imported>Serols: Änderung 265154957 von Serols rückgängig gemacht; vertippt

2026-03-12T12:06:02Z

Änderung 265154957 von Serols rückgängig gemacht; vertippt

Neue Seite

{{Dieser Artikel|behandelt das Kronecker-Produkt von Matrizen, für das Kronecker-Produkt von Kohomologie- und Homologie-Klassen siehe [[Kronecker-Paarung]].}}
Das '''Kronecker-Produkt''' ist in der [[Mathematik]] ein spezielles [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] zweier [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] beliebiger Größe. Das Ergebnis des Kronecker-Produkts ist eine große Matrix, die durch Betrachtung aller möglichen Produkte von Einträgen der beiden Ausgangsmatrizen entsteht. Es ist nach dem deutschen Mathematiker [[Leopold Kronecker]] benannt.

== Definition ==
Ist <math>A</math> eine <math>m\times n</math>-Matrix und <math>B</math> eine <math>p\times r</math>-Matrix,
so ist das Kronecker-Produkt <math>C = A \otimes B</math> definiert als
:<math>C = (a_{ij} \cdot B)
=\begin{pmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n} B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{pmatrix}</math>

Explizit:

:<math>A \otimes B = \begin{pmatrix}
a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1r} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1r} \\
a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2r} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pr} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pr} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1r} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1r} \\
a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2r} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pr} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pr}
\end{pmatrix}_{(mp \times nr)}</math>.

Das heißt, jedes Element der Matrix <math>A</math> wird mit der Matrix <math>B</math> multipliziert.
Das Ergebnis ist also eine Matrix mit <math>m\cdot p</math> Zeilen und <math>n \cdot r</math> Spalten.

== Beispiel ==
:<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} & 2 \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} \\\\
3 \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} & 4 \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} \\\\
5 \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} & 6 \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 7 & 8 & \!\!\! & 14 & 16 \\ 9 & 0 & \!\!\! & 18 & 0 \\[0.6em] 21 & 24 & \!\!\! & 28 & 32 \\ 27 & 0 & \!\!\! & 36 & 0 \\[0.6em] 35 & 40 & \!\!\! & 42 & 48 \\ 45 & 0 & \!\!\! & 54 & 0 \end{pmatrix}</math>

== Eigenschaften ==

=== Rechenregeln ===

Das Kronecker-Produkt ist nicht [[Kommutativgesetz|kommutativ]], das heißt, im Allgemeinen gilt
:<math>A\otimes B\neq B\otimes A</math>.

Es gibt jedoch [[Permutationsmatrix|Permutationsmatrizen]] <math>P</math>, <math>Q</math>, so dass gilt
:<math>A\otimes B=P(B\otimes A)Q</math>.
Sind dabei <math>A</math> und <math>B</math> quadratisch, so kann <math>P=Q^T</math> gewählt werden.

Das Kronecker-Produkt ist [[Assoziativgesetz|assoziativ]]. Das heißt, es gilt
:<math>A\otimes(B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C</math>.

=== Symmetrien ===

Für die [[Transponierte Matrix|Transposition]] gilt
:<math>(A \otimes B)^T = A^T \otimes B^T</math>.

Für die [[konjugierte Matrix]] gilt
:<math>\overline{A \otimes B} = \overline{A} \otimes \overline{B}</math>.

Für die [[Adjungierte Matrix|adjungierte]] Matrix gilt
:<math>(A \otimes B)^* = A^* \otimes B^*</math>.

=== Bezüge zu anderen Operationen ===

Das Kronecker-Produkt ist [[bilinear]] mit der [[Matrizenaddition]], das heißt, es gelten
:<math>A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C</math>,
:<math>(B+C)\otimes A=B\otimes A+C \otimes A</math>
und
:<math>\lambda (A\otimes B)=(\lambda A)\otimes B=A\otimes (\lambda B)</math>.

Sind die [[Matrizenprodukt]]e <math>AC</math> und <math>BD</math> definiert, so gilt<ref name="Steeb">[[Willi Hans Steeb]]: ''Kronecker Product of Matrices and Applications''. BI-Wiss. Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S. 16</ref>

:<math>AC\otimes BD=(A\otimes B)(C\otimes D)</math>.
Unter Benutzung dieser Relation folgt für den Kommutator
:<math>[A\otimes B,C\otimes D]=\frac{1}{2}([A,C]\otimes\{B,D\}+\{A,C\}\otimes[B,D])</math>,
wobei <math>[A,B]</math> der Kommutator und <math>\{A,B\}</math> der Antikommutator ist.

=== Kenngrößen ===

Sind <math>A</math> und <math>B</math> quadratische Matrizen, so gilt für die [[Spur (Mathematik)|Spur]]
:<math>\mathrm{Spur}(A \otimes B) = \mathrm{Spur}(A) \cdot \mathrm{Spur}(B)</math>.

Für den [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] gilt
:<math>\mathrm{Rang}(A \otimes B) = \mathrm{Rang}(A) \cdot \mathrm{Rang}(B)</math>.

Ist <math>A</math> eine <math>n\times n</math>- und <math>B</math> eine <math>m\times m</math>-Matrix, so gilt für die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]]
:<math>\det(A\otimes B)= \det(A)^m \det(B)^n</math>.

Sind <math>(\lambda_i)_{i=1,\dotsc,n}</math> die [[Eigenwertproblem|Eigenwerte]] von <math>A</math> und <math>(\mu_j)_{j=1,\dotsc,m}</math> die Eigenwerte von <math>B</math>, dann gilt:

:<math>(\lambda_i \, \mu_j)_{i=1,\dotsc,n \atop j=1,\dotsc,m}</math> sind die Eigenwerte von <math>A\otimes B</math>.

Für die [[Spektralnorm]] gilt demnach
:<math>\| A \otimes B \|_2 = \| A \|_2 \cdot \| B \|_2</math>.

=== Inverse ===

Sind <math>A,B</math> [[Reguläre Matrix|invertierbar]], so ist auch <math>A\otimes B</math> invertierbar mit [[Inverse Matrix|Inverser]]
:<math>(A\otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}</math>.

Für die [[Pseudoinverse#Die Moore-Penrose-Inverse|Moore-Penrose-Inverse]] gilt außerdem
:<math>(A\otimes B)^{+}=A^{+} \otimes B^{+}</math>.

Allgemeiner gilt: Sind <math>A^-</math> und <math>B^-</math> verallgemeinerte Inversen von <math>A</math> und <math>B</math>, so ist <math>A^- \otimes B^-</math> eine verallgemeinerte Inverse von <math>A \otimes B</math>.

== Matrixgleichung ==
Es seien die Matrizen
<math>A\in\operatorname{Mat}(k\times\ell),\, B\in\mathrm{Mat}(m\times n),\, C\in\mathrm{Mat}(k\times n)</math> gegeben und eine Matrix <math>X\in\operatorname{Mat}(\ell\times m)</math> gesucht, so dass <math>AXB=C\,</math> gilt. Dann gilt folgende Äquivalenz:
: <math>AXB=C \iff (B^T\otimes A)\, \operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(C)</math>.
Hierbei steht <math>\operatorname{vec}</math> für die spaltenweise Vektorisierung einer Matrix zu einem Spaltenvektor: Sind <math>\vec{x}_1,\dotsc,\vec{x}_m</math> die Spalten der Matrix <math>X\in\operatorname{Mat}(\ell\times m)</math>, so ist
:<math>\operatorname{vec}(X)=\begin{pmatrix} \vec{x}_1 \\ \vdots \\ \vec{x}_m \end{pmatrix}</math>
ein Spaltenvektor der Länge <math>\ell\cdot m</math>. Analog ist <math>\operatorname{vec}(C)</math> ein Spaltenvektor der Länge <math>k\cdot n</math>.

Hat man den Vektor <math>\operatorname{vec}(X)</math> ermittelt, so ergibt sich daraus unmittelbar die zugehörige
isomorphe Matrix <math>X\in\mathrm{Mat}(\ell\times m)</math>.

=== Beweis der Äquivalenz ===
Es ist <math>AXB=C \iff AX\left(\vec{b}_1,\dotsc,\vec{b}_n\right)=\left(\vec{c}_1,\dotsc,\vec{c}_n\right)
\iff AX \vec{b_i}=\vec{c_i} \iff \begin{pmatrix} AX \vec{b}_1 \\ \vdots \\ AX \vec{b}_n \end{pmatrix}=\operatorname{vec}(C)
</math>.

Dabei ist <math>
\begin{pmatrix} A(\vec{x}_1,\dotsc,\vec{x}_m) \vec{b}_1 \\ \vdots \\ A(\vec{x}_1,\dotsc,\vec{x}_m) \vec{b}_n \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} A(b_{11}\vec{x}_1+\dotsc+b_{m1}\vec{x}_m) \\ \vdots \\ A(b_{1n}\vec{x}_1+\dotsc+b_{mn}\vec{x}_m) \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} A\, b_{11} & \cdots & A\, b_{m1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A\, b_{1n} & \cdots & A\, b_{mn}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \vec{x}_1 \\ \vdots \\ \vec{x}_m \end{pmatrix}=(B^T\otimes A)\, \operatorname{vec}(X)
</math>.

== Gleichungssystem mit Matrixkoeffizienten ==
Für <math>i=1,...,r\,</math> und <math>j=1,...,s\,</math> seien die Matrizen <math>A_{ij}\in\mathrm{Mat}(k\times\ell),\, B_{ij}\in\mathrm{Mat}(m\times n),\, C_i\in\mathrm{Mat}(k\times n)</math> gegeben.

Gesucht sind die Matrizen <math>X_i\in\mathrm{Mat}(\ell\times m)</math>, welche das Gleichungssystem

:<math>\begin{bmatrix}
A_{11} X_1 B_{11}+...+A_{1s} X_s B_{1s} & = & C_1 \\
& \vdots & \\
A_{r1} X_1 B_{r1}+...+A_{rs} X_s B_{rs} & = & C_r \\
\end{bmatrix}</math>

lösen. Diese Aufgabenstellung ist äquivalent zum Lösen des Gleichungssystems

:<math>\begin{pmatrix}
B_{11}^T \otimes A_{11} & \cdots & B_{1s}^T \otimes A_{1s} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
B_{r1}^T \otimes A_{r1} & \cdots & B_{rs}^T \otimes A_{rs} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \operatorname{vec} \, X_1 \\ \vdots \\ \operatorname{vec} \, X_s \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} \operatorname{vec} \, C_1 \\ \vdots \\ \operatorname{vec} \, C_r \end{pmatrix}</math>

== Weitere Anwendungen ==
Das Kronecker-Produkt wird beispielsweise in [[Verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung#Das verallgemeinerte lineare Regressionsmodell (VLR)|verallgemeinerten linearen Regressionsmodellen]] verwendet, um eine [[Kovarianzmatrix]] von [[Korrelation|korrelierten]] [[Störgröße und Residuum|Störgrößen]] zu konstruieren (z. B. die Kovarianzmatrix bei scheinbar unverbundenen Regressionsgleichungen, siehe [[Kovarianzmatrix#Kovarianzmatrix bei scheinbar unverbundenen Regressionsgleichungen]]). Man erhält hier etwa eine blockdiagonale [[Zellnermatrix]].

Zudem braucht man das Kronecker-Produkt in der [[Quantenmechanik]], um Systeme mit mehreren Teilchen, die ein beidseitig beschränktes Spektrum besitzen, zu beschreiben. Zustände mehrerer Teilchen sind dann Kroneckerprodukte der Einteilchenzustände. Im Falle eines unbeschränkten Spektrums bleibt nur die algebraische Struktur eines Kronecker-Produktes erhalten, da dann keine Darstellung durch Matrizen existiert.

== Zusammenhang mit Tensorprodukten ==
Gegeben seien zwei [[lineare Abbildung]]en <math>\varphi_1\colon V_1\longrightarrow W_1</math> und <math>\varphi_2\colon V_2\longrightarrow W_2</math> zwischen endlichdimensionalen [[Vektorraum|Vektorräumen]]. Dann gibt es immer genau eine lineare Abbildung
:<math>\varphi_1\otimes\varphi_2\colon V_1\otimes V_2\longrightarrow W_1\otimes W_2</math>
zwischen den [[Tensorprodukt]]en mit
:<math>[\varphi_1\otimes \varphi_2](v_1\otimes v_2)=\varphi_1(v_1)\otimes \varphi_2(v_2)</math>.

Wenn wir auf den Vektorräumen <math>V_1, W_1, V_2</math> und <math>W_2</math> je eine Basis auswählen, so können wir der Abbildung <math>\varphi_1</math> ihre [[Darstellungsmatrix]] <math>A</math> zuordnen und <math>\varphi_2</math> die Darstellungsmatrix <math>B</math>.

Das Kronecker-Produkt <math>A\otimes B</math> der Darstellungsmatrizen entspricht nun genau der Darstellungsmatrix der tensorierten Abbildung <math>\varphi_1\otimes\varphi_2</math>, wenn man auf <math>V_1 \otimes V_2</math> und <math>W_1 \otimes W_2</math> die Basis zugrunde legt, welche sich aus den [[Lexikographische Ordnung|lexikographisch]] angeordneten Paaren von Basisvektoren der am Tensorprodukt beteiligten Vektorräume ergibt: Sind <math>(e_1,e_2,\ldots, e_n)</math> die gewählte Basis von <math>V_1</math> und <math>(f_1,f_2,\ldots, f_p)</math> die Basis von <math>V_2</math>, so nehmen wir
:<math>(e_1\otimes f_1, e_1\otimes f_2, \ldots, e_1\otimes f_p, e_2\otimes f_1, \ldots, e_n\otimes f_{p-1}, e_n\otimes f_p)</math>
als Basis für das [[Tensorprodukt]] <math>V_1\otimes V_2</math>; analog für <math>W_1\otimes W_2</math>.

== Historisches ==
Das Kronecker-Produkt ist nach [[Leopold Kronecker]] benannt, obwohl [[Georg Zehfuss]] die Definition des Produktes schon 1858 leistete, weshalb das Kronecker-Produkt manchmal auch Zehfuss-Produkt genannt wird.<ref>Walter Strobl, "Georg Zehfuss: Sein Leben und seine Werke", [http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/24214 online]</ref>

== Weblinks ==
* [http://mathworld.wolfram.com/KroneckerProduct.html MathWorld: Matrix Direct Product]
* [http://jeff560.tripod.com/k.html Earliest Uses: Kronecker, Zehfuss or Direct Product of matrices.]
* [[Charles F. Van Loan]]: [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.115.5655&rep=rep1&type=pdf ''The ubiquitous Kronecker product.''] Journal of Computational and Applied Mathematics 123 (2000) S. 85–100 (online PDF-Datei)

== Quellen ==

<references/>

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Leopold Kronecker als Namensgeber]]

Kronecker-Produkt - Versionsgeschichte

imported>Serols: Änderung 265154957 von Serols rückgängig gemacht; vertippt