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2013-12-03T07:40:03Z

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Das '''Raabesche Kriterium''' oder das '''Kriterium von Raabe-Duhamel''' (von [[Joseph Ludwig Raabe]] und [[Jean Marie Constant Duhamel]]) ist ein [[Mathematik|mathematisches]] [[Konvergenzkriterium]], also ein Mittel zur Entscheidung, ob eine [[unendliche Reihe]] [[Konvergenz (Mathematik)|konvergent]] oder divergent ist.

== Formulierung ==
=== 1. Fassung ===

Sei eine unendliche Reihe
:<math>S = \sum_{n=0}^\infty a_n</math>
mit positiven reellen Summanden <math>a_n</math> gegeben, die eine monoton fallende Folge bilden.

Dann ist <math>S</math> konvergent, falls die Folge
:<math>\left(\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right)n\right)_{n\in\N}</math>
nach oben durch ein <math>-\alpha<-1</math> beschränkt ist. Sind alle Glieder dieser Folge größer als <math>-1</math>, so ist <math>S</math> divergent.

=== 2. Fassung ===
Sei eine unendliche Reihe
:<math>S = \sum_{n=0}^\infty a_n</math>
gegeben.

Dann ist <math>S</math> [[Absolute Konvergenz|absolut konvergent]], falls für eine Zahl <math>\beta>1</math> fast immer (d. h. für <math>n\geq n_0</math>) gilt:
:<math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq1-\frac{\beta}{n}</math>.
Sie divergiert jedoch, wenn fast immer <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq1-\frac{1}{n}</math> ausfällt.

== Anmerkungen ==
Wie immer bei der Betrachtung des Konvergenzverhaltens von Reihen muss dieses Kriterium nur für [[fast alle]] Indizes erfüllt sein. Durch Umstellen führt das Kriterium auf eine Abschätzung von <math>S</math> durch
:<math>T = \sum_{n=0}^\infty b_n</math>
nach dem [[Majorantenkriterium]], wobei <math>T</math> die [[Teleskopsumme|Teleskopreihe]] mit <math>b_n=c_n-c_{n+1}</math> über der Nullfolge <math>c_n=\frac{n-1}{\alpha-1}a_n</math> ist.

Mit Obigem ergibt sich eine Reihenrest-[[Abschätzung]]:
:<math>S-S_N=\sum_{n=N+1}^\infty a_n\le\frac{N}{\alpha-1}a_{N+1}</math>.

== Anwendbarkeit ==
Diese Kriterien sind schwerer anzuwenden als das [[Wurzelkriterium]] bzw. [[Quotientenkriterium]], liefern jedoch in dort ungewissen Fällen oft noch Konvergenzaussagen. Sie werden z. B. angewandt, um bei [[Potenzreihe]]n das Verhalten auf dem Rand des Konvergenzbereichs zu bestimmen.

== Literatur ==
* [[Konrad Knopp]]: ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen.'' Springer 1996 (6. Aufl.), ISBN 3-540-59111-7

[[Kategorie:Konvergenzkriterium|Raabe]]

Kriterium von Raabe - Versionsgeschichte

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