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Die '''Krulldimension''' eines topologischen Raums ist ein nach [[Wolfgang Krull]] benannter [[Topologie (Mathematik)|topologischer]] [[Dimension (Mathematik)|Dimensionsbegriff]]. Dieser wird durch algebraische Untersuchungen von [[Ring (Algebra)|Ringen]] in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] motiviert und steht in enger Beziehung zur [[Dimension (kommutative Algebra)|Dimension]] eines Ringes.

== Definition ==
Sei <math>X</math> ein [[topologischer Raum]]. Die ''Krulldimension'' (oder auch ''kombinatorische Dimension'') ist das Supremum aller Längen <math>n</math> von Ketten

: <math> X_0 \subsetneqq X_1 \subsetneqq \ldots \subsetneqq X_n</math>

von nichtleeren, [[abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]], [[Irreduzibler topologischer Raum|irreduziblen]] Teilmengen. Diese wird mit <math>\dim X</math> bezeichnet.<ref>[[Ernst Kunz (Mathematiker)|Ernst Kunz]]: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'' (= ''Vieweg-Studium.'' Bd. 46). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Definition II,1.1.</ref><ref>[[Klaus Hulek]]: ''Elementare Algebraische Geometrie. Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen.'' Vieweg, Braunschweig u. a. 2000, ISBN 3-528-03156-5, Kapitel III: Glatte Punkte und Dimension.</ref>

== Bezug zur Ringtheorie ==
Ist <math>R</math> ein [[kommutativer Ring]] mit Einselement, so betrachtet man auf dem [[Spektrum eines Ringes|Spektrum]] <math>\operatorname{Spec}(R)</math> üblicherweise die [[Zariski-Topologie]]. Ordnet man einem [[Primideal]] die Menge aller es umfassenden Primideale zu, so erhält man eine [[Bijektivität|bijektive]] Beziehung zwischen <math>\operatorname{Spec}(R)</math> und der Menge aller nichtleeren abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen von <math>\operatorname{Spec}(R)</math>. Daher ist die in der [[Kommutative Algebra|kommutativen Algebra]] betrachtete Dimension eines Ringes, die über die maximale Länge von Primidealketten definiert wird, nichts anderes als die oben definierte Krulldimension seines Spektrums.

Die Krulldimension eines [[Noetherscher Ring|noetherschen Rings]] <math>A</math> hat die folgenden Eigenschaften:

* <math>\dim(A)=\sup\left\{\dim A_{\mathfrak{m}}\colon \mathfrak{m} \text{ Maximalideal in }A\right\}</math>
*<math>\dim k\left[x_1,\ldots,x_n\right]=n</math>
* wenn <math>A</math> ein [[Integritätsbereich]] und eine [[endlich erzeugt]]e <math>k</math>-Algebra ist, dann ist <math>\dim A</math> der [[Transzendenzgrad]] <math>Trg(A:k)</math> und für jedes Primideal <math>\mathcal{P}</math> gilt <math>\dim A/{\mathcal P}+\dim A_{\mathcal P}=\dim A</math>.

== Beispiele ==
* Ein nichtleerer [[Hausdorffraum]] hat die Krulldimension 0, denn die irreduziblen Teilmengen sind genau die einpunktigen Mengen.
* <math>\Complex^n</math> versehen mit der Zariski-Topologie, das heißt abgeschlossen sind die gemeinsamen [[Nullstellenmenge]]n von Mengen von [[Polynom]]en in <math>n</math> Unbestimmten, hat die Dimension <math>n</math>. Alle Zariski-abgeschlossenen echten Teilmengen haben eine kleinere Dimension.<ref>Ernst Kunz: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'' (= ''Vieweg-Studium.'' Bd. 46). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Satz II,3.11 (b).
</ref>
* Ist <math>R</math> ein [[Noetherscher Ring]], so gilt für den Polynomring <math>R[X_1,\ldots,X_n]</math>:
:<math>\quad\dim(R[X_1,\ldots,X_n])=\dim(R)+n</math>
* Ist <math>R\hookrightarrow S</math> eine [[ganze Ringerweiterung]], so gilt: <math>\dim(R)=\dim(S)</math>
* Für einen beliebigen kommutativen unitären Ring <math>R</math> gilt: <math>\dim(R)+1\leq\dim(R[X])\leq2\cdot\dim(R)+1</math> und für jedes Paar <math>(n,m)</math> von natürlichen Zahlen mit <math>n+1\leq m\leq 2n+1</math> gibt es einen Ring <math>R</math> mit <math>\dim(R)=n</math> und <math>\dim(R[X])=m</math>.
* Es gilt für den [[Formale Potenzreihe|Potenzreihenring]] über einem Noetherschen Ring <math>R</math>: <math>\dim(R[[X]])=\dim(R)+1</math>.
* In einem Noetherschen Ringe <math>R</math> gilt für ein Element <math>\alpha</math>, welches nicht [[Algebraisches Element|transzendent]] über <math>R</math> ist: <math>\dim(R[\alpha])\in\{\dim(R)-1,\dim(R)\}</math>.

== Vergleich mit anderen Dimensionsbegriffen ==
Da alle Hausdorffräume die Krulldimension 0 haben, stimmt diese nicht mit der [[Lebesgue’sche Überdeckungsdimension|Lebesgue’schen Überdeckungsdimension]] oder den [[Induktive Dimension|induktiven Dimensionen]] überein.
Dass die Dimension des <math>\R^n</math> im obigen Beispiel mit der Lebesgue’schen Überdeckungsdimension übereinstimmt ist nur richtig, weil man im ersten Fall die Zariski-Topologie und im zweiten Fall die echt feinere [[Euklidischer Raum|euklidischen Topologie]] betrachtet.

Ist <math>X</math> ein [[noetherscher Raum]] mit Krulldimension <math>\le n</math>, so ist auch die [[kohomologische Dimension]] <math>\le n</math>.<ref>[[Jacob Lurie]]: ''[[Higher Topos Theory]]'' (= ''Annals of Mathematics Studies.'' 170). Princeton University Press, Princeton NJ u. a. 2009, ISBN 978-0-691-14049-0, Corollary 7.2.4.10.</ref>

== Kodimension ==
Ist <math>Y\subset X</math> eine abgeschlossene, irreduzible Teilmenge, so nennt man die maximale Länge aller Ketten

: <math>Y=X_0\subsetneqq X_1 \subsetneqq \ldots \subsetneqq X_n</math>

von nichtleeren, abgeschlossenen, irreduziblen Teilmengen die Kodimension von <math>Y</math> und bezeichnet sie mit <math>\operatorname{codim}_X Y</math>. Für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge <math>A\subset X</math> definiert man

<math>\operatorname{codim}_X A</math> als das Infimum der <math>\operatorname{codim}_X Y</math>, wobei <math>Y</math> die [[irreduzible Komponente|irreduziblen Komponenten]] von <math>A</math> durchläuft.

== Eigenschaften ==
* Die Krulldimension eines topologischen Raumes ist gleich dem Supremum der Krulldimensionen seiner irreduziblen Komponenten.
* Ist <math>X=A_1\cup\ldots\cup A_n</math> mit abgeschlossenen Teilmengen <math>A_i</math>, so ist <math>\dim X = \sup \{\dim A_1 ,\ldots, \dim A_n\}</math>.<ref>Ernst Kunz: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'' (= ''Vieweg-Studium.'' Bd. 46). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Regeln II,1.2.</ref>

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]
[[Kategorie:Wolfgang Krull als Namensgeber]]

Krulldimension - Versionsgeschichte

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