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2025-01-17T14:39:55Z

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'''Kritische Exponenten''' <math>k</math> werden in der Theorie der kontinuierlichen [[Phasenübergang|Phasenübergänge]] zur Beschreibung des Verhaltens eines [[Physikalisches System|physikalischen Systems]] in der Nähe des [[Kritischer Punkt (Thermodynamik)|kritischen Punktes]] und zur Klassifizierung des Phasenüberganges in [[Renormierungsgruppe#Universalität und Universalitätsklassen|Universalitätsklassen]] verwendet.

Bei kontinuierlichen Phasenübergängen geht der [[Ordnungsparameter]] <math>\Psi</math> bei Annäherung von unten an die [[Kritische Temperatur (Thermodynamik)|kritische Temperatur]] kontinuierlich gegen null, und einige höhere [[Differentialrechnung#Ableitungsfunktion|Ableitungen]] des zugehörigen [[thermodynamisches Potential|thermodynamischen Potentials]] zeigen eine Nicht-Analyzität (einen [[Unstetigkeitsstelle|Sprung]] oder eine Divergenz). Die höheren Ableitungen können z. B. die Antwortfunktionen wie die [[spezifische Wärme]], die [[Kompressibilität]] oder die [[Suszeptibilität]] sein.

Dabei beobachtet man, dass das Verhalten des Ordnungsparameters und einiger dieser höheren Ableitungen nur von der [[Reduzierte Temperatur|reduzierten Temperatur]] <math>\tau = T/T_C - 1</math> abhängt, welche den skalierten Abstand zur kritischen Temperatur <math>T_C</math> des Phasenübergangs angibt. Genauer folgen diese Größen <math>F</math> näherungsweise einem [[Potenzfunktion|Potenzgesetz]] mit einem Exponenten <math>k</math>:

:<math>F(\tau) \approx \tau^{k} = \left( \frac{T - T_C}{T_C} \right)^k</math>

Es wurde dabei experimentell beobachtet und theoretisch berechnet, dass der Wert des Exponenten nur von einigen Grundeigenschaften des Systems abhängt. Systeme mit den gleichen Grundeigenschaften zeigen also am Phasenübergang in einer endlichen Anzahl von Größen das gleiche Potenzverhalten mit identischen Exponenten. Man spricht daher von [[Universalität (Physik)|universellem Verhalten]] und kritischen Exponenten. Systeme mit gleichen kritischen Exponenten gehören der gleichen Universalitätsklasse an, ihr Phasenübergang ist durch die Angabe der Universitalitätsklasse vollständig charakterisiert.

Die kritischen Exponenten einer Universalitätsklasse sind nicht unabhängig voneinander, sondern durch [[Skalengesetz]]e verbunden.

== Mathematische Definition ==
In der Nähe der kritischen Temperatur eines kontinuierlichen Phasenübergangs lässt sich das Verhalten einer physikalischen Größe als Funktion der reduzierten Temperatur angeben:

:<math>F(\tau) = A \cdot \tau^\lambda \left(1 + b \cdot \tau ^{\lambda_1} + \cdots \right)</math>

Dies lässt sich in der Nähe der kritischen Temperatur (<math>\tau \approx 0</math>) in guter Approximation mit einem einfachen Potenzgesetz beschreiben:

:<math>\begin{alignat}{2}
F(\tau) & \propto && \tau ^{-k} &&\quad \text{für} \quad \tau > 0\\
F(\tau) & \propto (-&& \tau)^{-k} &&\quad \text{für} \quad \tau < 0
\end{alignat}</math>

Die Definition des kritischen Exponenten ist davon abhängig, aus welcher Richtung man sich der kritischen Temperatur nähert:
* von oben, d. h. aus der ungeordneten Phase: <math>\tau > 0 \Leftrightarrow T > T_C \quad \Rightarrow k \, \stackrel{\text{def}}{=} \, \lim_{\tau \to 0, \tau>0}\frac{\log |F(\tau)|}{\log (\tau)}</math>
* von unten, d. h. aus der geordneten Phase: <math>\tau < 0 \Leftrightarrow T < T_C \quad \Rightarrow k' \, \stackrel{\text{def}}{=} \, \lim_{\tau \to 0, \tau < 0}{\frac{\log |F(\tau)|}{\log (-\tau)}}</math>
''Für den Ordnungsparameter'' gibt es nur einen einzigen kritischen Exponenten <math>\beta</math> (eigentlich <math>\beta'</math>), da man diesen nur durch Annäherung ''aus der geordneten Phase'' an die kritische Temperatur bestimmen kann (in der ungeordneten Phase ist der Ordnungsparameter [[per definitionem]] gleich null).

== Universalität ==
Die kritischen Exponenten sind (fast) universell, d. h., sie hängen nicht von den Details, sondern lediglich von einigen Grundeigenschaften des betrachteten physikalischen Systems ab. Diese Grundeigenschaften sind laut der – experimentell und numerisch inzwischen sehr gut bestätigten – Universalitätshypothese von [[Robert Griffiths|Griffiths]]:<ref>R. B. Griffiths, Phys. Rev. Lett. 24, 1479 (1970)</ref>
* die [[Dimensionalität]] <math>D</math>
* die interne oder [[Spin]]<nowiki/>dimensionalität <math>d</math>
* die Reichweite der Wechselwirkung.

Zur Bestimmung der Reichweite der Wechselwirkung unterscheidet man lediglich zwischen kurz-/mittel- und langreichweitig. Nur bei kurz- und langreichweitigen Wechselwirkungen stellt sich universelles Verhalten ein. Bei mittelreichweitigen Wechselwirkungen können die Exponenten dann noch von der Reichweite abhängen.

Es gibt auch Systeme, die am Phasenübergang ''nicht''-universelle kritische Exponenten aufweisen, z. B. [[Spin-Glas|frustrierte Systeme]].

== Zusammenhang mit den physikalischen Größen ==
In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten kritischen Exponenten und die zugehörigen physikalischen Größen tabelliert. Die Vorzeichen der Exponenten unterscheiden sich je nach physikalischer Größe, da der Ordnungsparameter bei Annäherung der Temperatur an die kritische Temperatur konvergiert, während spezifische Wärme, Suszeptibilität und Korrelationslänge divergieren.
{| class="wikitable"
|-
! Kritischer Exponent !! Physikalische Größe
|-
| <math>\beta</math> || [[Ordnungsparameter]] <math>\Psi \approx (-\tau)^\beta, \text{da } \tau < 0</math>
|-
| <math>\alpha, \alpha'</math> || [[Spezifische Wärme]] <math>C\approx\begin{cases}
\tau ^{-\alpha}, & \text{wenn } \tau > 0,\\
(-\tau)^{-\alpha'}, & \text{wenn } \tau < 0.
\end{cases}</math>
|-
| <math>\gamma,\gamma'</math> || [[Suszeptibilität]] <math>\chi\approx\begin{cases}
\tau ^{-\gamma}, & \text{wenn } \tau>0,\\
(-\tau)^{-\gamma'}, & \text{wenn } \tau<0.
\end{cases}</math>
|-
| <math>\nu,\nu'</math> || [[Korrelationslänge]] <math>\xi\approx\begin{cases}
\tau ^{-\nu}, & \text{wenn } \tau>0,\\
(-\tau)^{-\nu'}, & \text{wenn } \tau<0.
\end{cases}</math>
|-
| <math>\eta </math> || [[Korrelationsfunktion (Physik)|Korrelationsfunktion]] <math>\left\langle \psi(\vec{r_i}) \psi(\vec{r_j}) \right\rangle\approx\left( |\vec{r_i}-\vec{r_j}|^{(D-2+\eta)} \right)^{-1} \text{ bei } T = T_C </math>
|-
| <math>\delta</math> || kritische [[Isotherme]] <math>\text{ bei } T = T_C </math>
|-
|}

== Werte ==
In der folgenden Tabelle sind die kritischen Exponenten aus Experimenten und theoretischen Berechnungen aufgelistet. Bei den Experimenten sind zwei Werte für die Koeffizienten <math>\alpha,\gamma,\nu</math> gegeben, wobei die obere Zahl die Messung für <math>\tau>0</math> und die untere Zahl die Messung für <math>\tau<0</math> wiedergibt. Die Abkürzung 'log' steht für eine logarithmische [[Isolierte Singularität|Singularität]].

{| class="wikitable"
|-
! Kritischer Exponent !! <math>\alpha</math> !! <math>\beta</math> !! <math>\gamma</math> !! <math>\delta</math> !! <math>\nu</math> !! <math>\eta</math>
|-
! Experiment: [[Reales Gas]]
| log log ||0,35 ||1,37 (± 0,2) 1,0 (± 0,3) || 4,4 (± 0,4)|| 0,64 0,64 || 0
|-
! Experiment: [[Magnet]]
| log log ||0,34 ||1,33 (± 0,03) 1,33 (± 0,03) || ≥ 4,2|| 0,65 (± 0,03) 0,65 (± 0,03) || 0
|-
! [[Landau-Theorie]]<ref>Gebhardt, Wolfgang / Krey, Uwe: ''Phasenübergänge und kritische Phänomene'', Vieweg 1980</ref>
| 0 (Sprung) || 0,5 || 1 || 3 || 0,5 || 0
|-
! Theorie: [[Ising-Modell]] (D = 2, d = 1, kurzreichweitig)
| log ||0,125 ||1,75 || 15|| 1 || 0,25
|-
! Theorie: [[Ising-Modell]] (D = 3, d = 1, kurzreichweitig)
| 0,11 ||0,325 ||1,24 ||≈ 4,82|| 0,63 || ≈ 0,33
|-
! Theorie: [[Heisenberg-Modell]] (D = 3, d = 3, kurzreichweitig)
| ? || 0,365 ||1,39 || 4,80|| 0,705 || ≈ 0,034
|}
(Quelle: Nolting Band 6, [[Statistische Physik]], Springer Verlag) 
Die theoretischen Werte für das Ising-Modell (D = 2, d = 1, kurzreichweitig) sind noch exakt bestimmbar, für alle anderen theoretischen Werte müssen [[Näherungsverfahren]] wie [[Renormierungsgruppe]]n<nowiki/>rechnungen benutzt werden.

Der am genauesten gemessene Wert ist <math>\alpha = -0{,}0127</math> für den Phasenübergang des [[Suprafluidität|supraflüssigen]] [[Helium]]s (der sogenannte [[Lambdapunkt|lambda-Übergang]]). Dieser Wert wurde in einem [[Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]] bestimmt, um [[Druck (Physik)|Druck]]<nowiki/>unterschiede in der Flüssigkeit zu minimieren. Das Messergebnis stimmt genau mit der theoretischen Voraussage überein, die mit Hilfe der [[Variationsstörungstheorie]] gewonnen wurde.

== Skalengesetze ==
{{Siehe auch|Van-der-Waals-Gleichung}}
Die Idee für die Skalengesetze gehen auf [[Leo Kadanoff|L. P. Kadanoff]] zurück, der sie speziell für das [[Ising-Modell]] zeigte. Quantitativ bestätigt wurden sie dann durch Renormierungsgruppenrechnungen. Gesichert sind die Skalengesetze nur dann, wenn die [[freie Enthalpie]] und die [[Korrelationsfunktion (Physik)|Korrelationsfunktionen]] verallgemeinerte [[homogene Funktion]]en sind.

Zunächst folgt aus den Skalengesetzen, dass die Richtung, aus welcher der kritische Exponent bestimmt wird, nicht entscheidend ist:

:<math>\alpha=\alpha' ,~ \gamma=\gamma' ,~ \nu=\nu'</math>

Weitere Skalengesetze verbinden nun die verschiedenen kritischen Exponenten miteinander:
:<math>\alpha + 2 \beta + \gamma = 2</math>
:<math>\alpha + \beta \cdot (1 + \delta) = 2</math>

:<math>\beta = \frac{\gamma}{\delta - 1}</math>

:<math>\nu = \frac{\gamma}{2 - \eta} </math>.
Sind die Skalengesetze gültig, so genügt die Bestimmung von nur zwei Exponenten, um mit Hilfe der o. g. Formeln die restlichen vier Exponenten zu errechnen.

== Literatur ==
* ''Phase Transitions and Critical Phenomena'', Band 1–20, (Academic Press), Hrsg.: C. Domb, M.S. Green und [[Joel Lebowitz|J.L. Lebowitz]]
* J. M. Yeomans, ''Statistical Mechanics of Phase Transitions'' (Oxford Science Publications, 1992) ISBN 0198517300
* [[Hagen Kleinert]], ''Critical Properties of <math>\varphi^4</math>-Theories'', [http://www.worldscibooks.com/physics/4733.html World Scientific (Singapore, 2001)]; Paperback ISBN 981-02-4658-7'' (also available online [http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b8 here])''
* Wolfgang Nolting, ''Grundkurs Theoretische Physik, Band 6 – Statistische Physik'', Springer Verlag

== Quellen ==
<references />

[[Kategorie:Thermodynamik]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]

Kritischer Exponent - Versionsgeschichte

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