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2025-06-15T08:00:37Z

weniger technische Einleitung, um Leser nicht abzuschrecken

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[[Bild:Polynomialdeg 3.svg|mini|rechts|Graph einer kubischen Funktion; die Nullstellen (y=0) sind dort, wo der Graph die [[Abszisse|''x''-Achse]] schneidet. Der Graph hat zwei [[Extrempunkt]]e.]]
[[Datei:Cube 1-x+xx+xxx.svg|mini|rechts|Graph der kubischen Funktion f(x)=1-x+x²+x³]]
[[Datei:Roots cube 1-x+xx+xxx.svg|mini|rechts|Die drei Wurzeln der kubischen Funktion f(x)=1-x+x²+x³ in der [[Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]]]

In der [[Mathematik]] versteht man unter einer '''kubischen Funktion''' eine [[ganzrationale Funktion]] 3. Grades, also eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] auf den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]], deren Funktionsgleichung in der Form

:<math>f(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d</math>
mit <math>a, b, c, d \in \R</math> und <math>a \ne 0</math> geschrieben werden kann.

Kubische Funktionen können als reelle [[Polynom#Zusammenhang mit der analytischen Definition|Polynomfunktion]]en von [[Polynom]]en über <math>\mathbb R</math> aufgefasst werden.

== Eigenschaften ==

=== Verhalten im Unendlichen ===
Wie bei allen ganzrationalen Funktionen von ungeradem Grad gilt

:<math>\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty</math>, <math>\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty</math>,

falls der führende Koeffizient <math>a</math> positiv ist, und

:<math>\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty</math>, <math>\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty</math>,

falls <math>a</math> negativ ist.

=== Nullstellen ===
Da eine kubische Funktion als Polynomfunktion [[Stetige Funktion|stetig]] ist, folgt aus dem Verhalten im Unendlichen und dem [[Zwischenwertsatz]], dass sie stets mindestens eine reelle Nullstelle hat. Andererseits kann eine ganzrationale Funktion vom Grad <math>n</math> nicht mehr als <math>n</math> Nullstellen besitzen. Somit folgt: Eine kubische Funktion hat in <math>\R</math> mindestens eine und maximal drei [[Nullstelle]]n.

Zum Auffinden der Nullstellen einer kubischen Funktion siehe [[Kubische Gleichung]] und [[Cardanische Formeln]].
Die [[Diskriminante]] der allgemeinen kubischen Funktion <math>f</math> lautet
:<math>D = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d -27a^2d^2 + 18abcd</math>
und eignet sich zur [[kubische Gleichung|Nullstellenklassifikation des Polynoms]]: Im Fall <math>D > 0</math> existieren drei verschiedene reelle Nullstellen, im Fall <math>D < 0</math> nur eine. Gilt <math>D = 0</math>, so gibt es entweder eine einfache und eine doppelte reelle Nullstelle oder es gibt eine dreifache reelle Nullstelle.

Wenn der Funktionsgraph exakt eine reelle Nullstelle hat, dann kann diese auf folgende Weise ermittelt werden:

:<math>f(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d</math>
:<math>NST = - \frac{b}{3a} - \frac{1}{3a}\sqrt[3]{b^3 - \frac{9}{2}abc + \frac{27}{2}a^2 d + \sqrt{\bigl(b^3 - \frac{9}{2}abc + \frac{27}{2}a^2 d\bigr)^2 - \bigl(b^2 - 3ac\bigr)^3}} -</math>
:<math>- \frac{1}{3a}\sqrt[3]{b^3 - \frac{9}{2}abc + \frac{27}{2}a^2 d - \sqrt{\bigl(b^3 - \frac{9}{2}abc + \frac{27}{2}a^2 d\bigr)^2 - \bigl(b^2 - 3ac\bigr)^3}}</math>
Dabei ist der Ausdruck unter der [[Quadratwurzel]] positiv.

Diese Nullstellenformel bildet zur quadratischen [[Mitternachtsformel]] das kubische Analogon.

Das numerische Auffinden der Nullstellen ist beispielsweise mit dem [[Newton-Verfahren]] möglich.

Der Ausdruck <math>\tfrac{b}{3 a}</math> steht für das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] der Seiten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> eines [[Quader]]s, vergleichbar dem <math>\tfrac{p}{2}</math> einer [[Quadratische Funktion|quadratischen Funktion]], das das arithmetische Mittel der Seiten <math>a</math> und <math>b</math> eines [[Rechteck]]s ist.

Kubische Funktionen lassen sich als Nullpunktform darstellen:

:<math>f(x) = (x + a)(x + b)(x + c)</math>

Dabei sind <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> die Seiten eines [[Quader]]s. Der Faktor vor dem <math>x^3</math>, die [[Steigung]] der Funktion, entspricht der Quaderzahl oder dem Anteil eines Quaders, der Faktor vor dem <math>x^2</math> entspricht der Seitensumme, der Faktor vor dem <math>x</math> entspricht der Hälfte einer Quaderoberfläche und die Konstante einem Quadervolumen:

:<math>f(x) = mx^3 + (a + b + c)x^2 + (ab + ac + bc)x + abc</math>

Analog zur [[Scheitelpunktform]] einer [[Quadratische Funktion|quadratischen Funktion]] lässt sich eine Wendepunktform aufstellen mit Hilfe der kubischen Ergänzung:

:<math>f(x) = \left(x + \tfrac{a + b + c}{3}\right)^3 + dx + e</math>

'''Beispiel'''
:<math>\begin{align}
f(x) &= x^3 + 9x^2 + 20x + 12 \\
&= (x + 3)^3 - 7x - 15 \\
7x + 15 &= (x + 3)^3
\end{align}</math>

Die erste [[Nullstelle]] ist gleich <math>x = -3 + 2 = -1</math>, der Wendepunkt ist <math>\tfrac{-3}{f(-3)}</math>, <math>b + c = 8 = p</math>, <math>bc = 12 = q</math>. [[Quadratische Ergänzung]] ergibt die zweite und dritte Nullstelle: <math>x = -3 + 1 = -2</math> und <math>x = -3 - 3 = -6</math>.

=== Monotonie und lokale Extrema ===
Als Polynomfunktion ist <math>f</math> beliebig oft [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]]. Für ihre 1. Ableitung <math>f'</math> ergibt sich die [[quadratische Funktion]]
:<math>f'(x) = 3ax^2 + 2bx+c</math>.
Ist deren [[Diskriminante]] <math>4b^2 - 12ac</math> positiv, d. h. es gilt <math>b^2 > 3ac</math>, so besitzt <math>f</math> genau ein lokales Maximum und genau ein lokales Minimum. Anderenfalls ist <math>f</math> [[Streng monotone Funktion|streng monoton]], und zwar streng monoton wachsend für <math>a > 0</math> und streng monoton fallend für <math>a < 0</math>.

=== Wendepunkt und Symmetrie ===
Jede kubische Funktion <math>f</math> besitzt genau einen [[Wendepunkt]] <math>(x_W; f(x_W))</math>. Die Wendestelle
:<math>x_W = -\frac{b}{3a}</math>
ist die eindeutig bestimmte Nullstelle der 2. Ableitung <math>f''(x) = 6ax+2b</math>.

Der [[Funktionsgraph]] von <math>f</math> ist [[Punktsymmetrische Funktion|punktsymmetrisch]] zu seinem Wendepunkt.

=== Normalform ===
Durch Verschiebung und Umskalierung lässt sich jede kubische Funktion <math>f</math> in die Form

:<math>g(u)=u^3 + k u</math>

mit <math>k \in \{-1,0,1\}</math> bringen.

Man erhält also genau drei mögliche Fälle dieser Normalform.:
# <math>k = -1</math>: Der Graph von <math>g</math> besitzt zwei Extrempunkte.
# <math>k = 0</math>: Die Extrempunkte fallen zu genau einem [[Sattelpunkt]] zusammen.
# <math>k = 1</math>: Der Graph von <math>g</math> besitzt weder Extrema noch Sattelpunkt, da die Ableitung jetzt auf dem gesamten [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] positiv ist.
Da die Transformation auf Normalform die Existenz der Extrema nicht verändert, gilt diese Charakterisierung auch für die ursprüngliche Funktion <math>f</math>.
Der Koeffizient <math>k</math> ist das entgegengesetzte [[Vorzeichenfunktion|Vorzeichen]] der Diskriminante der Ableitung der ursprünglichen Funktion <math>f</math>.

== Kubische Parabel ==
Als '''kubische Parabeln''' bezeichnet man die Funktionsgraphen von kubischen Funktionen und diejenigen Kurven in der Ebene, die aus diesen durch Drehungen hervorgehen. Da bei der geometrischen Betrachtung der Kurve eine Translation irrelevant ist, braucht man nur kubische Polynome mit <math>b = d = 0</math> analytisch zu untersuchen.

== Kubisches Polynom ==
Sei <math>R</math> ein beliebiger [[Ring (Mathematik)|Ring]]. Als kubische Polynome über <math>R</math> bezeichnet man Ausdrücke der Form
:<math>ax^3+bx^2+cx+d\in R[x]</math>
mit <math>a,b,c,d\in R</math> und <math>a\not=0</math>. Formal handelt es sich um Elemente des [[Polynomring]]es vom Grad 3, sie definieren Abbildungen von <math>R</math> nach <math>R</math>. Im Fall <math>R=\R</Math> handelt es sich im obigen Sinne um kubische Funktionen.

Falls <math>R</math> ein [[algebraisch abgeschlossener Körper]] ist, zerfällt jedes kubische Polynom als Produkt dreier Linearfaktoren.

Allgemeiner sind kubische Polynome in <math>n</math> Variablen Ausdrücke der Form
:<math>\sum_{i,j,k=1}^na_{i,j,k}x_ix_jx_k+\sum_{i,j=1}^nb_{i,j}x_ix_j+\sum_{i=1}^nc_ix_i+d \in R[x_1,\ldots,x_n]</math>,
wobei nicht alle <math>a_{i,j,k}</math> Null sein sollen.
Diese Polynome definieren Abbildungen von <math>R^n</math> nach <math>R</math>. Ihre Nullstellenmengen im <math>R^n</math> werden für <math>n=2</math> als [[kubische Kurve]]n (falls die Kurve keine [[Algebraische Varietät#Singularitäten|Singularitäten]] hat, als [[elliptische Kurve]]n) und für <math>n=3</math> als [[kubische Fläche]]n bezeichnet.

== Siehe auch ==
* [[Kubische Gleichung]]
* [[Cardanische Formeln]]
* [[Quadratische Funktion]]

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Kubische Funktion - Versionsgeschichte

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