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2023-11-28T08:16:08Z

Vorlagen-fix (MathWorld)

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[[Datei:Arc-geometry.svg|mini|{{Farblegende|#FF0000|Kreisbogen der Länge ''b''}}
{{Farblegende|#0000FF|Kreissehne der Länge ''l''}}{{Farblegende|#8f8|Mittelpunktswinkel <math>\alpha</math>}}
{{Farblegende|#000000|Radius der Länge ''r''}}]]

Legt man auf einem [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] zwei beliebige [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] fest und verbindet diese durch [[Strecke (Geometrie)|Strecken]] mit dem Mittelpunkt des Kreises, so stellen die beiden Teile der [[Kreisfläche]], die durch diese Strecken voneinander getrennt werden, [[Kreisausschnitt]]e (auch Kreissektor genannt) dar. Ein Kreisausschnitt wird also gleichsam von zwei [[Radius|Radien]] aus einem Kreis „herausgeschnitten“. Der zu einem Kreissektor gehörende Teil der [[Kreis]]linie wird als '''Kreisbogen''' bezeichnet, der Winkel zwischen den beiden Radien als ''[[Mittelpunktswinkel]]''.

== Berechnung ==
Die [[Länge (Mathematik)|Länge]] <math>b</math> eines Kreisbogens mit dem Mittelpunktswinkel <math>\alpha</math> im [[Gradmaß]] und dem Radius <math>r</math> ist

:<math>
\begin{align}
b & = 2\pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{\displaystyle 360^\circ} \\
&=\pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{\displaystyle 180^\circ}\\
\end{align}
</math>.

Der [[Flächeninhalt]] des entsprechenden Kreisausschnittes ist

: <math>A = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\alpha}{\displaystyle 360^\circ}</math>.

Gibt man den Mittelpunktswinkel <math>\alpha</math> im [[Bogenmaß]] an, so lauten die Formeln
: <math>b = r \cdot \alpha \qquad A = \frac{r^2 \cdot \alpha}{2} </math>.

Durch Einsetzen des Winkels <math>\alpha = 360^\circ</math> bzw. <math>\alpha = 2\pi</math> ergeben sich die bekannten Formeln für [[Kreisumfang|Umfang]] und [[Kreisfläche|Flächeninhalt]] des Vollkreises.

Die Länge <math>l</math> der [[Sehne (Geometrie)|Kreissehne]] erhält man über folgenden Zusammenhang aus dem Kreisbogen und dem Radius oder direkt aus dem Mittelpunktswinkel:
: <math>l = 2 \cdot r \cdot \sin\left(\frac{b}{2 \cdot r}\right) = 2 \cdot r \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)</math>

== Siehe auch ==
* [[Kreissegment]] ist die Teilfläche eines Kreises, die von einem Kreisbogen und einer Kreissehne begrenzt wird.
* [[Kugelsegment|Kugelkappe]] ist die Teilfläche einer Kugeloberfläche, die durch einen Kleinkreis (Breitenkreis) begrenzt wird.
* [[Streichinstrument]] Die Phonoliszt-Violina wird mit einem ringförmigen Kreisbogen (= Streichbogen) bespielt.

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld | id=Arc | title=Arc}}
* [http://www.in-dubio-pro-geo.de/?file=plasph/carc0 Online-Berechnung von Kreisbögen]

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

Kreisbogen - Versionsgeschichte

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