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2023-07-04T19:35:44Z

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Das '''Kriterium von Bertrand''' oder das '''Bertrandsche Kriterium''' ist ein [[Mathematik|mathematisches]] [[Konvergenzkriterium]] zur Bestimmung der ([[Absolute Konvergenz|absoluten]]) [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] sowie [[Grenzwert (Folge)|Divergenz]] [[Unendliche Reihe|unendlicher Reihen]], das nach dem französischen [[Mathematiker]] [[Joseph Bertrand]] (1822–1900) benannt ist.

== Formulierung ==

Sei <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{R}_+^\mathbb{N}</math> eine positive reelle [[Folge (Mathematik)|Folge]] und <math>\textstyle A := \sum_{n=1}^\infty a_n</math> die zugehörige Reihe. Die Folge <math>(B_n)_{n \in \mathbb{N}}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> mit:
: <math>B_n := \ln(n)\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)</math>
habe den endlichen oder unendlichen (respektive uneigentlichen) Grenzwert <math>B\in\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty, +\infty\}</math>:
: <math>B := \lim\limits_{n\to\infty} B_n</math>.
Dann gilt für die Reihe: <math>A</math> ist
<math>\begin{cases}
\text{konvergent, falls} & B > 1\\
\text{divergent, falls} & B < 1
\end{cases}</math>.

== Beweis ==

Sei <math>c_n := n\ln(n)</math> mit <math>n\in\mathbb{N}_{\geqq 2}</math>. Die Reihe <math>\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{c_n}</math> divergiert aufgrund des [[Integralkriterium]]s. Setzen wir <math>f(x) := \frac{1}{x\ln(x)}</math>, so gilt <math>\frac{1}{c_n} = f(n)</math> und <math>f(x)</math> ist [[Monoton fallende Funktion|monoton fallend]] und <math>f(x) \to 0</math> für <math>x \to \infty</math> und <math>x \geqq 2</math>. Des Weiteren ist:
: <math>\int_2^R \frac{1}{x\ln(x)}\mathrm{d}x = \int_2^R \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln(x)}{\ln(x)}\mathrm{d}x = \ln(\ln(R))-\ln(\ln(2))\xrightarrow{R \to \infty}\infty</math>.
Setze nun:
: <math>\begin{align}
K_n & := c_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1} = n\ln(n)\frac{a_n}{a_{n+1}}-(n+1)\ln(n+1) \\
&= n\ln(n)\frac{a_n}{a_{n+1}}-n\ln(n+1)-\ln(n+1)\\
& = n\ln(n)\frac{a_n}{a_{n+1}}-n\left(\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)+\ln(n)\right)-\left(\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)+\ln(n)\right) \\
&= n\ln(n)\frac{a_n}{a_{n+1}}-(n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-n\ln(n)-\ln(n)\\
& = \ln(n)\left(n\frac{a_n}{a_{n+1}}-n-1\right)-\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\\
& = \ln(n)\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)-\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\\
& = B_n-\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}
\end{align}</math>.
Mit der [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] des [[Logarithmus]] und dem bekannten [[Eulersche Zahl|Grenzwert]] <math>\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} = e</math> folgt für <math>n\to\infty</math>:
: <math>K = B-\ln(e) = B - 1</math>,
wobei <math>K, B \in\overline{\mathbb{R}}</math> und <math>K := \lim_{n\to\infty} K_n</math> gilt. <math>(c_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> erfüllt nun nach Konstruktion die Bedingungen des [[Kriterium von Kummer|Kriteriums von Kummer]]. Aus Letzterem folgt für <math>A</math>:
<math>A\colon \begin{cases}
\text{konvergent} & K > 0 \Leftrightarrow B > 1\\
\text{divergent} & K < 0 \Leftrightarrow B < 1
\end{cases}</math>.<ref>{{Internetquelle |autor=Markus Oster, Nicolai Lang; Christian Barth |url=https://PnP.mathematik.uni-stuttgart.de/iadm/Weidl/ana2-10/AB1/Arbeitsblatt1.pdf |titel=Lösungen zum Arbeitsblatt I |titelerg=Vorlesung ''Analysis II'' (SoSe 2009) |datum=2009-10-25 |seiten=7/28 S. |abruf=2012-12-23 |format=PDF; 155 kB}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Gregor Michailowitsch Fichtenholz]] |Titel=Differential- und Integralrechnung 2 |Reihe=[[Hochschulbücher für Mathematik]] |BandReihe=62 |Auflage=10. |Verlag=Verlag Harri Deutsch [Fismatgis/{{lang|ru|Физматгиз}}] |Ort=Frankfurt am Main [Moskau] |Datum=2009 |ISBN=978-3-8171-1279-1 |Kapitel=XI: ''Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern'' |Seiten=262, 732 |Originaltitel={{lang|ru|Курс дифференциального и интегрального исчисления}} |Originalsprache=ru |Übersetzer=Brigitte Mai, Walter Mai |JahrEA=1959 |Online={{Google Buch |BuchID=a2tEXjUi8doC}}}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Konvergenzkriterium|Bertrand]]

Kriterium von Bertrand - Versionsgeschichte

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