imported>Slartibartfass: umformuliert; der Satz geht sonst über das Inhaltsverzeichnis

2014-11-27T15:50:20Z

umformuliert; der Satz geht sonst über das Inhaltsverzeichnis

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Das '''Kriterium von Kummer''' (nach dem deutschen [[Mathematiker]] [[Ernst Eduard Kummer]]) ist ein [[Mathematik|mathematisches]] [[Konvergenzkriterium]], also Mittel zur Entscheidung, ob eine [[unendliche Reihe]] ([[Absolute Konvergenz|absolut]]) [[Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]].

Das Kummer-Kriterium beinhaltet zwei Aussagen, über Konvergenz und über Divergenz.

==Formulierung==
Sei <math>(c_k)_{k\in\N}</math> eine positive reelle Zahlenfolge. Mit dieser wird die [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] <math>S=\sum_{k=1}^\infty c_k</math> gebildet. Diese Reihe soll auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden.

===Konvergenzaussage===
Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge <math>(\alpha_k)</math>, so dass ab einem bestimmten Index <math>\mu</math> der Ausdruck
:<math>\alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k</math>
stets größer oder gleich einer positiven Konstante
<math>\theta>0</math> ist, dann konvergiert die Reihe <math>S=\sum_{k=1}^\infty c_k</math>.<ref name=Smirnow309310>[[Wladimir Iwanowitsch Smirnow|Wladimir Smirnow]]: ''Lehrgang der höheren Mathematik'', Harri Deutsch Verlag, ISBN 3-8171-1419-2, S. 309–310.</ref>

===Divergenzaussage===
Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge
<math>(\alpha_k)</math>, so dass
* die Reihe der reziproken Glieder <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\alpha_k}</math> divergiert und
* ab einem bestimmten Index <math>\mu</math> der Ausdruck
::<math>\alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k</math>
:stets kleiner gleich Null ist,
dann divergiert die Reihe <math>S=\sum_{k=1}^\infty c_k</math>.<ref name=Smirnow309310 />

== Beweise ==
===Beweis der Konvergenzaussage===
Es gelte für alle Indizes <math>k>\mu</math> die Abschätzung
:<math>0<\theta\le \alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k</math>.

Nach dem Durchmultiplizieren mit <math>c_k\,</math> ergibt sich daraus
: <math>\theta c_k\le \alpha_{k-1}c_{k-1}-\alpha_k c_k</math>.

Diese Ungleichung lässt sich nun von <math>k=\mu+1\,</math> bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl <math>n>\mu\,</math> nach Art einer [[Teleskopsumme]] aufsummieren.

:<math>
\theta \sum_{k=\mu+1}^n c_k
\le \sum_{k=\mu+1}^n (\alpha_{k-1}c_{k-1}-\alpha_k c_k)
= \alpha_\mu\, c_\mu-\alpha_n c_n
</math>

Der letzte Ausdruck ist immer kleiner als <math>\alpha_\mu\, c_\mu</math>, diese Schranke hängt nicht von <math>n\,</math> ab. Also gilt für alle <math>n>\mu\,</math>

:<math>\sum_{k=\mu+1}^n c_k\le \frac{\alpha_\mu\, c_\mu}{\theta}</math>

Daher wächst die Folge der Partialsummen <math>S_n=\sum_{k=1}^nc_k</math> ab dem Index <math>\mu\,</math> monoton und ist nach oben beschränkt. Nach dem (Trivial-)Kriterium der monotonen Konvergenz konvergiert somit
<math>S=\sum_{k=1}^\infty c_k</math>.

===Beweis der Divergenzaussage===
Es gelte für alle Indizes <math>k>\mu</math> die Abschätzung
:<math>
\alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k\le 0
</math> und damit auch <math>
\alpha_kc_k\ge\alpha_{k-1}c_{k-1}
</math>.

Durch induktive Verkettung dieser Ungleichungen von <math>k=\mu+1\,</math> bis zu einem beliebig großen Index <math>m>\mu</math> ergibt sich
:<math>\alpha_m c_m\ge\alpha_\mu c_\mu</math>,

nach weiterem Umstellen
:<math>c_m\ge \frac{\alpha_\mu}{\alpha_m}c_\mu</math>.

Wird diese Ungleichung von <math>m=\mu+1</math> bis zu einem beliebig großen Index <math>n</math> aufsummiert, so folgt
:<math>\sum_{m=\mu+1}^n c_m \ge \alpha_\mu c_\mu \sum_{m=\mu+1}^n \frac{1}{\alpha_m}</math>

Letzte Reihe divergiert nach Voraussetzung für <math>n\to\infty</math>. Also divergiert auch <math>S=\sum_{m=1}^\infty c_m</math> nach dem [[Minorantenkriterium]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Konvergenzkriterium|Kummer]]

Kriterium von Kummer - Versionsgeschichte

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