imported>GeorgMic: Näherungsformel für den Flächeninhalt erläutert.

2025-12-31T13:29:57Z

Näherungsformel für den Flächeninhalt erläutert.

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[[Datei:Circular segment.svg|mini|hochkant=1.25|Kreissegment]]
Ein '''Kreissegment''' (auch '''Kreis''abschnitt''''') ist in der [[Geometrie]] eine Teilfläche einer [[Kreis]]fläche, die von einem [[Kreisbogen]] und einer [[Sehne (Geometrie)|Kreissehne]] begrenzt wird (im Gegensatz zum von einem Kreisbogen und zwei [[Radius|Kreisradien]] begrenzten „[[Kreissektor]]/Kreis''ausschnitt''“).

== Bezeichnungen und Eigenschaften ==
'''Größen des Kreissegments:'''
* α = Mittelpunktswinkel
* b = Kreisbogen
* h = Segmenthöhe
* r = Radius
* s = Kreissehne
* A = Segmentfläche
* M = Kreismittelpunkt

Der [[Flächeninhalt]] eines Kreissegments lässt sich aus dem Kreisradius <math>r</math> und dem zugehörigen ''Mittelpunktswinkel'' <math>\alpha</math> berechnen. Man ermittelt dazu die Flächeninhalte des entsprechenden [[Kreissektor]]s und des in der Skizze dargestellten gleichschenkligen [[Dreieck]]s AMB. Ist der Mittelpunktswinkel kleiner als 180°, muss man diese Flächeninhalte [[Subtraktion|subtrahieren]] (Sektorfläche minus Dreiecksfläche). Bei einem Mittelpunktswinkel über 180° sind die Flächeninhalte zu [[Addition|addieren]]. Wenn der Mittelpunktswinkel 180° beträgt, ist das Kreissegment eine Halbkreisfläche und die Fläche des Dreiecks ist 0.

In den Formeln der folgenden Tabelle sind Winkel in [[Bogenmaß]] einzusetzen. Die Umrechnung eines Winkels von [[Grad (Winkel)|Grad-]] in Bogenmaß erfolgt durch Multiplikation mit dem Faktor <math>\pi/180^\circ</math> (siehe auch [[Radiant (Einheit)#Umrechnung zwischen Radiant und Grad|Radiant]]).

{| class="wikitable centered"
|-
!style="background:#C0C0FF" colspan="2"| Formeln zum Kreissegment (alle Winkel in [[Bogenmaß]])
|-
|align="left" | Flächeninhalt
| <math>A = \frac{r^2}2 \cdot \left(\alpha-\sin\alpha\right)</math> 
<math>A = \frac{r \cdot b}{2} - \frac{s \cdot (r - h)}{2}</math> 
<math>A = \frac {\frac{1}{2} \arctan \left(\frac{2h}{s}\right) \cdot \left(4h^2 + s^2\right)^2 + hs \cdot \left(4h^2 - s^2\right)}{16h^2}</math> 
<math>A = r^2 \cdot \arccos{\left(1-\frac{h}{r}\right)}-(r-h) \cdot \sqrt{2rh-h^2}</math> 
<math>A = r^2 \cdot \arcsin{\left(\frac{s}{2r}\right)}-\frac{s \cdot (r - h)}{2}</math> 
<math>A \approx \frac{2}{3}s\cdot h</math><ref>{{Literatur |Autor=[[Horst Stöcker]] |Titel=Handbook of mathematical formulas and computational science |Verlag=Springer |Datum=1998 |ISBN=0-387-94746-9}}</ref>
<math>\text{ mit } s \gg h \text{(es wird näherungsweise die Fläche einer Parabel verwendet)}</math>
|-
| [[Radius]]
| <math>r = \frac{4 h^2 + s^2}{8 h}</math> 
<math>r = \frac{s}{2 \cdot \sin \frac{\alpha}{2}}</math> 
<math>r = \frac{h}{1 - \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)}</math>
|-
| Kreissehne
| <math>s = 2 r \cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)</math> 
<math>s = \frac{2 h}{\tan \left(\frac{\alpha}{4}\right)} = 2 h \cdot \cot \left(\frac{\alpha}{4}\right)</math> 
<math>s=2\cdot\sqrt{r^2-(r-h)^2} = 2\sqrt{2rh-h^2}</math> 
<math> s = b \cdot \frac{\sin (\tfrac{\alpha}{2})}{\tfrac{\alpha}{2}} = b \cdot {\operatorname{si}\left(\frac{\alpha}{2}\right)} </math>, (<math>\operatorname{si}</math> = nichtnormierter [[Kardinalsinus]])
|-
| Segmenthöhe
| <math>h = r \cdot \left(1 - \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)</math> 
<math>h = r - \sqrt{ r^2 - \left(\frac{s}{2}\right)^2 } = r - \frac{1}{2}\sqrt{4r^2-s^2}</math> 
<math>h = \frac{s}{2} \cdot \tan \left(\frac{\alpha}{4}\right)</math>
|-
| [[Kreisbogen|Bogenlänge]]
| <math>b = r \cdot \alpha</math> 
<math>b = \frac{\alpha\cdot \left(4 h^2 + s^2\right)}{8 h}</math> 
<math>b = \frac{\arctan \left(\frac{2 h}{s}\right) \cdot \left(4 h^2 + s^2\right)}{2 h}</math> 
<math>b = 2 \cdot r \cdot \arcsin \left(\frac{s}{2 r}\right)</math> 
<math> b = s \cdot \frac{\tfrac{\alpha}{2}} {\sin(\tfrac{\alpha}{2})} = \frac{s}{\operatorname{si}\left(\frac{\alpha}{2}\right)} </math>, (<math>\operatorname{si}</math> = nichtnormierter [[Kardinalsinus]])
|-
| [[Kreiswinkel|Mittelpunktswinkel]]
| <math>\alpha = 2 \cdot \arctan \left(\frac{s}{2(r-h)}\right)</math> 
<math>\alpha = 2 \cdot \arccos \left(1 -\frac{h}{r}\right)</math> 
<math>\alpha = 2 \cdot \arcsin \left(\frac{s}{2 r}\right)</math> 
<math>\alpha = 2 \cdot \arcsin \left(\frac{4 h s}{4 h^2 + s^2}\right)</math>

<math>\alpha = 4 \cdot \arctan\left(\frac{2h}{s}\right)</math>
|-
| [[Geometrischer Schwerpunkt|Flächenschwerpunkt]]
| <math>x_s = \frac{4}{3} \cdot \frac{r \cdot \sin^3\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{ \alpha - \sin \alpha},\qquad y_s = 0</math> 
<math>x_s = \frac{s^3}{12 \cdot A},\qquad y_s = 0</math> 
Sonderfall Halbkreis: 
<math>x_s = \frac{4 r}{3 \pi},\qquad y_s = 0</math>
|}

== Sagitta ==
Die Segmenthöhe wird auch Sagitta ({{laS}} für „Pfeil“) genannt, und die dazugehörigen Formeln lassen sich mithilfe des [[Satz des Pythagoras|Satzes von Pythagoras]] herleiten. Die Strecke der Differenz von Radius und Segmenthöhe bildet mit der Hälfte der Kreissehne ein [[rechtwinkliges Dreieck]] mit dem Radius als [[Hypotenuse]]. So ergibt sich folgende Gleichung, die sich dann entsprechend umformen lässt: <math>r^2 = \left(\tfrac{s}{2}\right)^2 + (r-h)^2</math>.<ref>{{MathWorld|id=Sagitta|title=Sagitta}}</ref>

== Ähnliche geometrische Objekte ==
Das dreidimensionale Analogon ist ein [[Kugelsegment]].

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld |id=CircularSegment |title=Kreissegment}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreisgeometrie]]
[[Kategorie:Geometrische Figur]]

Kreissegment - Versionsgeschichte

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