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2024-03-09T00:45:28Z

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In der [[Signalanalyse]] wird die '''Kreuzkorrelationsfunktion''' <math> R_{xy}(\tau) </math> zur Beschreibung der [[Korrelation (Signalverarbeitung)|Korrelation]] zweier [[Signalverarbeitung|Signale]] <math> x(t) </math> und <math> y(t) </math> bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen <math>\tau</math> zwischen den beiden Signalen eingesetzt. ''Kreuz'' steht hierbei für den Fall <math> x \neq y </math> der Funktion:

: <math> R_{xy} (t_1,t_2) = E[\textbf{X}(t_1) \cdot \textbf{Y}(t_2)],</math>
wobei E der [[Erwartungswert]] ist.

Handelt es sich um einen schwach [[Stationärer stochastischer Prozess|stationären Prozess]], so ist die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Wahl der Zeitpunkte <math>t_1</math> und <math>t_2</math>, sondern nur von deren Differenz <math>\tau = t_2 - t_1</math> abhängig.

Die Kreuzkorrelations-Operation ist identisch mit der komplex konjugierten [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] <math>\overline{f(-t)}</math>. Insbesondere im Fachgebiet [[Maschinelles Lernen]], wo man mit [[Convolutional Neural Network]]s arbeitet, wird aufgrund dieser Identität meistens die Kreuzkorrelation verwendet, diese aber als Faltung bezeichnet, weil sie leichter zu implementieren ist.<ref>{{Literatur |Autor=Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, Aaron Courville |Hrsg=MIT Press |Titel=Deep Learning |Datum= |Seiten=328–329 |Online=https://www.deeplearningbook.org/}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor= |url=https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.nn.Conv2d.html |titel=Conv2d |werk=Dokumentation PyTorch |hrsg= |datum= |abruf=2021-02-05}}</ref>

== Definition ==
Es gilt für [[Energiesignal]]e:

: <math>R_{xy}(\tau) = (x \star y)(\tau) = (x^*(-t) * y(t))(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x^*(t) \, y(t + \tau) \,\mathrm dt</math>

und für [[Leistungssignal]]e:

:<math>R_{xy}(\tau) = (x \star y)(\tau) = (x^*(-t) * y(t))(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x^*(t) \, y(t + \tau) \,\mathrm dt</math>

mit <math>x^*</math> als der [[Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Funktion von <math>x</math>, dem Operatorsymbol <math>\star</math> als Kurzschreibweise der Kreuzkorrelation und <math>*</math> als dem der [[Faltung (Mathematik)|Faltungsoperation]].

Analog wird die [[Zeitdiskretes Signal|diskrete]] Kreuzkorrelation, diese spielt im Bereich der diskreten Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle, mit der [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>[m]</math> und einer Verschiebung <math>n</math> festgelegt als:

: <math>R_{xy}[n]</math> = <math>(x \star y)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x^*[m]\ y[m+n]</math> (Energiesignale)
: <math>R_{xy}[n]</math> = <math>(x \star y)[n] = \lim_{M \to \infty} \frac{1}{2M + 1}\sum_{m=-M}^{M} x^*[m]\ y[m+n]</math> (Leistungssignale)

In der digitalen Signalverarbeitung wiederum ist eine endliche Mittelung mit Argumenten beginnend bei Index 0 auf Grund der Architektur von Rechnerregistern erforderlich, wovon es eine vor- und eine unvorgespannte Version gibt:

: <math> R_{xy}[m] :=
\begin{cases}
\ \;\, \frac{1}{N-|m|} \sum_{n=0}^{N-m-1} x[n]y[n+m]&\text{für } m \ge 0\\
\ \;\, \frac{1}{N-|m|} \sum_{n=-m}^{N-1} x[n]y[n+m] &\text{für } m < 0
\end{cases}
</math> (Vorspannversion)

: <math> R_{xy}[m] :=
\begin{cases}
\ \;\, \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-m-1} x[n]y[n+m]&\text{für } m \ge 0\\
\ \;\, \frac{1}{N} \sum_{n=-m}^{N-1} x[n]y[n+m] &\text{für } m < 0
\end{cases}
</math> (unvorgespannte Version)

Die Kreuzkorrelation ist mit der [[Kreuzkovarianz]] eng verwandt.

== Eigenschaften ==
[[Datei:Comparison convolution correlation de.svg|mini|hochkant=1.5|Zusammenhang zwischen Faltung, Kreuzkorrelation und Autokorrelation.]]
Für alle <math>\tau</math> gilt
: <math>R_{xy}(\tau) = R_{yx}(-\tau)</math>
sowie
:<math>\left| R_{xy}(\tau) \right| \leq \sqrt{R_{xx}(0)R_{yy}(0)} \leq \frac{1}{2} (R_{xx}(0)+ R_{yy}(0))</math>
und
: <math>\lim \limits_{\tau \to \pm \infty} R_{xy}(\tau)=0</math>
mit den [[Autokorrelation]]sfunktionen <math>R_{xx}(\tau)</math> und <math>R_{yy}(\tau)</math>.

Sie zeigt z. B. Spitzen bei Zeitverschiebungen, die der Signallaufzeit vom Messort des Signals <math>x(t)</math> zum Messort des Signals <math>y(t)</math> entsprechen. Auch [[Laufzeitmessung|Laufzeitunterschiede]] von einer Signalquelle zu beiden Messorten können auf diese Weise festgestellt werden. Die Kreuzkorrelationsfunktion eignet sich daher besonders zur Ermittlung von Übertragungswegen und zur Ortung von Quellen.

Rechentechnisch wird die Kreuzkorrelationsfunktion in der Regel über die inverse [[Fourier-Transformation]] des [[Kreuzleistungsspektrum]]s <math> S_{XY}(f) </math> ermittelt:
:<math> R_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S_{XY}(f) \, e^{\mathrm{i} 2 \pi f \tau} \,\mathrm df </math>

=== Verbindung mit der Kreuzkovarianz ===
Ist eines der Signale <math> x(t) </math> oder <math> y(t) </math> nullsymmetrisch, d. h. ihr Mittelwert über das Signal ist Null <math>( \bar{x}(t)=0 </math> oder <math> \bar{y}(t)=0 )</math>, ist die Kreuzkorrelation identisch mit der Kreuzkovarianz. Bekannte Vertreter der nullsymmetrischen Funktionen sind zum Beispiel die Sinus- und Kosinusfunktionen.

== Literatur ==
* {{BibISBN|9783835101760}}
* {{BibISBN|3-540-63443-6}}

== Weblinks ==
* {{Webarchiv |url=http://www.mpi-magdeburg.mpg.de/people/kre/uni_sysbio/web/Skripte/statistik_vorles.pdf |text=Kreuzkorrelation und Kombinatorik. |format=PDF; 201 kB |wayback=20120711061734}} mpi-magdeburg.mpg.de
* [https://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institut-fuer-mechanik-und-fluiddynamik-15832/Lehre/lehrveranstaltungen/fluid/MT/kreuzkorrelation.pdf Die Kreuzkorrelation.] tu-freiberg.de; abgerufen am 16. Juli 2018.
* [https://www.uni-muenster.de/Physik.AP/Veranstaltungen/F-Praktikum/anleitungen/Korrelationstechnik.pdf Korrelationstechnik.] uni-muenster.de; abgerufen am 16. Juli 2018.
* [https://www.db-thueringen.de/servlets/MCRFileNodeServlet/dbt_derivate_00016660/ilm1-2009000010.pdf Merkmalslistenbasierte Kreuzkorrelationsmethoden für die medizinische Bildverarbeitung.] (PDF; 24 MB) db-thueringen.de; abgerufen am 16. Juli 2018.
* [https://publikationen.bibliothek.kit.edu/1000025105 Ansätze zur datengetriebenen Formulierung von Strukturhypothesen für dynamische Systeme.] kit.edu; abgerufen am 15. Februar 2022.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Signalverarbeitung]]

Kreuzkorrelation - Versionsgeschichte

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