten sowie <math>\pm \tfrac{1}{3}, \pm \tfrac{2}{3}, \pm \tfrac{5}{3}, \pm \tfrac{10}{3}</math> in Frage. In der Tat ist <math>x_1 = \tfrac{2}{3}</math> eine Lösung, wovon man sich durch Einsetzen überzeugt. Polynomdivision liefert

:<math>(3 x^3 - 8 x^2 - 11 x + 10) : (x - \tfrac{2}{3}) = 3 x^2 - 6 x - 15</math>

und mit der quadratischen Lösungsformel ergeben sich als weitere Lösungen <math>x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{6}</math>.

=== Algebraische Bestimmung ===

Im Folgenden wird angenommen, dass die Koeffizienten der Gleichung aus dem [[Geordneter Körper|angeordneten Körper]] <math>\R</math> der reellen Zahlen mit der [[Ordnungsrelation]] <math><</math> oder aus dem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\C</math> der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] stammen. Die Überlegungen lassen sich aber auch auf andere Körper übertragen, sofern die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] ungleich 2 und ungleich 3 ist. Sind allgemeiner die Koeffizienten Elemente eines [[Integritätsring]]s, können sie als Elemente des [[Quotientenkörper]]s aufgefasst werden.

==== Reduktion der Gleichung auf eine Normalform ====

Division durch <math>A \ne 0</math> führt auf der linken Seite zu einem ''normierten Polynom'', bei dem der Koeffizient von <math>x^3</math> gleich 1 ist.

:<math>x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 \quad \text{mit} \quad a=\frac{B}{A},\; b=\frac{C}{A} \;\text{und}\; c=\frac{D}{A}</math>

Mithilfe der [[Substitution (Mathematik)|Substitution]] <math>x = z + \delta</math> erhält man:

:<math>(z + \delta)^3 + a \cdot (z + \delta)^2 + b \cdot (z + \delta) + c = 0</math>
:<math>z^3 + (3 \delta + a) \cdot z^2 + (3 \delta^2 + 2 a \delta + b) \cdot z + (\delta^3 + a \delta^2 + b \delta + c) = 0</math>

Durch die Wahl <math>\delta = -\frac{a}{3}</math> (lineare [[Tschirnhaus-Transformation]]) fällt der quadratische Summand <math> (3 \delta + a) \cdot z^2</math> weg. Ist allerdings die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] des Koeffizientenrings gleich 3, so ist dies nicht möglich, weil dann <math>3 = 0</math> gilt.

Die ''reduzierte Form'' der kubischen Gleichung (kurz ''reduzierte Gleichung'') ist also
:<math>z^3 + p \cdot z + q = 0</math>
mit
:<math>p = 3 \delta^2 + 2 a \delta + b = b - \frac{a^2}{3} \quad \text{und} \quad q = \delta^3 + a \delta^2 + b \delta + c = \frac{2 a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c</math>.

Die reduzierte Gleichung kann nun mit Hilfe der [[Cardanische Formeln|cardanischen Formel]] aufgelöst werden. Durch anschließende Rücksubstitution, also durch Einsetzen in <math>x = z - \frac{a}{3}</math>, lassen sich die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmen.

==== Lösung nach Cardano ====

{{Hauptartikel|Cardanische Formeln}}

Die von [[Gerolamo Cardano]] veröffentlichte Formel zur Lösung der reduzierten Gleichung <math>z^3 + p z + q = 0</math> lautet (in moderner Schreibweise)<ref>Siegfried Bosch: ''Algebra.'' Berlin, 2023, S. 3.</ref>
:<math>z = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{R}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{R}}</math>
mit
:<math>R = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3</math>.

Der Radikand <math>R</math> hängt unmittelbar mit der [[Diskriminante]] <math>\Delta</math> des Polynoms <math>Z^3 + p Z + q</math> zusammen. Es gilt:
:<math>\Delta = -27 q^2 - 4 p^3 = -108 R</math>

Im Falle reeller Koeffizienten hat die Gleichung
* für <math>R > 0</math> bzw. <math>\Delta < 0</math> eine reelle Lösung und zwei konjugiert komplexe Lösungen,
* für <math>R = 0</math> bzw. <math>\Delta = 0</math> entweder eine zweifache und eine einfache Lösung oder (für <math>p = q = 0</math>) eine dreifache Lösung. Dabei sind alle Lösungen reell.
* für <math>R < 0</math> bzw. <math>\Delta > 0</math> drei verschiedene reelle Lösungen. Allerdings enthält die cardanische Formel in diesem Fall die [[Quadratwurzel]] aus einer negativen Zahl (''casus irreducibilis''). Sie kann dann nicht unmittelbar verwendet werden.

Im Falle einer komplexen Gleichung sind die Kubikwurzeln
:<math>u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{R}} \quad</math> und <math>\quad v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{R}}</math>
nicht eindeutig definiert wie im Reellen. Sie müssen so gewählt werden, dass die Beziehung <math>u v = -\tfrac{1}{3}p</math> erfüllt ist.<ref>Siegfried Bosch: ''Algebra.'' Berlin, 2023, S. 374.</ref>
Unter dieser Voraussetzung sind die drei (nicht notwendig verschiedenen) Lösungen <math>z_1, z_2, z_3</math> gegeben durch
:<math>z_1 = u + v, \quad z_2 = u \zeta + v \zeta^2, \quad z_3 = u \zeta^2 + v \zeta</math>,
wobei <math>\zeta = \frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}</math> eine der beiden primitiven dritten [[Einheitswurzel]]n ist.

==== Trigonometrische Lösung nach Vieta ====

Im Falle einer reellen Gleichung mit <math>R < 0</math> bzw. <math>\Delta > 0</math> (casus irreducibilis) führt die Formel von Cardano zu einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl. [[François Viète]] (Franciscus Vieta) fand eine Möglichkeit, die drei (in diesem Fall reellen) Lösungen mithilfe [[Trigonometrie|trigonometrischer]] Funktionen auszudrücken.<ref>{{Literatur |Autor=R.W.D. Nickalls |Datum=2006-07 |Titel=Viète, Descartes, and the cubic equation |Sammelwerk=[[Mathematical Gazette]] |Band=90 |Auflage=518 |Seiten=203–208 |DOI=10.1017/S0025557200179598 |Online=https://www.nickalls.org/dick/papers/maths/descartes2006.pdf |Sprache=en}}</ref>

Durch Einsetzen von <math>z = u \cos\theta</math> in die reduzierte Gleichung <math>z^3 + p z + q = 0</math> und Multiplikation mit <math>\frac{4}{u^3}</math> erhält man
:<math>4 \cos^3\theta + \frac{4p}{u^2} \cos\theta + \frac{4q}{u^3} = 0</math>.
Vergleich mit der trigonometrischen Identität (Folgerung aus den Additionstheoremen)
:<math>4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta - \cos(3\theta) = 0</math>
zeigt, dass die ersten beiden Summanden der beiden Gleichungen übereinstimmen, wenn die Bedingung <math>u = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}}</math> erfüllt ist. Man erhält daraus die Beziehung
:<math>\cos(3\theta) = \frac{3q}{2p} \sqrt{-\frac{3}{p}}</math>.
(Aus <math>R < 0</math> folgt <math>p < 0</math>, weshalb die Quadratwurzel auch im Reellen definiert ist.)

Die Lösungen der reduzierten Gleichung <math>z^3 + p x + q = 0</math> erhält man durch Auflösen nach <math>\theta</math> und Einsetzen in <math>z = u \cos\theta</math>.
:<math>z_k = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} \cos \left( \frac{1}{3} \arccos \left( \frac{3 q}{2 p} \sqrt{-\frac{3}{p}} \right) - \frac{2 \pi k}{3} \right)</math> mit <math>k = 0, 1, 2</math>

==== Analytische Bestimmung der reellen Lösungen der reellen Gleichung ====

===== Der Fall ''p'' = 0 =====

'''Fall 1:'''   <math>p=0</math>
:Hier erhält man <math>z = \sqrt[3]{-q} = \tfrac{1}{3} \sqrt[3]{a^3-27c}</math>. Nach Rücksubstitution ergibt sich als einzige reelle Lösung <math>x=\tfrac{1}{3}\left(\sqrt[3]{a^3-27c}-a\right)</math>.
Unterfall 1a:   <math>p=0</math> und <math>q=0</math>
:Die einzige reelle Lösung <math>z=0</math> und <math>x=-\tfrac a 3</math> hat die [[Nullstelle#Mehrfache Nullstellen|Vielfachheit]] 3.

===== Die Fälle mit ''p'' ≠ 0 =====
Eine Lösungsstrategie für die verbleibenden Lösungen, die ohne die Verwendung komplexer Zahlen auskommt, ist die folgende:<br />
Die reduzierte Form wird durch Substitution mit Hilfe einer geeigneten [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen]] oder [[Hyperbolische Funktion|hyperbolischen]] Funktion <math>f</math> so umgeformt, dass sie auf bekannte [[Formelsammlung Trigonometrie#Winkelfunktionen für weitere Vielfache|Additionstheoreme]] zurückgeführt werden kann. Man ersetzt dabei in der reduzierten Gleichung <math>z^3+p\cdot z+q=0</math> die Unbekannte durch <math>z=\alpha\cdot f(\eta)</math> mit neuen Parametern <math>\alpha>0</math> und <math>\eta</math> im Definitionsbereich von <math>f</math>. Dadurch erhält man die Gleichung
:<math>\alpha^3 f^3(\eta)+ p\alpha f(\eta)+q=0,</math>
in welcher nun <math>\alpha</math> und <math>\eta</math> zu bestimmen sind. Man dividiert dazu durch <math>\alpha^3</math> und wählt dann eine zu den Koeffizienten passende Funktion <math>f</math>, welche eine geeignete [[Funktionalgleichung]] erfüllt, um durch einen [[Koeffizientenvergleich]] zu einer Lösung zu gelangen.

Geeignete Funktionen sind:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- style="background:#DDDDFF;"
| Funktion <math>f</math> || Wertebereich || Additionstheorem || <math>\sigma</math> || kubische Gleichung || Fall
|-
| <math>\cos</math> || <math>|f(\eta)| \leq 1</math> || <math> \cos(3\eta) = 4 \cos^3(\eta) -3 \cos(\eta) </math> || <math>-1</math> || <math>f(\eta)^3+\tfrac34 \sigma f(\eta) = \tfrac14 f(3\eta) </math> || 2
|-
| <math>\cosh</math> || <math>f(\eta)\geq 1</math> || <math> \cosh(3\eta) = 4 \cosh^3(\eta)-3 \cosh(\eta) </math> || <math>-1</math> || <math>f(\eta)^3+\tfrac34 \sigma f(\eta) = \tfrac14 f(3\eta) </math> || 3
|-
| <math>-\cosh</math> || <math>f(\eta)\leq -1</math> || <math>(-\cosh)(3\eta) \; = \; 4 (-\cosh)^3(\eta)-3 (-\cosh)(\eta) </math> || <math>-1</math> || <math>f(\eta)^3+\tfrac34 \sigma f(\eta) = \tfrac14 f(3\eta) </math> || 3
|-
| <math>\sinh</math> || beliebig reell || <math> \sinh(3\eta) = 4 \sinh^3(\eta) \, +3 \sinh(\eta) </math> || <math>+1</math> || <math>f(\eta)^3+\tfrac34 \sigma f(\eta) = \tfrac14 f(3\eta) </math> || 4
|}

Die aufgeführten Additionstheoreme sind so parametrisiert, dass sie sich in dieselbe kubische Gleichung überführen lassen, die sich mit der reduzierten Form der gegebenen Gleichung
:<math>f(\eta)^3+\frac{p}{\alpha^2} \cdot f(\eta) + \frac{q}{\alpha^3}=0</math>
zur Deckung bringen lässt. Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich
:<math>\frac{3}{4}\sigma = \frac{p}{\alpha^2}</math>     und     <math>-\frac{1}{4}f(3\eta) = \frac{q}{\alpha^3}</math>,
wobei <math>\sigma\in\{-1,1\}</math>. Aus der ersten Gleichung folgt <math>\sigma = \tfrac{4}{3\alpha^2}p</math> und daher <math>\sigma=\sgn(\sigma)=\sgn(p)</math>. Damit löst man unter Kürzen von <math>\sigma=\sgn(p)</math> zunächst nach <math>\alpha</math> und dann durch Einsetzen in die zweite Gleichung nach <math>\eta</math> auf:
:<math>\alpha = 2 \sqrt{\frac{|p|}{3}} \Longrightarrow f(3\eta) = -\frac{4q}{\alpha^3} = -\frac{q}{2}\sqrt{\frac{27}{|p^3|}} = -\frac{q}{2} \frac{3}{p} \sqrt{\frac{3}{|p|}} =:\Gamma</math>.
Somit lässt sich
:<math>\eta = \frac{1}{3} f^{\langle-1\rangle}\left(\Gamma\right)</math>
durch die ursprünglichen Koeffizienten <math>p</math> und <math>q</math> ausdrücken,
wobei <math>\Gamma = -\tfrac{q}{2}\sqrt{\tfrac{27}{|p^3|}} = -\sgn(q) \sqrt{\left|\tfrac{27R}{p^3}-1\right|}</math> gesetzt ist und <math>f^{\langle-1\rangle}</math> eine zugehörige [[Arkusfunktion|Arkus-]] oder [[Areafunktion]] bezeichnet. Durch Rücksubstitution kann dann die endgültige Lösung der kubischen Gleichung ermittelt werden. Aus <math>\alpha=2 \sqrt{\tfrac{|p|}{3}}=\tfrac{2}{3} \sqrt{|a^2-3b|}</math>, <math>\delta=-\tfrac{a}{3}</math> und <math>z=\alpha\cdot f(\eta)</math> erhält man somit
:<math>x=\alpha f(\eta) + \delta =\tfrac13 \left(2 \sqrt{|a^2-3b|} \cdot f(\eta) - a \right)</math>.

Hierbei bestimmt das Vorzeichen von <math>p</math> die Substitutionsfunktion <math>f</math>, wobei diese so zu wählen ist, dass der oben (unabhängig von <math>f</math>) bestimmte Wert <math>\Gamma</math> im reellen Wertebereich von <math>f</math> liegt. Dabei ergeben sich im Falle von <math>\sigma=\sgn(p)=-1</math> gemäß obiger Tabelle mehrere Unterfälle.

'''Fall 2:'''   <math>R \leq 0</math> bzw. <math>\Delta \geq 0</math>   (woraus   <math>p < 0</math>   und   <math>\left|\Gamma\right| \leq 1</math>   folgt):
:Substitution mit <math>z:=\cos{\eta}</math>, entspricht <math>\cos{3\eta}=\Gamma.</math>
:Es ergeben sich drei mögliche Lösungen zu
:<math>x_k=\tfrac13 \left(2 \sqrt{a^2-3b} \cdot \cos{\eta_k} - a \right)</math> mit <math>\eta_k=\tfrac13 \left(\arccos{\left(\Gamma\right)} + 2 k \pi\right)</math> und <math>k \in \{0; 1; 2\}</math>
Unterfall 2a:   <math>R = 0</math> bzw. <math>\Delta=0</math>   (woraus   <math>\left|\Gamma\right| = 1</math>   folgt):

: Es gibt nur ''zwei'' Lösungen. Die reduzierte Form vereinfacht sich zu <math>0=z^3-\tfrac{3}{4}z \mp\tfrac{1}{4}=(z\mp 1)\left(z\pm\tfrac 1 2\right)^2</math>. Aus den Linearfaktoren lassen sich nun direkt die zwei Lösungen <math>z_1=\pm1</math> und <math>z_2=\mp\tfrac 1 2</math> ablesen. Zum selben Ergebnis führt <math>3\eta=\pm\operatorname{arccos}(\pm 1)\in\{0,\pi\}</math>, also <math>\eta\in\left\{0,\pm\tfrac{2\pi}3\right\}</math> bzw. <math>\eta\in\left\{\pi,\pm\tfrac{\pi}3\right\}</math>. Entsprechend ist <math>x_1=\tfrac13 \left(2\sqrt{a^2-3b}-a\right)</math> und <math>x_2=-\tfrac13 \left(\sqrt{a^2-3b}+a\right)</math>. Die letztere Lösung hat die Vielfachheit 2.

'''Fall 3:'''   <math>R > 0</math> bzw. <math>\Delta < 0</math>   und   <math>p < 0</math>   (woraus   <math>|\Gamma| > 1</math>   und   <math>q \ne 0</math>   folgt):

:Substitution mit <math>z:=\left(-\sgn(q) \cosh\right)(\eta)</math>, entspricht <math>\left(-\sgn(q) \cosh\right)(3\eta)=\Gamma = -\tfrac{q}2\sqrt{\tfrac{27}{|p^3|}}</math>, also <math>\cosh(3\eta)=|\Gamma|.</math>

:Zunächst hat man zwei Lösungen <math>3\eta=\pm\operatorname{arcosh}\left(|\Gamma|\right)</math>, die wegen <math>\cosh (\pm \eta) = \cosh \eta</math> wieder in eins geworfen werden. Also: <math>x=-\tfrac13 \left(2 \sqrt{a^2-3b} \cdot \sgn(q) \cosh{\eta} + a \right)</math> mit <math>\eta=\tfrac13 \operatorname{arcosh}\left(\left|\Gamma\right|\right)</math>.
Grenzfall 3a:   <math>R = 0</math> bzw. <math>\Delta = 0</math>   und   <math>p < 0</math>   (woraus   <math>\Gamma = \pm 1</math>   folgt):
:<math>3\eta=\pm\operatorname{arcosh}(1) = 0</math>, also <math>\eta=0</math> und <math>x_1=\tfrac13 \left(2\sqrt{a^2-3b}-a\right)</math>.<br />Bemerkung:<br />Die zwei anderen (rein-imaginären) Lösungen <math>3\eta = \pm 2\pi\mathrm i</math> von <math>\cosh(3\eta) = 1</math> werden durch die Anwendung von <math>\cosh</math> ins Reelle zurückgeworfen: <math>\cosh(\eta)=\cosh\left(\pm\tfrac{2\pi\mathrm i}3\right)=-\tfrac12</math>. Das Ergebnis ist wie im Unterfall 2a: <math>z_1=-\sgn(q)\cosh(0)=-\sgn(q)</math> und <math>z_2=-\sgn(q)\cosh\left(\pm\tfrac{2\pi\mathrm i}3\right)=\tfrac{\sgn(q)}2</math>.

'''Fall 4:'''   <math>R > 0</math> bzw. <math>\Delta < 0</math>   und   <math>p > 0</math>:
:Substitution mit <math>z:=\sinh{\eta}</math>, entspricht <math>\sinh{3\eta}=\Gamma.</math>
:Als Ergebnis folgt:
:<math>x=\frac13 \left(2 \sqrt{3b-a^2} \cdot \sinh{\eta} - a \right)</math> mit <math>\eta=\frac13 \operatorname{arsinh}{(\Gamma)}</math>
:Es ergibt sich ''eine'' reelle Lösung.

==== Charakteristik 2 und 3 ====

Hat der Koeffizientenkörper <math>K</math> die Charakteristik <math>\chi = 2</math> oder <math>\chi = 3~,</math> dann lassen sich die Formeln, insbesondere die Cardanische, wegen der Divisionen durch <math>\chi</math> nicht anwenden – im Fall <math>\chi = 3</math> lässt sich die Gleichung nicht einmal auf die [[#Reduktion der Gleichung auf eine Normalform|reduzierte]] Form bringen.

Ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung der Nullstellen ist die [[formale Ableitung]] <math>y'</math>, die, wenn sie nicht konstant ist, eine einzige Wurzel hat, denn sie ist im Fall <math>\chi = 3</math> linear und im Fall <math>\chi = 2</math> vom Grad 2 mit einer zweifachen Nullstelle. Durch Bilden des [[größter gemeinsamer Teiler#Polynomringe|größten gemeinsamen Teilers]] <math>\operatorname{ggT}(y,y')</math> kann festgestellt werden, ob <math>y</math> mehrfache Nullstellen hat.

=== Lösungsformel ===

Die folgenden Formeln für die Lösung einer kubischen Gleichung beruhen auf einer Zerlegung in einen linearen und einen quadratischen Faktor.

:<math>x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = (x - x_1) \, (x^2 + px +q)</math>

Hilfsgrößen:
<math>a := 12 a_1^3 - 3 a_1^2 a_2^2 - 54 a_0 a_1 a_2 + 81 a_0^2 + 12 a_0 a_2^3</math>
<math>b :=\sqrt[3]{36 a_1 a_2 - 108 a_0 - 8 a_2^3 + 12 \sqrt{a}}</math>
Die Quadratwurzel <math>\sqrt{a}</math> muss (in <math>\C</math>) so gewählt werden, dass <math>b \ne 0</math> gilt.

Koeffizienten des quadratischen Faktors:
<math>p = \frac{b^2 - 12 a_1 + 4 a_2^2 + 4 a_2 b}{6 b}</math>
<math>q = \frac{a_1 a_2 b - 9 a_0 b + b \sqrt{a} + a_1 b^2 - 2 a_1 a_2^2 - 18 a_0 a_2 + 2 a_2 \sqrt{a} + 12 a_1^2}{3 b^2}</math>
Die Quadratwurzel <math>\sqrt{a}</math> muss wie oben gewählt werden.

Lösungen:
<math>x_1 = p - a_2</math>
<math>x_2 = - \frac{p}{2} + \mathrm{i} \sqrt{-\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2 + q}</math>
<math>x_3 = - \frac{p}{2} - \mathrm{i} \sqrt{-\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2 + q}</math>

'''Beispiel 1:''' Für <math>x^3 -x^2 -x -2 =0</math> ergibt sich:
<math>a=441</math>, <math>b=8</math>, <math>p=1</math>, <math>q=1</math>
<math>x_1=2</math>
<math>x_2=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}\sqrt{3}</math>
<math>x_3=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}\sqrt{3}</math>
'''Beispiel 2:''' Für <math>x^3 -3x^2 -3x -1 =0</math> ergibt sich:
<math>a=324</math>, <math>b=6\sqrt[3]{4}</math>, <math>p=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-2</math>, <math>q=\sqrt[3]{2}-1</math>
<math>x_1=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1</math>
<math>x_2=-\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}+1+\frac{1}{2}\mathrm{i}\sqrt{6\sqrt[3]{2}-12+3\sqrt[3]{4}}</math>
<math>x_3=-\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}+1-\frac{1}{2}\mathrm{i}\sqrt{6\sqrt[3]{2}-12+3\sqrt[3]{4}}</math>
'''Beispiel 3:''' Für <math>x^3 +x^2 -2x -2 =0</math> ergibt sich:
<math>a=-24</math>, <math>b=1+3\sqrt{2}+(\sqrt{6}-\sqrt{3})\mathrm{i}</math>, <math>p=1+\sqrt{2}</math>, <math>q=\sqrt{2}</math>
<math>x_1=\sqrt{2}</math>
<math>x_2=-\sqrt{2}</math>
<math>x_3=-1</math>
'''Beispiel 4:''' Für <math>x^3 +4x^2 +2x -4 =0</math> ergibt sich:
<math>a=-144</math>, <math>b=1+3\sqrt{3}+(3-\sqrt{3})\mathrm{i}</math>, <math>p=3+\sqrt{3}</math>, <math>q=2+2\sqrt{3}</math>
<math>x_1=-1+\sqrt{3}</math>
<math>x_2=-1-\sqrt{3}</math>
<math>x_3=-2</math>

=== Schnelle numerische Berechnung ===
Die Methode von Deiters und Macías-Salinas<ref>{{Literatur |Autor=U. K. Deiters, R. Macías-Salinas |Titel=Calculation of densities from cubic equations of state: revisited |Sammelwerk=Ind. Eng. Chem. Res. |Band=53 |Datum=2014 |ISBN= |Seiten=2529–2536 |DOI=10.1021/ie4038664}}</ref> bringt die kubische Funktion zunächst einmal in die Form <math>f(x) = x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0</math> und verwendet dann die [[Laguerre-Samuelson-Ungleichung]]<ref>{{Literatur |Autor=Paul Samuelson |Titel=How Deviant Can You Be? |Sammelwerk=[[Journal of the American Statistical Association]] |Band=63 |Nummer=324 |Datum=1968 |Seiten=1522–1525 |DOI=10.2307/2285901 |Sprache=en}}<br />S. a. [[:en:Samuelson's inequality|''Samuelson’s inequality'' in der englischen Wikipedia, zugegriffen am 2016-06-10]]</ref>, um Schranken für die Lösungen zu finden.

:<math>x_\mathrm{u, o} := x_\mathrm{infl} \pm \frac{2}{3} \sqrt{d}</math>.

Hierbei ist <math>d := a_2^2 - 3 a_1</math>, und <math>x_\mathrm{infl} := -a_2/3</math> ist der Abszissenwert des Wendepunkts. Dann sind folgende Fälle zu unterscheiden:
# <math>f(x_\mathrm{infl}) = 0</math>: Dann ist die Wendestelle die erste Lösung, <math>x_1 = x_\mathrm{infl}</math>.
# <math>d = 0</math>: Dann ist <math>x_1 = x_\mathrm{infl} - \sqrt[3]{f(x_\mathrm{infl})}</math> eine Lösung.
# Andernfalls wird iterativ eine Näherungslösung <math>x_1</math> bestimmt. Dies geschieht ausgehend vom Startwert
:::<math>x_{1,\mathrm{init}} = \begin{cases} x_\mathrm{u} & \text{wenn } d > 0 \land f(x_\mathrm{infl}) > 0 \\
x_\mathrm{infl} & \text{wenn } d < 0 \\
x_\mathrm{o} & \text{wenn } d > 0 \land f(x_\mathrm{infl}) < 0 \end{cases}</math>
::mit dem [[Halley-Verfahren]]:
:::<math>x_1 \; \; \; \leftarrow \; x_1 - \frac{f(x_1) f^\prime(x_1)}{f^\prime(x_1)^{\,2} - \frac{1}{2}f(x_1) f^{\prime\prime}(x_1)}</math>.
Anschließend wird durch [[Polynomdivision]] die [[quadratische Funktion]] <math>g(x) = \bigl(f(x) - e\bigr)/(x - x_1)</math> (mit kleinem <math>e:=f(x_1)</math>, dessen Betrag von der erzielten Genauigkeit abhängt) gebildet, deren Nullstellen (im Fall <math>e=0</math>) direkt ausgerechnet werden können:

:<math>g(x) = x^2 + b_1 x + b_0</math> mit <math>b_1 = x_1 + a_2</math> und <math>b_0 = b_1 x_1 + a_1</math>.

Bei sorgfältiger Implementierung (siehe revidierte Zusatzinformationen zur Originalpublikation<ref>{{Internetquelle |url=http://www.uni-koeln.de/deiters/math/supplement.pdf |titel=Cubic rootfinder using Halley’s method: C/C++ program code |abruf=2023-06-05}}</ref>) ist dieses Verfahren auf modernen Prozessoren (2014, Architektur x86-64) um den Faktor 1,2 bis 10 schneller als die auf vergleichbare Genauigkeit ausgewerteten [[Cardanische Formeln|Cardanischen Formeln]].

== Siehe auch ==
* [[Ophiuride#Lösen kubischer Gleichungen|Ophiuride, Lösen kubischer Gleichungen]]
* [[Lineare Gleichung]]
* [[Quartische Gleichung]]
* [[Omar Chajjam]]
* [[Cardanische Formeln]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Cubic functions}}
* [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm Online-Tool zum Berechnen von Polynomen n-ter Ordnung]
* [https://web.archive.org/web/20150327001025/http://krottbrand.bplaced.net/filemanager/javas/kubische_gleichung.html Kubische Gleichung – JavaScript], Archivlink abgerufen am 28. Februar 2022

== Quellen und Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Pierre Gabriel|Peter Gabriel]]
|Titel=Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra
|Verlag=Birkhäuser
|Ort=Basel
|Datum=1996
|ISBN=3-7643-5376-7}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elementare Algebra]]
[[Kategorie:Körpertheorie]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]

Kubische Gleichung - Versionsgeschichte

imported>Joachim Mohr: /* Weblinks */ Link entfernt