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Die '''Kramers-Moyal-Entwicklung''' ist in der [[Physik]] eine [[Taylor-Entwicklung]] einer [[Mastergleichung]], welche die Mastergleichung als [[Integro-Differentialgleichung]] in eine [[partielle Differentialgleichung]] umformt. Entwickelt wird dabei nach der Schrittgröße <math>\Delta x</math>:<ref>{{Literatur|Titel=Stochastic Processes: From Physics to Finance|Autor=Wolfgang Paul, Jörg Baschnagel|Verlag=Springer|Jahr=2013|ISBN=3319003275|Seiten=47|Online={{Google Buch|BuchID=OWANAAAAQBAJ|Seite=47}}}}</ref><ref>{{Literatur|Titel=Bewertung von Optionen unter der Coherent Market Hypothesis|Autor=Jochen Veith|Verlag=Springer|Jahr=2006|ISBN=3835004190|Seiten=28f|Online={{Google Buch|BuchID=zIg147rLtEMC|Seite=28}}}}</ref>

:<math>\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \frac{\partial^n}{\partial x^n}\Big[a_n(x) p(x,t)\Big]</math>
mit
:<math>a_n(x) = \int \limits_{-\infty}^{\infty} (\Delta x)^n W(x,\Delta x) \,\mathrm{d}(\Delta x)</math>
Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer vom Ort <math>x</math> abhängigen Aufenthaltswahrscheinlichkeit <math>p</math>. Dabei werden kontinuierlich verteilte Schrittgrößen in Raum <math>\Delta x=x-x'</math> und Zeit <math>\Delta t</math> betrachtet. <math>W(x,\Delta x):=W(x'|x)</math> ist die Übergangswahrscheinlichkeitsrate. Abbruch der Reihe in zweiter Ordnung ergibt die [[Fokker-Planck-Gleichung]].

Die Entwicklung ist nach [[Hendrik Anthony Kramers]] und [[José Enrique Moyal]] benannt.

Das [[Pawula-Theorem]] besagt, dass falls das dritte Glied der Entwicklung verschwindet, auch alle höheren Terme verschwinden. Falls die Entwicklung nicht mit dem dritten Glied abbricht, enthält sie unendlich viele Beiträge.<ref>The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications, Hannes Risken, Seite 70,
https://books.google.de/books?id=dXvpCAAAQBAJ&lpg=PA70&ots=1IZwvn5hYJ&dq=Pawula-Theorem&hl=de&pg=PA70#v=onepage&q=Pawula-Theorem&f=false</ref>

== Einzelnachweise ==
<references responsive />
[[Kategorie:Statistische Physik]]

Kramers-Moyal-Entwicklung - Versionsgeschichte

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