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2025-09-17T07:08:51Z

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In der [[Differentialgeometrie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], ist der '''Kotangentialraum''' ein [[Vektorraum]], der einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit <math>M</math> zugeordnet wird. Es ist der [[Dualraum]] des entsprechenden [[Tangentialraum]]s.

== Definition ==
Sei <math>M</math> eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] und <math>T_pM</math> ihr Tangentialraum am Punkt <math>p \in M</math>. Dann ist der Kotangentialraum definiert als der Dualraum von <math>T_pM</math>. Das heißt, der Kotangentialraum besteht aus allen [[Linearform]]en auf dem Tangentialraum <math>T_pM</math>.

== Alternative Definition ==
Im Folgenden wird ein anderer Zugang dargestellt, bei dem der Dualraum direkt definiert wird, ohne Bezugnahme auf den Tangentialraum.

Diesem Zugang liegt folgende Idee zugrunde. Man legt eine Kurve in die Mannigfaltigkeit und macht Aussagen darüber, wie sich Werte einer Funktion, die ebenfalls auf der Mannigfaltigkeit definiert ist, beim Durchlaufen der Kurve, speziell in der Umgebung eines Punktes p, verändern. Man betrachtet das Geschehen im Bildbereich einer Kartenabbildung.

Es sei <math>M</math> eine <math>n</math>-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter seien
<math>\Gamma_p</math>
die Menge aller glatten Kurven durch <math>p\in M</math>
:<math>c\colon (-\epsilon,\epsilon)\to M\,,\qquad c(0)=p</math>
und <math>C^\infty_p</math> die Menge aller glatten Funktionen, die in einer Umgebung <math>U_p</math> von <math>p</math> definiert sind:
:<math>f \colon U_p\to\R</math>.

Bezeichnet man mit <math>\sim_p</math> folgende Äquivalenzrelation auf <math>C_p^\infty</math>
:<math>f\sim_p g\qquad:\Leftrightarrow\qquad \exists U_p</math> Umgebung von <math>p</math> mit <math>f|U_p = g|U_p</math>,
dann ist der Faktorraum <math>\mathcal{F}_p:=C^\infty_p/\sim_p</math> der Vektorraum der Keime über <math>p</math>.
Über
:<math>\langle [f]_p,c\rangle:=\frac{\operatorname d}{\operatorname{d}t}\Big|_{t=0}f\circ c(t)</math>
wird dann eine formale Paarung <math>\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathcal{F}_p\times\Gamma_p\to\R</math> definiert, die in der ersten Komponente linear ist. Nun ist
:<math>\mathcal{N}_p:=\{[n]_p\in\mathcal{F}_p|\forall c\in\Gamma_p:\langle[n]_p,c\rangle=0\}</math>
ein [[Untervektorraum|linearer Unterraum]] von <math>\mathcal F_p</math>, genauer gesagt der Nullraum bzgl. <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> und
:<math>T^*_pM:=\mathcal{F}_p/\mathcal{N}_p</math>
ist der <math>n</math>-dimensionale Kotangentialraum im Punkt <math>p\in M</math>. Für den Kotangentialvektor <math>[[f]_p]</math> schreibt man auch <math>df_p</math>.

== Zusammenhang zum Tangentialraum ==
Mit der obigen Definition kann man auf <math>\Gamma_p</math> eine Äquivalenzrelation <math>\sim</math> wie folgt definieren:
:<math>\gamma_1\sim\gamma_2\qquad\Leftrightarrow\qquad
\forall df_p\in T^*_pM:\langle df_p,\gamma_1\rangle=\langle df_p,\gamma_2\rangle</math>
Der Faktorraum
<math>T_pM:=\Gamma_p/\sim</math>
beschreibt gerade den <math>n</math>-dimensionalen [[Tangentialraum#Geometrische Definition: Richtungsfelder von Kurven|Tangentialraum]].

Bilden nun <math>dx_1,\ldots,dx_n</math> eine Basis von <math>T^*_pM</math>, so kann man zu jedem Basisvektor einen Repräsentanten <math>x_i\in C_p^\infty</math> auswählen. <math>x=(x_1,\ldots,x_n) \colon M\to\R^n</math> ist eine differenzierbare Karte und für jedes <math>i=1,\ldots,n</math> kann man eine Kurve
:<math>\begin{matrix}
\gamma_i\colon&(-\epsilon;\epsilon)&\to& M\\
&t &\mapsto& x^{-1}(t\cdot e_i)
\end{matrix}</math>
definieren, wobei <math>e_i</math> der <math>i</math>-te Einheitsvektor im <math>\R^n</math> ist. Wegen
:<math>\langle dx_i,[\gamma_j]\rangle=\delta_{ij}</math>
sind <math>T_pM</math> und <math>T^*_pM</math> dual zueinander und man schreibt für <math>[\gamma_i]={dx_i}^*</math> auch <math>\tfrac\partial{\partial x_i}</math>.

== Rechtfertigung der Schreibweisen ==
Sei <math>M=\R^n</math>, <math>p\in\R^n</math>, <math>f \colon \R^n\to\R</math> eine beliebige Funktion und für <math>i=1,\ldots,n</math> die Kurven <math>\gamma_i\colon h\mapsto p+h\cdot e_i</math>, wobei <math>e_i</math> die kanonischen Basisvektoren sind. Dann ist in den obigen Schreibweisen:
:<math>\langle [[f]_p],[\gamma_i]\rangle=\frac{\operatorname d}{\operatorname{d}t}\Big|_{t=0}f\circ\gamma_i=
\lim_{h\to0}\frac{f(p+h\cdot e_i)-f(p)}{h}=\frac\partial{\partial x_i}f(p)</math>
Somit ist die Schreibweise <math>[\gamma_i]=\tfrac\partial{\partial x_i}</math> gerechtfertigt.

Weiter ist mit <math>T_pM=\R^n</math> die lineare Abbildung <math>\langle [[f]_p],\cdot\rangle \colon T_pM\to\R</math> gerade das [[Totales Differential|totale Differential]] <math>df(p)</math>. Somit ist also auch die Schreibweise <math>[[f]_p]=df_p</math> gerechtfertigt.

== Literatur ==
* John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.
* R. Abraham, [[Jerrold Marsden|Jerrold E. Marsden]], T. Ratiu: ''Manifolds, tensor analysis, and applications'' (= ''Applied mathematical sciences'' 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.

[[Kategorie:Vektorraum]]
[[Kategorie:Differentialtopologie]]
[[Kategorie:Symplektische Geometrie]]

Kotangentialraum - Versionsgeschichte

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