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2026-02-06T11:25:37Z

Definition: Grammatik

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Das '''Kronecker-Delta''' ist ein [[Mathematik|mathematisches]] Zeichen, das durch ein kleines [[Delta]] mit zwei [[Index (Mathematik)|Indizes]] (typischerweise <math>\delta_{ij}\,</math>) dargestellt wird und nach [[Leopold Kronecker]] benannt ist. Es wird manchmal auch als ''Kronecker-Symbol'' bezeichnet, obwohl es noch ein anderes [[Kronecker-Symbol]] gibt.

Der auch gebräuchliche Begriff ''Deltafunktion'' ist irreführend, weil damit häufiger die [[Delta-Distribution]] bezeichnet wird.

Es wird vor allem in Summenformeln im Zusammenhang mit [[Matrix (Mathematik)|Matrix]]- oder [[Vektor]]operationen verwendet, oder um Fallunterscheidungen in Formeln zu vermeiden.

== Definition ==
Seien eine beliebige [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmenge]] <math>I</math> und ein [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math> mit [[Nullelement]] <math>0^R</math> und [[Einselement]] <math>1^R</math> gegeben.
Seien ferner <math>i, j \in I</math>.
Das Kronecker-Delta ist definiert als:
: <math>\delta_{ij} = \begin{cases}
1^R & \text{falls} \quad i = j, \\
0^R & \text{falls} \quad i \neq j.
\end{cases}</math>
Bei der Indexmenge handelt es sich meist um eine endliche Teilmenge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]].

== Eigenschaften ==
Das Kronecker-Delta kann in der Form
: <math>\delta=\chi_D\colon I\times I\to \{0,1\}</math>,
geschrieben werden, ist also die [[Indikatorfunktion|charakteristische Funktion]] <math>\chi_D</math> der ''Diagonalmenge'' <math>D=\{(i,j)\in I \times I \mid i=j\}</math>. Häufig wird dabei an Stelle von <math>\{0,1\}</math> ein erweiterter Bildraum, z. B. die reellen Zahlen, betrachtet.

Für Produkte von Kronecker-Deltas mit <math>i,j,k\in I_1</math> und <math>b_i\in I_2</math> für alle <math>i</math> mit Indexmengen <math>I_1,I_2</math> gilt

: <math>\prod_i \delta_{b_i b_j} = \prod_i \delta_{b_i b_k} \;\forall j,k.</math>

Dieser Ausdruck vergleicht quasi jedes <math>b_i</math> mit dem feststehenden <math>b_j</math> und ist nur dann 1, wenn alle Ausdrücke gleich sind, weshalb statt <math>b_j</math> ein beliebiges <math>b_i</math> (ausgedrückt als <math>b_k</math>) dafür eingesetzt werden kann.

Für beispielsweise <math>I_1=\{1,2,3\}</math> mit <math>b_1:=a,\; b_2:=b,\; b_3:=c</math> bedeutet das (nach Streichung der gleichen Indizes):

: <math>\delta_{ba}\delta_{ca} = \delta_{ab}\delta_{cb} = \delta_{ac}\delta_{bc}.</math>

Dieser Ausdruck ist genau dann (und nur dann) 1, wenn <math>a=b=c</math> gilt. Wird das Kronecker-Delta zusammen mit der [[Einsteinsche Summenkonvention|einsteinschen Summenkonvention]] verwendet, so ist diese Aussage nicht korrekt. Auf das Kronecker-Delta zusammen mit der einsteinschen Summenkonvention wird im Abschnitt „[[#Als (r,s)-Tensor|Als (r,s)-Tensor]]“ eingegangen.

Trivialerweise gilt auch (für <math>a,b\in I</math>):

: <math>\prod \delta_{ab} = \delta_{ab} \,.</math>

=== Als (r,s)-Tensor ===

Betrachtet man das Kronecker-Delta auf einem endlichdimensionalen [[Vektorraum]] <math>V</math>, so kann man es als (0,2)-[[Tensor]] verstehen. Als multilineare Abbildung
: <math> \delta \colon V \times V \to \mathbb R</math>

ist das Kronecker-Delta durch seine Wirkung auf die Basisvektoren eindeutig bestimmt und es gilt
: <math>
\delta(e_i,e_j) = \begin{cases} 1, & \mbox{falls } \quad i=j, \\ 0, & \mbox{falls } \quad i \neq j.\end{cases}
</math>

Das Kronecker-Delta als (0,2)-Tensor ist ein Spezialfall der allgemeinen Definitionen vom Artikelanfang. Ist nämlich in der allgemeinen Definition die Indexmenge endlich und werden durch diese endlichdimensionale Vektoren indiziert, dann sind die allgemeine Definition und die Sichtweise als (0,2)-Tensor gleich. Eine andere Erweiterung des als Tensor aufgefassten Kronecker-Deltas ist das [[Levi-Civita-Symbol]].

Im Zusammenhang mit dem Tensorkalkül wird oftmals die [[einsteinsche Summenkonvention]] verwendet, bei dieser wird über doppelt auftretende Indizes summiert. Das heißt, in einem n-dimensionalen Vektorraum gilt
: <math>
\delta_{ab}\delta_{ab}=\sum_{a=1}^n \sum_{b=1}^n \delta_{ab}\delta_{ab} = \sum_{a=1}^n \delta_{aa}=\sum_{1}^{n} 1=n \neq \delta_{ab}\,.
</math>

Meistens wird bei dieser Summenkonvention auch darauf geachtet, welche Indizes oben und welche unten stehen und es wird nur summiert, wenn der gleiche Index einmal oben und einmal unten steht. Im Fall des Kronecker-Deltas müsste es dann also <math>\delta^a_{b}\delta_{a}^b = n</math> lauten.

=== Integral- und Summendarstellung ===

Wählt man als Indexmenge die Menge der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\Z</math>, dann kann das Kronecker-Delta mithilfe eines [[Kurvenintegral]]s dargestellt werden. Es gilt nämlich

: <math>
\delta_{xn} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z|=1} z^{x-n-1} dz = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(x-n)\varphi} d\varphi\,,
</math>

wobei die Kurve, die auf dem Kreis <math>|z|=1</math> verläuft, gegen den Uhrzeigersinn gerichtet ist. Diese Darstellung kann mithilfe des [[Residuensatz]]es bewiesen werden.

Manchmal ist auch eine Darstellung in der Form

:<math>\delta_{nm} = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^N e^{2 \pi i \frac{k}{N}(n-m)}</math>

hilfreich. Diese kann mit Hilfe der Partialsummenfolge der [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] hergeleitet werden.

=== Beziehung zur Betrags- und Signum-Funktion ===
Das Kronecker-Delta lässt sich durch die folgende Kombination von [[Betragsfunktion|Betrags]]- und [[Signum-Funktion|Signum]]-Funktion darstellen:

:<math>\delta_{ij} = 1 - |\sgn(i - j)|</math>

== Beispiele ==
* In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] kann die <math>n\times n</math>-[[Einheitsmatrix]] als <math>(\delta_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}</math> geschrieben werden.
* Mit dem Kronecker-Delta kann man das [[Skalarprodukt]] orthonormierter Vektoren <math>e_1, \dots, e_n</math> als <math>\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}</math> schreiben.

== Alternative Definition in der digitalen Signalverarbeitung ==
In der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird eine andere ähnliche Definition des Kronecker-Deltas verwendet. Das Kronecker-Delta wird hier als Funktion auf <math>\Z</math> verstanden und ist definiert durch

: <math>\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0\, , \\ 0, & n \ne 0\, . \end{cases}</math>

Die Funktion wird in diesem Zusammenhang als „Einheitsimpuls“ bezeichnet und dient der Ermittlung der [[Impulsantwort]] in diskreten Systemen wie beispielsweise [[Digitalfilter|digitalen Filtern]].<ref>{{Literatur |Autor=Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer |Titel=Zeitdiskrete Signalverarbeitung |Auflage=3. |Verlag=Oldenbourg Verlag |Datum=1999 |ISBN=3-486-24145-1}}</ref>

== Siehe auch ==
* Die [[Delta-Distribution]] bildet ein Analogon in der [[Distributionentheorie]], sie verhält sich unter Integration wie das Kronecker-Delta unter Summation über alle möglichen Werte für einen der beiden Parameter.
* Das [[Dirac-Maß]] dagegen bildet ein Analogon in der [[Maßtheorie]], es verhält sich unter [[Lebesgue-Integral|Integration]] bezüglich des Maßes analog zum Kronecker-Delta.

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=KroneckerDelta |title=Kronecker Delta}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Notation (Physik)]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Leopold Kronecker als Namensgeber]]

Kronecker-Delta - Versionsgeschichte

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