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2025-12-18T11:43:50Z

Beweis mittels des Satz des Ptolemäus

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Der '''Kosinussatz''' ({{enS|''law of cosines''}}, {{frS| ''loi des cosinus'' bzw. ''théorème d'Al-Kashi''}}) ist einer der fundamentalen [[Theorem|Lehrsätze]] der [[Geometrie]] und hier dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der [[Trigonometrie]] zugehörig. Er ist eng verwandt mit dem [[Satz des Pythagoras]].

Für [[Dreieck#Das allgemeine Dreieck|ebene Dreiecke]] ist der Kosinussatz einfach zu formulieren, da lediglich die Seitenlängen und eine Winkelfunktion benötigt werden. Für [[sphärische Trigonometrie|sphärische]] hingegen benötigt er sechs [[Winkelfunktion]]en. In beiden Fällen beinhaltet er drei [[Identitätsgleichung]]en, welche die Beziehungen zwischen den [[Länge (Mathematik)|Längen]] der [[Polygon#Definition und Bezeichnungen|Seiten]] von [[Dreieck]]en und den [[Kosinus]]werten ihrer [[Winkel]] darstellen.

== Geschichte ==
Die erste moderne Version des Kosinussatz für ebene Dreiecke wurde vom persischen Mathematiker und Astronomen [[Dschamschid Masʿud al-Kaschi]] 1427 in seinem Werk ''Miftah al-Hisab'' (dt. ''Schlüssel des Rechnens'') veröffentlicht. Der Satz wurde im 16. Jahrhundert von [[François Viète|François Viéte]] in der westlichen Welt popularisiert.

[[Datei:Triangle-labels.svg|mini|Bezeichnungen im [[Dreieck]]]]
== Kosinussatz für ebene Dreiecke ==
Für die drei Seiten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> eines [[Dreieck|Dreiecks]] sowie für den der Seite <math>c</math> gegenüberliegenden [[Winkel]] <math>\gamma</math> (d. h. den zwischen den Seiten <math>a</math> und <math>b</math> liegenden Winkel) gilt
:<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos\gamma</math>.
Entsprechende Gleichungen erhält man mit Hinblick auf die den Seiten <math>a</math> und <math>b</math> gegenüberliegenden Winkel <math>\alpha</math> bzw. <math>\beta</math>:
:<math>\begin{align}
a^2 &= b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos\alpha \\
b^2 &= a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos\beta
\end{align}</math>

== Berechnungen in Dreiecken mit dem Kosinussatz ==
Die [[Kongruenzsatz|Kongruenzsätze]] SSS und SWS besagen, dass ein Dreieck durch die Vorgabe von drei Seiten oder von zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel vollständig bestimmt ist. Der Kosinussatz erlaubt es in diesen Fällen, aus den drei gegebenen Stücken ein viertes Stück (einen Winkel im Fall SSS bzw. die dritte Seite im Fall SWS) zu berechnen. Wenn man anschließend auch die übrigen Winkel eines Dreiecks ermitteln möchte, kann man wahlweise nochmal den Kosinussatz (mit auf den gesuchten Winkel angepassten Seitenbezeichnungen) oder den [[Sinussatz]] anwenden. Den letzten Winkel berechnet man am zweckmäßigsten über die [[Winkelsumme]] von 180°.

=== SWS-Fall ===
[[Datei:triangle-with-an-unknown-angle-or-side.svg|mini|Anwendung des Kosinussatz: SWS-Fall (oben) und SSS-Fall (unten)]]
Im SWS-Fall wird die Gleichung des Kosinussatzes durch Wurzelziehen nach der unbekannten Seitenlänge aufgelöst. Sind etwa die Seiten <math>a</math> und <math>b</math> sowie der der dazwischen liegende Winkel <math>\gamma</math> gegeben, so erhält man die fehlende Seite <math>c</math> als

:<math>c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos\gamma}</math>.

=== SSS-Fall ===
Im SSS-Fall wird die Gleichung des Kosinussatzes zunächst nach dem Kosinus des Winkels aufgelöst. Ist etwa der Winkel <math>\gamma</math> gesucht, so führt dies auf die Gleichung
:<math> \cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>.
Hieraus erhält man den Winkel <math>\gamma</math> mithilfe des [[Arkussinus und Arkuskosinus|Arkuskosinus]] als
:<math>\gamma = \arccos\left({\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 \cdot a \cdot b}}\right) </math>.

== Beweise ==
=== Elementargeometrischer Beweis ===
Im folgenden [[Beweis (Mathematik)|Beweis]] wird <math>\gamma < 90^\circ</math> vorausgesetzt. Für <math>\gamma > 90^\circ</math> muss der Beweis geringfügig modifiziert werden. Für <math>\gamma = 90^\circ</math> ergibt sich der Kosinussatz direkt aus dem [[Satz des Pythagoras]].

[[Datei:Triangle-law-of-cosines.svg|zentriert|500px|Dreieck]]

In den Teildreiecken soll der [[Satz des Pythagoras]] angewandt werden, um einen Rechenausdruck für <math>c^2</math> zu finden. Dazu benötigt man die [[Quadrat (Arithmetik)|Quadrate]] der [[Kathete]]nlängen dieses Teildreiecks:
:<math>h^2 \,= b^2 - e^2</math> ([[Satz des Pythagoras]] für das rechte Teildreieck)
:<math>d^2 = (a-e)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot e + e^2</math> ([[binomische Formel]])
Nach Pythagoras gilt für das linke Teildreieck:
:<math>c^2 \,= h^2 + d^2</math>
Es müssen also die beiden oben gefundenen Rechenausdrücke addiert werden:
:<math>c^2 = b^2 - e^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot e + e^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot e</math>
Zusätzlich gilt
:<math>\cos \gamma = \frac{e}{b} \quad</math>bzw.<math>\quad e = b \cdot \cos\gamma</math>.
Einsetzen dieses Zwischenergebnisses in die Gleichung für <math>c^2</math> ergibt die Behauptung:
:<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma</math>

=== Trigonometrischer Beweis ===
==== Variante 1 ====
[[Datei:Triangle-with-cosines.svg|mini|''Figur 1'']]
Zeichnet man das [[Lot (Mathematik)|Lot]] auf der Seite <math>c</math> ein ''(Figur 1)'', dann wird diese in zwei Abschnitte geteilt und es gilt:

:<math>c = a \cdot \cos \beta + b \cdot \cos \alpha</math>

[[Multiplikation]] mit <math>c</math> ergibt

:<math>c^2 = a \cdot c \cdot \cos \beta + b \cdot c \cdot \cos \alpha</math>

Analog erhält man für die beiden anderen Seiten die [[Gleichung]]en

:<math>a^2 = a \cdot c \cdot \cos \beta + a \cdot b \cdot \cos \gamma</math>
:<math>b^2 = b \cdot c \cdot \cos \alpha + a \cdot b \cdot \cos \gamma</math>

Addiert man diese beiden Gleichungen, dann folgt daraus

:<math>a^2 + b^2 = a \cdot c \cdot \cos \beta + b \cdot c \cdot \cos \alpha + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma</math>
:<math>a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma = a \cdot c \cdot \cos \beta + b \cdot c \cdot \cos \alpha</math>

Weil die rechte Seite der letzten Gleichung und die rechte Seite von <math>c^2 = a \cdot c \cdot \cos \beta + b \cdot c \cdot \cos \alpha</math> übereinstimmen, kann man die beiden linken Seiten gleichsetzen:

:<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma</math>

==== Variante 2 ====
[[Datei:Kosinussatz Beweisfigur.svg|mini|''Figur 2'']]
Hier ist der Rechenaufwand geringer, da die benötigten Informationen großenteils in die Beweisfigur ''(Figur 2)'' verlagert sind.

Nach dem [[Sehnensatz]] ergibt sich folgende Äquivalenzkette:<ref>{{Literatur |Autor=Roger B. Nelsen |Titel=Beweise ohne Worte |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2016 |ISBN=978-3-662-50330-0 |Seiten=41}}</ref>
:<math>\begin{align}
&\,\left(2 \cdot a \cdot \cos \gamma - b\right) \cdot b =\, (a - c) \cdot (a + c)\\ \Leftrightarrow &\,2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma - b^2 =\, a^2 - c^2\\
\Leftrightarrow &\, c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma
\end{align}
</math>

=== Beweis mit dem Satz des Ptolemäus ===
[[Datei:Ptolemy cos.svg|mini|''Figur 3'']]
Das [[Dreieck]] <math>ABC</math> mit den Seitenlängen <math>|AB| = c</math>, <math>|BC| = a</math> und <math>|CA| = b</math> wird seinem [[Umkreis]] einbeschrieben ''(Figur 3)''. Wird das Dreieck <math>ABC</math> an der [[Mittelsenkrechte|Mittelsenkrechten]] zu <math>AB</math> [[Spiegelung (Geometrie)|gespiegelt]], dann ist das gespiegelte Dreieck <math>ABD</math> [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]] zum Dreieck <math>ABC</math> und hat denselben Umkreis, denn der [[Umkreismittelpunkt]] liegt auf der Mittelsenkrechten. Der Punkt <math>D</math> liegt also auch auf diesem Umkreis. Weil die Dreiecke <math>ABC</math> und <math>ABD</math> kongruent sind, gilt <math>|DA| = |BC| = a</math> und '''<math>|BD| = |CA| = b</math>'''. Ist '''<math>E</math>''' der [[Lotfußpunkt]] von <math>D</math> auf die Seite <math>AB</math> und '''<math>F</math>''' der Lotfußpunkt von <math>C</math> auf die Seite <math>AB</math>, dann sind die [[Höhe (Geometrie)|Höhen]] <math>DE</math> und <math>CF</math> gleich lang und die [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecke]] <math>AED</math> und <math>CFB</math> sind nach dem [[Kongruenzsatz ssw|Kongruenzsatz SSW]] kongruent. Es gilt also '''<math>|BF| = |AE|</math>'''. Daraus folgt

: <math>\begin{align}
|BF| &= |AE| = |BC| \cdot \cos\beta = a \cdot \cos\beta \\
\Leftrightarrow |CD| &= |EF| = |AB| - |AE| - |BF| = |AB| - 2 \cdot |BF| = c - 2 \cdot a \cdot \cos\beta \\
\Leftrightarrow |CD| &= c - 2 \cdot a \cdot \cos\beta \\
\end{align}</math>

Die Punkte <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>D</math> bilden ein Sehnenviereck zum gegebenen [[Umkreis]]. Nun folgt der Kosinussatz aus dem [[Satz des Ptolemäus]] für das [[Sehnenviereck]] <math>ABCD</math>:

: <math>\begin{align}
|AC| \cdot |BD| &= |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |DA| \\
\Leftrightarrow \quad \quad \quad \quad b^2 &= c \cdot (c - 2 \cdot a \cdot \cos\beta) + a^2 \\
b^2 &= a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos\beta \\
\end{align}</math>

=== Beweis mittels Vektorrechnung ===
[[Datei:Kosinussatz vektorbeweis2 inkscape.svg|mini|hochkant=1|<math>\vec{a} = \overrightarrow{CB}, \quad -\vec{b} = \overrightarrow{AC}, \quad \vec{c} = \overrightarrow{AB}</math><math>\vec{c}=-\vec{b}+\vec{a} </math>]]
Für ein Dreieck <math>ABC</math> mit Winkel <math>\gamma</math> in <math>C</math> definiert man die folgenden Vektoren:
:<math>\vec{a} =\overrightarrow{CB}, \quad \vec{b} = \overrightarrow{CA}, \quad \vec{c} = \overrightarrow{AB}</math>.
Damit gilt für die drei Vektoren die Beziehung <math>\vec{c}=-\vec{b}+\vec{a} </math> und für die Seitenlängen des Dreieck gilt:
:<math>a = |\vec a|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}, \quad b = |\vec b| = \sqrt{\vec{b}\cdot\vec{b}}, \quad c = |\vec c|=\sqrt{\vec{c}\cdot\vec{c}}</math>
Mit den Rechenregeln für das [[Skalarprodukt]] und seiner geometrischen Definition erhält man dann:<ref>{{Literatur |Autor=Steffen Goebbels, Stefan Ritter |Titel=Mathematik verstehen und anwenden |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-57393-8 |Seiten=439}}</ref>
:<math>\begin{align}
c^2 &= \vec{c} \cdot \vec{c} =(-\vec{b}+\vec{a}) \cdot (-\vec{b}+\vec{a}) \\
&=\vec{b}\cdot\vec{b}-\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{a}\\
&= \vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot\vec{b} \\
&=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma)
\end{align}</math>

== Beziehung zu anderen Sätzen der Geometrie ==

=== Beziehung zum Satz des Pythagoras ===
Für <math>\textstyle \gamma = 90^{\circ}</math> handelt es sich um ein [[rechtwinkliges Dreieck]] und der Kosinussatzes liefert wegen <math>\cos 90^\circ = 0</math> die Gleichung
:<math>c^2 = a^2 + b^2</math>,
also den Satz des Pythagoras. Der Satz des Pythagoras stellt somit einen Spezialfall des Kosinussatz dar bzw. der Kosinussatz eine Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras, weshalb man ihn auch den ''verallgemeinerten Satz des Pythagoras'' nennt.<ref>{{Literatur |Autor=Alexander Witting |Titel=Einführung in die Trigonometrie |Datum= |Seiten=35}}</ref> Andererseits folgt der Kosinussatz aber auch aus dem Satz des Pythagoras (siehe Beweis [[#Elementargeometrischer Beweis|unten]]); somit sind der Kosinussatz und der Satz des Pythagoras (in jeder [[Absolute Geometrie|absoluten Geometrie]]) äquivalent zueinander.

=== Beziehung zum Projektionssatz ===
In jedem ebenen Dreieck gelten für die Seiten und Winkel die Beziehungen

:<math>\begin{align}
a &= b \cdot \cos\gamma + c \cdot \cos\beta, \\
b &= c \cdot \cos\alpha + a \cdot \cos\gamma, \\
c &= a \cdot \cos\beta + b \cdot \cos\alpha,
\end{align}</math>

die unter dem Begriff ''[[Formelsammlung Trigonometrie#Projektionssatz|Projektionssatz]]'' zusammengefasst werden.<ref name="BRON-SEM-1">{{Literatur |Autor=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Datum=2007 |Seiten=146}}</ref> Aus diesen drei Gleichungen folgen die drei Gleichungen des Kosinussatzes.<ref>{{Literatur |Autor=Alexander Witting |Titel=Einführung in die Trigonometrie |Datum= |Seiten=34}}</ref> Im Rahmen der [[Trigonometrie]] der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] folgen umgekehrt die Gleichungen des Projektionssatzes auch aus den Gleichungen des Kosinussatzes, so dass sie gleichwertig zu letzteren sind.<ref name="HG-FR">{{Literatur |Autor=[[Helmuth Gericke]], F. Raith |Hrsg=[[Heinrich Behnke]] et al. |Titel=Vektoren und Trigonometrie |Sammelwerk=Grundzüge der Mathematik. Band II. Geometrie |Verlag=Vandenhoeck & Ruprecht |Ort=Göttingen |Datum=1960 |Seiten=266 ff.}}</ref><ref name="HL">{{Literatur |Autor=[[Hanfried Lenz]] |Titel=Grundlagen der Elementarmathematik |Datum=1976 |Seiten=236}}</ref>

== Kosinussatz für Kugeldreiecke ==
Beim [[Sphärische Trigonometrie|sphärischen]] Kosinussatz für [[Kugeldreieck|Kugeldreiecke]] ist die Länge der Dreiecksseiten im [[Winkelmaß]] anzugeben, weshalb statt ''einer'' [[Winkelfunktion]] derer ''sechs'' auftreten. Das Analogon zum ebenen Satz lautet daher
:<math>\cos c = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \cdot \cos\gamma</math>,
wobei die Umkehr des Vorzeichens zu beachten ist. Diesem '''Seiten-Kosinussatz''' (hier für <math>c</math>, analog für die Seiten <math>a</math> und <math>b</math>)
steht der '''Winkel-Kosinussatz''' gegenüber:
:<math>\cos\gamma = -\cos\alpha \cdot \cos\beta + \sin\alpha \cdot \sin\beta \cdot \cos c</math>,
worin das ''erste'' Vorzeichen negativ ist.

== Verallgemeinerung ==
[[Datei:Kosinussatz vektorbeweis3 inkscape.svg|mini|hochkant=1|<math>c=-b+a=a-b </math>]]
Mit [[Vektor|Vektoren]] in reellen [[Skalarproduktraum|Skalarprodukträumen]], also [[Vektorraum|Vektorräumen]] <math>V</math> mit [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math>, kann auch der Kosinussatz leicht verallgemeinert werden. Bezeichnet

:<math>\| a \| = \sqrt{ \langle a, a \rangle }</math>

die [[Skalarproduktnorm]], also die Länge eines Vektors <math>a \in V</math> und <math>\theta_{a,b}</math> mit

:<math>\cos \theta_{a,b}=\frac{\langle a, b \rangle}{\| a \| \cdot \| b \| }</math>

den [[Winkel]] zwischen den beiden Vektoren <math>a,b \in V</math>, dann gilt für die [[Norm (Mathematik)|Norm]] des Vektors <math>c = a - b</math>:

:<math>\begin{align}
\| c \|^2 & = \langle a - b, a - b \rangle \\
& = \langle a, a \rangle - \langle a, b \rangle - \langle b, a \rangle + \langle b, b \rangle \\
& = \| a \|^2 + \| b \|^2 - 2 \cdot \langle a, b \rangle \\
& = \| a \|^2 + \| b \|^2 - 2 \cdot \| a \| \cdot \| b \| \cos \theta_{a,b}
\end{align}</math>

== Siehe auch ==
* [[Dschamschid Masʿud al-Kaschi]]
* [[Formelsammlung Trigonometrie]]
* [[Sphärische Trigonometrie#Seiten-Kosinussatz|Geometrie auf der Kugeloberfläche]]
* [[Sinussatz]]
* [[Tangenssatz]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Ilka Agricola]], [[Thomas Friedrich (Mathematiker)|Thomas Friedrich]]
|Titel=Elementargeometrie
|TitelErg=Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht
|Auflage=4., überarbeitete
|Verlag=[[Springer Spektrum]]
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2015
|ISBN=978-3-658-06730-4
|DOI=10.1007/978-3-658-06731-1}}
* {{Literatur
|Hrsg=[[Heinrich Behnke]], [[Friedrich Bachmann (Mathematiker)|Friedrich Bachmann]], [[Kuno Fladt]], [[Wilhelm Süss]]
|Titel=Grundzüge der Mathematik
|TitelErg=Band II. Geometrie
|Verlag=[[Vandenhoeck & Ruprecht]]
|Ort=Göttingen
|Datum=1960}}
* {{Literatur
|Hrsg=[[Ilja Nikolajewitsch Bronstein|I. N. Bronstein]], [[K. A. Semendjajev]], G. Musiol, H. Mühlig
|Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]]
|Auflage=7., vollständig überarbeitete und ergänzte
|Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]]
|Ort=Frankfurt am Main
|Datum=2008
|ISBN=978-3-8171-2007-9}}
* {{Literatur
|Herausgeber=Fachredaktion des [[Bibliographisches Institut|Bibliographischen Instituts]]
|Titel=Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis
|TitelErg=Bearbeitet von Prof. Dr. [[Harald Scheid]]
|Auflage=4.
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim, Wien, Zürich
|Datum=1985
|Seiten=116,515,568,622}}
* {{Literatur
|Autor=[[Hanfried Lenz]]
|Titel=Grundlagen der Elementarmathematik
|Auflage=3., überarbeitete
|Verlag=[[Hanser Verlag]]
|Ort=München (u. a.)
|Datum=1976
|ISBN=3-446-12160-9}}
* {{Literatur
|Hrsg=Manfred Leppig
|Titel=Lernstufen Mathematik
|Auflage=1.
|Verlag=Girardet
|Ort=Essen
|Datum=1981
|ISBN=3-7736-2005-5
|Seiten=192–193}}
* {{Literatur
|Autor=[[Alexander Witting]]
|Titel=Einführung in die Trigonometrie
|Reihe=Mathematisch-physikalische Bibliothek
|BandReihe=43
|Auflage=1.
|Verlag=Vieweg
|Datum=1921
|ISBN=3-663-15468-8
|Seiten=34–40}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Geometrie: Trigonometrie: Trignometriesätze: Kosinussatz}}
{{Commonscat|Law of cosines}}
* [https://www.arndt-bruenner.de/mathe/10/kosinussatz.htm Kosinussatz] – Illustration und Beweis auf www.arndt-bruenner.de
* [https://www.youtube.com/watch?v=dhRQLw5iqJE Herleitung des Kosinussatzes sowie Anwendung] (Video)
* [https://proofwiki.org/wiki/Law_of_Cosines Law of Cosines] – 2 Beweise auf proofwiki.org (englisch)
* {{MathWorld|id=LawofCosines|title=Law of Cosines}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Trigonometrie]]
[[Kategorie:Satz (Geometrie)]]

Kosinussatz - Versionsgeschichte

imported>Wfstb: /* Beweis mittels des Satz des Ptolemäus */