imported>Acky69: /* Optik */ zus. Infos

2024-05-29T18:28:26Z

Optik: zus. Infos

Neue Seite

Der '''kritische ([[Einfallswinkel|Einfalls-]])Winkel''' <math>\theta_{\mathrm c}</math> ist ein Begriff aus der [[Physik]] und wird gebraucht im Zusammenhang mit der [[Brechung (Physik)|Brechung]] von [[Welle]]n. Gebräuchlich ist der Begriff insbesondere in der [[Optik]] (hier auch '''Grenzwinkel der Totalreflexion''' genannt) und in der [[Refraktionsseismik]].

== Optik ==
[[Datei:Interne Reflexion (Schema).svg|mini|[[Totalreflexion]] (rot und gelb): Interne Reflexion beim Auftreffen von Licht vom optisch dichteren auf ein optisch dünneres Medium ([[Goos-Hänchen-Effekt]] vernachlässigt)]]
Die [[Brechung (Physik)|Brechung]] von Wellen, d. h., die Richtungsänderung des Verlaufs beim Übergang einer Welle von einem [[Ausbreitungsmedium|Medium]] in ein angrenzendes Medium, basiert auf einer Änderung ihrer [[Phasengeschwindigkeit|Ausbreitungsgeschwindigkeit]]. Diese wird durch das durchquerte Medium festgelegt.

Betrachtet man z. B. eine [[elektromagnetische Welle]] (wie sichtbares [[Licht]]), die sich in einem Medium 1 ausbreitet und unter einem bekannten [[Einfallswinkel]] <math>\alpha</math> auf eine [[Grenzfläche]] zu einem Medium 2 trifft, so wird diese gemäß den [[Fresnel-Gleichungen]] zum Teil [[Reflexion (Physik)|reflektiert]] bzw. [[Transmission (Physik)|transmittiert]], d. h., das Licht geht in das Medium 2 über. Bei diesem Übergang erfährt der [[Lichtstrahl]] (kann als [[Interferenz (Physik)|Interferenz]] der Lichtwellen betrachtet werden) gemäß dem [[Snelliussches Brechungsgesetz|snelliusschen Brechungsgesetz]] eine Richtungsänderung, er wird „gebrochen“ (grüner Strahlenverlauf im Bild):

:<math>n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2)</math>

mit
* den [[Brechungsindex|Brechungsindizes]] <math>n_1</math> und <math>n_2</math> der beiden Medien
* dem Einfallswinkel <math>\theta_1</math> und dem Ausfallswinkel <math>\theta_2</math>.

Das bedeutet für einen Übergang:
* von einem Medium 1 in ein optisch dichteres Medium 2 (<math>c_1 > c_2</math>, <math>n_1 < n_2</math>), z. B. beim Übergang von Luft in Wasser, dass der Strahl ''zum [[Lot (Mathematik)|Lot]] hin'' gebrochen wird: <math>\frac{n_1}{n_2} = \frac{\sin(\theta_2)}{\sin(\theta_1)} < 1</math>
* von einem Medium 1 in ein optisch dünneres Medium 2 (<math>c_1 < c_2</math>, <math>n_1 > n_2</math>), z. B. beim Übergang von Wasser in Luft, dass der Strahl ''vom Lot weg'' gebrochen wird: <math>\frac{n_1}{n_2} = \frac{\sin(\theta_2)}{\sin(\theta_1)} > 1</math>; dieser Fall ist im Bild dargestellt;
mit den Ausbreitungsgeschwindigkeiten <math>c_1</math> und <math>c_2</math> der beiden Medien.

Vergrößert man nun im zweiten Fall den Einfallswinkel <math>\theta_1</math>, so verläuft der gebrochene Strahl ab einem bestimmten Wert [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zur Grenzfläche (gelber Strahlenweg im Bild). Dieser Winkel wird ''kritischer Winkel'' <math>\theta_{\mathrm c}</math> genannt. Anders formuliert ist der kritische Winkel derjenige, bei dem es ''erstmalig'' zur [[Totalreflexion]] und ''gerade nicht mehr'' zur Transmission kommt (bzw. gerade noch, da die Ausbreitungsgeschwindigkeit der kritisch refraktierten Welle die des Mediums ist, in das transmittiert würde (die schnellere)).

Der kritische Winkel der Optik lässt sich berechnen mithilfe des snelliusschen Brechungsgesetzes und der [[Arcussinus]]-Funktion:

:<math>\begin{align}
n_1 \cdot \sin (\theta_\mathrm{c}) &= n_2 \cdot \underbrace{\sin (90^{\circ})}_{1}\\
\Leftrightarrow \theta_{\mathrm c} &= \arcsin \! \left( \frac{n_2}{n_1} \right).
\end{align}</math> (Ergebnis zunächst im [[Bogenmaß]])

Wenn z. B. ein Lichtstrahl von Wasser in Luft austreten soll, ergibt sich mit <math>n_1 = 1,3330</math> und <math>n_2 = 1,000292</math> ein kritischer Winkel <math>\theta_{\mathrm c} \approx 48,63^{\circ}</math>.

== Seismik ==
[[Datei:Laufzeitdiagramm.svg|mini|Schema eines [[Laufzeitdiagramm]]s und dessen Strahlwege, einschließlich kritischem Winkel i<sub>c</sub>]]
Die Abhängigkeit des [[Strahlweg]]s von der Ausbreitungsgeschwindigkeit gilt gleichermaßen auch für [[seismische Welle]]n. In diesem Fall der mechanischen Wellenausbreitung stellt der „Wellenstrahl“ die senkrechte [[Trajektorie (Physik)|Trajektorie]] der [[Wellenfront]] dar. Verändert sich nun die Ausbreitungsgeschwindigkeit, so wird dadurch die Lage der Wellenfront und somit auch der Strahlweg verändert.

Das snelliussche Brechungsgesetz ist in der [[Seismik]] über die Ausbreitungsgeschwindigkeiten (<math>v_1</math>,<math>v_2</math>) der durchlaufenen Medien definiert:

: <math> \frac{\sin(\theta_1)}{v_1} = \frac{\sin(\theta_2)}{v_2},</math>

Dies ist vollkommen äquivalent zur Formulierung der Optik mit dem Brechungsindex, wenn man bedenkt, dass gilt:

::<math>n_i = \frac{c}{c_i} \Leftrightarrow v_i = c_i = \frac{c}{n_i}</math>

mit
* der [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math>
* der Ausbreitungsgeschwindigkeit <math>c_\mathrm{i}</math> bzw. <math>v_\mathrm{i}</math>im jeweiligen Medium.

Der kritische Winkel der Seismik ist demnach zu berechnen aus:
:<math>\theta_{\mathrm c} = \arcsin\!\left(\frac{v_1}{v_2}\right).</math>

Im Gegensatz zu elektromagnetischen Wellen, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit – wie am Beispiel eines Lichtstrahls erläutert – im optisch dichteren Medium ''abnimmt'', nimmt diese bei seismischen Wellen ''zu'', wenn die Wellenfront in ein kompakteres Medium eintritt. Eine ''kritische Refraktion'' tritt bei seismischen Wellen daher beim Übergang von einem lockereren in ein festeres [[Gestein]] auf.

Der Effekt der seismischen kritischen Refraktion wird in der Methode der [[Refraktionsseismik]] gezielt zur Untersuchung von Schichtstrukturen des [[Erdinneres|Erdinneren]] ausgenutzt: Im Regelfall wachsen die seismischen Geschwindigkeiten mit zunehmender Tiefe an, so dass beim Auftreffen einer seismischen Welle auf eine [[Diskontinuität (Geologie)|Schichtgrenze]] unter dem kritischen Winkel eine refraktierte Welle entsteht. Diese [[Kopfwelle]] breitet sich entlang der Schichtgrenze mit der Geschwindigkeit der unteren Schicht aus. Dabei strahlt sie kontinuierlich seismische Wellenenergie ab, die wiederum unter dem kritischen Winkel zurück an die Oberfläche läuft, wo sie aufgezeichnet werden und zur Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit benutzt werden kann.

== Literatur ==
*[[Eugene Hecht]]: ''Optik.'' Oldenbourg Verlag, 4. Auflage 2005, ISBN 3-486-27359-0.

[[Kategorie:Optik]]
[[Kategorie:Seismik]]
[[Kategorie:Winkel]]

[[en:Total internal reflection#Critical angle]]

Kritischer Winkel - Versionsgeschichte

imported>Acky69: /* Optik */ zus. Infos