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[[Datei:Animated involute of circle.gif|miniatur|rechts|Kreisevolvente]]
[[Datei:Involute wheel.gif|miniatur|Ineinander greifende Zahnradzähne]]
Eine '''Kreisevolvente''' ist eine ebene geometrische Kurve, eine spezielle [[Evolvente]] mit einem [[Kreis]] als [[Evolute]]. Sie hat erhebliche Bedeutung bei der [[Evolventenverzahnung]] im [[Maschinenbau]], wo sie als Zahnflanke von [[Zahnrad|Zahnrädern]] auftritt. Anschaulich ist sie die Bahn eines Fadenendes, wenn man den Faden gestrafft vom Umfang eines Kreises abwickelt.<ref>{{Toter Link |url=http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/spiralen3/Kreisevolvente.htm |text=''Kreisevolvente.''}}. In: ''mathe.tu-freiberg.de.''</ref>

== Eigenschaften ==

Die Kreisevolvente ist eine [[Spirale]] mit konstantem [[Archimedische Spirale#„Windungsabstand“|Windungsabstand]]. Diese Eigenschaft wird oft fälschlicherweise der [[Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] zugeschrieben. Die Kreisevolvente ist damit ihre eigene [[Parallelität (Geometrie)#Verwandte Begriffe|Parallelkurve]].

== Mathematische Darstellung ==

Die Parameterdarstellung der Kreisevolvente des [[Einheitskreis]]es, die bei <math>(1,0)</math> mit Anfangssteigung <math>\left.\tfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{(1,0)} = 0</math> startet, lautet mit <math>t \in \R_0^+</math>:

:<math>x(t) = \cos (t) + t \sin (t)</math>
:<math>y(t) = \sin (t) - t \cos (t)</math>

Dabei ist der [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] <math>t</math> die Länge des abgewickelten Stück Fadens, also die (abgewickelte) [[Bogenlänge]] auf dem zugrundeliegenden Einheitskreis. Für die Bogenlänge der konstruierten Evolvente gilt

:<math>s = \frac{1}{2}t^2</math>

und für ihre [[Krümmung]]

:<math>\kappa = \frac{1}{t}</math>,

womit der Parameter <math>t</math> auch gleichzeitig ihr [[Krümmungsradius]] ist. In Polarkoordinaten lautet ihre Darstellung:

:<math>r(t) = \sqrt{1+t^2}</math>
:<math>\varphi(t) = t - \arctan(t)</math>

Alle anderen geometrisch kongruenten Kreisevolventen gehen aus ihr durch Drehung um den [[Koordinatenursprung]] und Verschiebung hervor. Ferner lässt sich die Kurvendefinition auch auf alle <math>t < 0</math> natürlich fortsetzen, wobei alle Formeln zur Kurvengeometrie bis auf die der Bogenlänge gültig bleiben, die zu <math>s = \tfrac{\sgn(t)}{2}t^2</math> verallgemeinert wird. Geometrisch erhält die ursprüngliche Kurve einen weiteren Ast, der durch Spiegelung ihrer selbst an der ''x''-Achse erzeugt wird.

== Siehe auch ==

{{commonscat|Involute of circle|Kreisevolvente}}
* [[Involut-Funktion]]

== Literatur ==

* [[Mark Jakowlewitsch Wygodski]]: ''Höhere Mathematik griffbereit. Definitionen, Theoreme, Beispiele.'' Springer, 2013, S. 729–731.
* Joachim Erven, Dietrich Schwägerl: ''Mathematik für Ingenieure.'' Walter de Hruyter, 4. Auflage 2011, ISBN 978-3-486-70796-0, S. [https://books.google.de/books?id=l9nnBQAAQBAJ&pg=PA216 216–217.]

== Weblinks ==

* Nora Rebecca Thomas: {{Toter Link |url=https://www.blogs.uni-mainz.de/glk/files/2018/08/geometrische.pdf |text=''Geometrische Eigenschaften von Kurven.''}}. In: ''blogs.uni-mainz.de.'' Staatsexamensarbeit, Uni Mainz, 2010, S. 22–28.

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]
[[Kategorie:Zahnradtechnik]]
[[Kategorie:Getriebelehre]]
[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]

Kreisevolvente - Versionsgeschichte

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