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2022-08-15T16:32:00Z

Anwendung

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Bei der '''Korowkin-Approximation''' handelt es sich um [[Mathematik|mathematische]] [[Grenzwert (Folge)|Konvergenzaussagen]], in denen die [[Approximation]] von Funktionen durch gewisse Folgen von Funktionen untersucht wird.
So werden in einer Anwendung (s. u.) stetige Funktionen durch Polynome approximiert.
Die Besonderheit in der Korowkin-Approximation besteht darin, dass man zu Konvergenzaussagen für ganze
Approximationsverfahren kommt, indem man die Konvergenz des Verfahrens nur an ''endlich'' vielen Funktionen prüft.
Der Ausgangspunkt ist ein Satz von [[Pawel Petrowitsch Korowkin]] aus dem Jahre 1953.

== Satz von Korowkin ==

Im folgenden Satz sei <math>C[a,b]</math> der Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall
<math>[a,b]</math>.
Ferner stehe <math>x^k</math> für die Einschränkung der Funktion <math>x\mapsto x^k</math> auf <math>[a,b]</math>.
Für <math>k=0</math> ist das die konstante Funktion mit dem Wert 1, für <math>k=1</math> erhält man die identische
Funktion <math>id_{[a,b]}</math>, für <math>k=2</math> hat man die Einschränkung der [[Quadratfunktion]] auf
<math>[a,b]</math>.
Der Satz von Korowkin lautet wie folgt:

Ist <math>(P_n)_{n\in{\mathbb N}}</math> eine Folge von [[positiver Operator|positiven]] [[Linearer Operator|linearen
Operatoren]] <math>C[a,b]\rightarrow C[a,b]</math> und ist <math>P_n(x^k)\, \stackrel{n}{\rightarrow}\, x^k</math>
[[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] auf <math>[a,b]</math> für <math>k=0,1,2</math>, so ist <math>P_n(f)\, \stackrel{n}{\rightarrow}\, f</math>
gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> für alle <math>f\in C[a,b]</math>.

Fasst man die Folge <math>(P_n)_n</math> als ein Approximationsverfahren auf, so muss man die Konvergenz des Verfahrens
im Sinne obigen Satzes nur für die drei Funktionen <math>x^k,\, k=0,1,2</math>, nachweisen. Es folgt dann die Konvergenz des Verfahrens für alle Funktionen.

== Anwendung ==

Zur Verdeutlichung soll hier die wohl bekannteste Anwendung wiedergegeben werden, eine Herleitung des
[[Satz von Stone-Weierstraß|weierstraßschen Approximationssatzes]]:
Für <math>f\in C[0,1]</math> sei <math>B_n(f)</math> das <math>n</math>-te [[Bernsteinpolynom]] von <math>f</math>, d. h.

<math>B_n(f)(t) = \sum_{i=0}^n{n \choose i} f\left(\frac{i}{n}\right)\, t^i (1-t)^{n-i}, \,\, t\in[0,1]</math>.

Dann ist <math>(B_n)_n</math> eine Folge positiver linearer Operatoren.
Die Konvergenz <math>B_n(x^k)\,\stackrel{n}{\rightarrow} \,x^k</math> für <math>k=0,1,2</math> kann durch sehr elementare
Umformungen an den auftretenden Summen gezeigt werden.
Der Satz von Korowkin liefert dann, dass <math>B_n(f)\,\stackrel{n}{\rightarrow}\, f</math> für alle stetigen Funktionen <math>f</math> gleichmäßig auf <math>[0,1]</math>.
Das bedeutet also, dass jede stetige Funktion auf [0,1] gleichmäßig durch Polynome approximiert werden kann, d. h., man
erhält so eine komfortable Herleitung des weierstraßschen Approximationssatzes.
Diese Argumentation lässt sich leicht auf das allgemeinere Intervall <math>[a,b]</math> ausdehnen.

== Korowkin-Approximation ==

Die Erweiterungen des Satzes von Korowkin auf allgemeinere Situationen bilden die sogenannte ''Korowkin-Approximationstheorie'',
die sich auf [[Funktionalanalysis|funktionalanalytische]] Methoden stützt.
Man geht darin der folgenden Frage nach:
In welchen Situationen kann man auf Konvergenzaussagen der Form <math>P_n(f)\,\stackrel{n}{\rightarrow}\, f</math> schließen, indem man die
Konvergenz für nur ''endlich'' viele der Funktionen <math>f</math> nachweisen muss?

Dabei kann man den Raum <math>C[a,b]</math> einmal als Prototyp einer [[Banachalgebra]] ansehen und in diesem Kontext
zu allgemeineren Konvergenzaussagen kommen, oder man versucht <math>C[a,b]</math> durch allgemeinere [[geordneter Vektorraum|geordnete Vektorräume]] zu ersetzen.
So gilt z. B. folgender Satz in [[Lp-Raum|L<sup>p</sup>-Räumen]], <math>1\le p < \infty</math>:

Ist <math>(P_n)_n</math> eine Folge positiver linearer Operatoren <math>L^p[1,\infty) \rightarrow L^p[1,\infty)</math> und gilt <math>\|P_n(f)-f\|_p \,\stackrel{n}{\rightarrow}\, 0</math> für alle <math>f\in\{x^{-\lambda_1},x^{-\lambda_2}, x^{-\lambda_3} \} </math>, wobei <math>\textstyle \frac{1}{p} < \lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3</math>,
so folgt bereits <math>\|P_n(f)-f\|_p\, \stackrel{n}{\rightarrow} \,0</math> für alle <math>f\in L^p[1,\infty)</math>.

In den bisher betrachteten Beispielen hatte man Konvergenzaussagen der Art <math>P_n(f)\rightarrow f</math> für alle <math>f</math> aus einem geeigneten Raum <math>X</math>, d. h. <math>P_n \rightarrow \mathrm{id}_X</math> punktweise auf <math>X</math>.
Weitere Verallgemeinerungen erhält man, wenn man den id-Operator durch andere Operatoren ersetzt, also Konvergenzaussagen der Art <math>P_n \rightarrow S</math> ''punktweise'' untersucht.
Schließlich kann man von den Operatoren <math>X\rightarrow X</math> auf Operatoren von <math>X</math> in andere Räume verallgemeinern, z. B. auf [[Funktional]]e <math>X\rightarrow {\mathbb R}</math>.
Einen guten Überblick liefert das unten angegebene Buch von Altomare und Campiti.

== Literatur ==

* P. P. Korovkin: ''Über die Konvergenz positiver linearer Operatoren im Raum stetiger Funktionen''. Dokl. Akad. Nauk. SSSR, Band 90, 1953, Seiten 961–964 (russisch).
* F. Altomare, M. Campiti: ''Korovkin-type Approximation Theory and its Applications.'' de Gruyter Studies in Mathematics, Band 17, 1994, ISBN 978-3-11-014178-8.

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Korowkin-Approximation - Versionsgeschichte

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