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2026-01-10T02:17:09Z

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In der [[Geometrie]] ist der '''Kreis des Apollonios''' (auch '''Kreis des Apollonius''' oder '''apollonischer Kreis''') ein spezieller [[geometrischer Ort]], nämlich die [[Menge (Mathematik)|Menge]] aller [[Punkt (Geometrie)|Punkte]], für die das [[Verhältnis (Mathematik)|Verhältnis]] der Entfernungen zu zwei vorgegebenen Punkten einen vorgegebenen Wert hat. Der Kreis des Apollonios ist nicht zu verwechseln mit dem [[Apollonisches Problem|apollonischen Problem]], einem Berührkreis-Problem. Namensgeber ist in beiden Fällen [[Apollonios von Perge]].

== Satz und Definition ==
[[Datei:Apolloniuskreis.svg|mini|hochkant=1.5|Kreis des Apollonios mit <math>T_iT_a</math> als Durchmesser]]

* Gegeben seien eine [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] <math>[AB]</math> und eine positive [[reelle Zahl]] <math>\lambda \ne 1</math>. Dann ist die Punktmenge<br /><math style="margin-left:2em">
k_A = \{X \mid \overline{XA} : \overline{XB} = \lambda\}
</math><br />ein Kreis, der als ''Kreis des Apollonios'' bezeichnet wird.<ref name="Herrmann"/><ref>Joachim Engel, Andreas Fest: ''Komplexe Zahlen und ebene Geometrie''. Walter de Gruyter, 2016, ISBN 9783110406887, S. [https://books.google.de/books?id=BZzUCwAAQBAJ&pg=PT40 40] </ref>

Zur Begründung der Kreiseigenschaft verwendet man den inneren und den äußeren [[Teilverhältnis|Teilungspunkt]] der Strecke <math>[AB]</math> im Verhältnis <math>\lambda</math>. Diese beiden Punkte (<math>T_i</math> und <math>T_a</math>) erfüllen die oben geforderte Bedingung und teilen die Strecke <math>[AB]</math> [[harmonische Teilung | harmonisch]]. Ist nun <math>X</math> ein beliebiger Punkt mit der Eigenschaft <math>\overline{XA} : \overline{XB} = \lambda</math>, so teilt die [[Winkelhalbierende]] von Winkel <math>AXB</math> die gegebene Strecke <math>[AB]</math> im Verhältnis der anliegenden Dreiecksseiten ([[Winkelhalbierendensatz (Dreieck)|Winkelhalbierendensatz]]), also im Verhältnis <math>\overline{XA} : \overline{XB} = \lambda</math>. Daher ist <math>T_i</math> der Schnittpunkt dieser Winkelhalbierenden mit <math>AB</math>. Anders ausgedrückt: <math>XT_i</math> ist Winkelhalbierende von <math>\angle AXB</math>. Entsprechend lässt sich zeigen, dass die Gerade <math>XT_a</math> den Nebenwinkel von <math>\angle AXB</math> halbiert. Da die Winkelhalbierenden von Nebenwinkeln zueinander senkrecht stehen, muss <math>X</math> auf dem [[Satz des Thales|Thaleskreis]] über <math>[T_i T_a]</math> liegen.

Umgekehrt erfüllt jeder Punkt <math>X</math> des genannten Thaleskreises die Bedingung <math>\overline{XA} : \overline{XB} = \lambda</math>.

Im speziellen Fall <math>\lambda = 1</math> ist die gesuchte Punktmenge die [[Mittelsenkrechte]] der Punkte A und B, das heißt der Apollonische Kreis entartet zu einer Geraden beziehungsweise besitzt einen unendlich großen Radius.

== Weitere Eigenschaften ==
[[Datei:Apollonian circles.svg|mini|hochkant=1.25|Apollonios-Kreise (blau) zu einer Strecke und zu ihnen orthogonale auf sich selbst invertierende Kreise durch die Endpunkte der Strecke (rot)]]
[[Datei:Apollonius-triangle-circles.svg|mini|hochkant=1.25|Die drei Apollonios-Kreise eines Dreiecks]]
* Der Radius des Apollonios-Kreises beträgt <math>r_A = \tfrac{\lambda}{|\lambda^2-1|} \overline{AB}</math>.
* Der durch <math>T_i</math> gehende Apollonioskreis für die Strecke <math>[AB]</math> ist der durch <math>T_i</math> gehende Inversionskreis, bezogen auf den die Endpunkte <math>A,B</math> zueinander invers sind.
* Wegen der Reziprozität der harmonischen Teilung – teilt ein Punktpaar ein anderes harmonisch, so ist es selbst von diesem harmonisch geteilt (im Verhältnis <math> \tfrac {\lambda + 1} {\lambda - 1} </math> statt <math>\lambda</math> ) – ist der Kreis über <math>[AB]</math> Apollonioskreis für die Strecke <math>[T_i T_a]</math>.
* Weil A und B bei Inversion am Apollonioskreis ineinander übergehen, wird jeder durch A und B gehende Kreis (rot im Bild) in sich selbst invertiert und schneidet den Apollonioskreis (blau) deshalb rechtwinklig, d. h. ihre Tangenten im Schnittpunkt stehen senkrecht aufeinander. Dies gilt insbesondere auch für den über <math>[AB]</math> geschlagenen Kreis und außerdem für alle Apollonioskreise mit A und B als Fixpunkten.
* Die drei Kreise des Apollonios (blau) eines Dreiecks (grau) schneiden sich im [[Isodynamischer Punkt|isodynamischen Punkt]] des entsprechenden Dreiecks. Ihre Mittelpunkte liegen auf einer Geraden (grün) und sie schneiden den Umkreis (rot) des Dreiecks senkrecht.<ref name="Johnson"/>

== Literatur ==
*Franz Lemmermeyer: ''Mathematik à la Carte: Quadratische Gleichungen mit Schnitten von Kegeln''. Springer, 2016, ISBN 9783662503416, S. [https://books.google.de/books?id=r3uQDAAAQBAJ&pg=PA98 98]
*[[Joachim Engel (Mathematiker)|Joachim Engel]], Andreas Fest: ''Komplexe Zahlen und ebene Geometrie''. Walter de Gruyter, 2016, ISBN 9783110406887, S. [https://books.google.de/books?id=BZzUCwAAQBAJ&pg=PT40 40]
*Nathan Altshiller: ''On the Circles of Apollonius''. The American Mathematical Monthly, Band 22, Nr. 8 (Okt., 1915), S. 261–263 ({{JSTOR|2691113}})

== Weblinks ==
{{Commonscat|Circles of Apollonius|Apolloniuskreise}}
* Arne Madincea: [https://madincea.herder-oberschule.de/aufg0009/harmonie.pdf Harmonische Teilung - Der Kreis des Apollonius] (PDF-Datei; 261 kB)
* [https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/ApolloniusCircle.shtml Apolloniuskreis] auf cut-the-knot.org
* David B. Surowski: [https://www.math.ksu.edu/~dbski/writings/further.pdf ''Advanced High-School Mathematics'']- englisches Skript, S. 31

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Herrmann">
{{Literatur
| Autor=Dietmar Herrmann
| Titel=Die antike Mathematik
| TitelErg=Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen
| Seiten=239
| Verlag=Springer Spektrum
| Ort=Berlin, Heidelberg
| ISBN=978-3-642-37611-5
| DOI=10.1007/978-3-642-37612-2
| Datum=2014
}}</ref>
<ref name="Johnson">
{{Literatur
| Autor=R. A. Johnson
| Titel=Advanced Euclidean Geometry
| TitelErg=An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle
| Verlag=Dover Publications
| Ort=New York
| Jahr=1960
| ISBN=978-0-486-15498-5
| Online=https://idoc.pub/documents/advanced-euclidean-geometry-roger-johnson-dover-1960pdf-546g10zqq7n8
| Seiten=294–297
}}</ref>
</references>

[[Kategorie:Kreis]]

Kreis des Apollonios - Versionsgeschichte

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