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[[Datei:Convex polygon illustration1.svg|mini|Eine konvexe Menge]]
[[Datei:Convex polygon illustration2.svg|mini|Eine nichtkonvexe Menge]]

In der [[Mathematik]] heißt eine [[geometrische Figur]] oder allgemeiner eine [[Teilmenge]] eines [[Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] '''konvex''', wenn für je zwei beliebige Punkte, die zur Menge gehören, auch stets deren Verbindungs[[Strecke (Geometrie)|strecke]] ganz in der Menge liegt. Dies garantiert, dass die Menge an keiner Stelle eine ([[Krümmung|konkave]]) Einbuchtung hat.

== Geschichte und Anwendung ==
Die [[Konvexgeometrie|Theorie der konvexen Mengen]] begründete [[Hermann Minkowski]] in seinem Werk ''Geometrie der Zahlen'', Leipzig 1910. Anwendung finden konvexe Mengen z. B. in der [[Konvexe Optimierung|konvexen Optimierung]] oder der [[Computeranimation]], wo [[Polytop (Geometrie)#Konvexe Polytope|konvexe Polytope]] in verschiedener Hinsicht einfacher zu handhaben sind als Nichtkonvexe.

== Definition für Vektorräume ==
Eine Teilmenge <math>M</math> eines [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] [[Vektorraum]]s <math>V</math> heißt ''konvex'', wenn für alle <math>a,b\in M</math> und für alle <math>\lambda \in \R</math> mit <math>0\leq\lambda\leq1</math> stets gilt:

:<math>\lambda a+(1-\lambda)b\in M.</math>

Diese Definition basiert auf der [[Parameterdarstellung]] der Verbindungsstrecke zwischen <math>a</math> und <math>b</math>:

:<math>\overline{ab} := \{ \lambda a+(1-\lambda)b\mid\lambda \in \R,0\leq\lambda\leq1\}.</math>

Tatsächlich schließt obige Definition auch Objekte mit geradlinigen Rändern wie [[Quadrat (Geometrie)|Quadrate]] mit ein, die man umgangssprachlich nicht unbedingt als [[Krümmung|konvex]] bezeichnen würde.

== Beispiele ==
[[Datei:KonkaveFiguren.png|mini|Beispiele für nichtkonvexe Figuren der Ebene]]

* Jeder Vektorraum, der <math>\R</math> enthält, ist konvex, ebenso [[Halbebene]]n und [[Halbraum|Halbräume]].
* Beispiel-Teilmengen des anschaulichen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]]:
** Die [[leere Menge]] und jede einelementige Menge sind konvex.
** [[Endliche Menge]]n sind genau dann konvex, wenn sie höchstens ein Element enthalten.
** [[Strecke (Geometrie)|Strecken]] und [[Gerade (Geometrie)|Geraden]] sind konvexe Mengen.
** Jede [[Dreiecksfläche]] und alle einfachen [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen Polygonflächen]] sind konvex.
** [[Kreis (Geometrie)|Kreisscheiben]] und [[Kugel]]n sind konvex, sogar streng konvex.
** Unter den [[Viereck]]en sind z. B. die [[Parallelogramm]]e konvex, während es [[Trapez (Mathematik)|Trapeze]] und [[Drachenviereck]]e gibt, die nichtkonvex sind, wie das ''verschränkte Trapez'' oder das [[Pfeilviereck]].
** [[Würfel (Geometrie)|Würfel]], [[Platonische Körper]] und [[Parallelepiped|Spate]] sind konvex.
** Die Teilmenge die über- bzw. unterhalb des [[Funktionsgraph|Graphen]] einer [[Konvexe und konkave Funktionen|konvexen bzw. konkaven Funktion]] liegt, ist konvex.
** Ein [[Torus]] ist nicht konvex.
** Der [[Rand (Topologie)|topologische Rand]] einer konvexen Menge ist im Allgemeinen nichtkonvex.

== Eigenschaften ==
* Jede konvexe Menge ist [[Sterngebiet|sternförmig]], derart, dass jeder Punkt als Sternzentrum gewählt werden kann. Insbesondere ist jede nichtleere konvexe Teilmenge eines reellen oder komplexen [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraums]] [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]] und auf einen Punkt [[Kontrahierbarkeit|kontrahierbar]], kann also keinerlei Löcher haben.

* Der [[Schnittmenge|Durchschnitt]] beliebig (auch unendlich) vieler konvexer Mengen ist konvex. Somit bilden die konvexen Teilmengen eines Vektorraumes ein [[Hüllensystem]]. Insbesondere gibt es zu jeder Teilmenge die davon erzeugte konvexe Menge, die sogenannte [[konvexe Hülle]] dieser Menge. Das ist nichts anderes als der Durchschnitt aller konvexen Mengen, die die vorgegebene Teilmenge umfassen.

* Die Vereinigung konvexer Mengen ist im Allgemeinen nicht konvex. Aber die Vereinigung einer aufsteigenden Kette konvexer Mengen ist wieder konvex.

* In [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Räumen]] ist eine [[Kompakter Raum|kompakte]], konvexe Menge <math>M</math> der Abschluss der [[Konvexkombination]]en ihrer [[Extremalpunkt]]e ([[Satz von Krein-Milman]]). Dabei ist ein Extremalpunkt ein Punkt, der nicht zwischen zwei Punkten aus <math>M</math> liegt. In endlichdimensionalen Räumen kann man sogar auf die Abschlussbildung verzichten, denn nach dem [[Satz von Minkowski#Satz von Carathéodory|Satz von Carathéodory]] ist jeder Punkt einer kompakten, konvexen Teilmenge eines n-dimensionalen Raums eine Konvexkombination von höchstens n+1 Extremalpunkten dieser Menge.

== Stabilität unter Operationen ==
Die Konvexität einer Menge ist stabil unter gewissen Operationen. Beispiele dafür sind:
* Bilder und Urbilder konvexer Mengen unter einer affinen Funktion <math> f(x)=Ax+b </math> mit <math> A \in \mathbb{R}^{m \times n} </math> und <math> b \in \mathbb{R}^m </math> sind wieder konvex. Dies enthält als Spezialfall die Translation um den Vektor <math> b </math> (Setze <math> A=E </math> die [[Einheitsmatrix]]) und die Skalierung um den Faktor <math> a </math> (Setze <math> A=a E, \, b=0 </math>).
* Die [[Minkowski-Summe]] zweier konvexer Mengen <math> K_1+K_2=\{x_1+x_2| \, x_1 \in K_1, \, x_2 \in K_2\} </math> ist wieder konvex.
* Das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] <math> K_1 \times K_2 </math> zweier konvexer Mengen ist wieder konvex.
* Jede Projektion <math> f(x)=x_i </math> einer konvexen Menge auf eine [[Koordinatenachse]] ist wieder konvex.
* Ist für jedes <math> x \in K </math> der Term <math> c^Tx+d>0 </math>, so ist das Bild der konvexen Menge <math> K </math> unter der Funktion
::<math> f(x)=\frac{Ax+b}{c^Tx+d}</math>
:wieder konvex. Analog ist das Urbild einer konvexen Menge unter dieser Funktion wieder konvex.

== Spezialfälle ==
Konvexe Mengen können auf verschiedene Weisen noch weiter eingeschränkt werden:
* Eine Menge <math>M</math> heißt ''streng konvex'', wenn die [[Offene Strecke|offene]] Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte der Menge vollständig im [[Innerer Punkt|Inneren]] der Menge liegt.<ref>{{Literatur |Autor=Robert Plato |Titel=Numerische Mathematik kompakt |Verlag=Springer |Datum=2013 |ISBN=978-3-322-93922-7 |Seiten=365}}</ref> Anschaulich besitzen streng konvexe Mengen keine geradlinigen Berandungsteile.
* Eine Menge <math>M</math> heißt ''glatt konvex'', wenn jeder Randpunkt der Menge eine eindeutige [[Stützhyperebene]] besitzt.<ref>{{Literatur |Autor=Jürg T. Marti |Titel=Konvexe Analysis |Verlag=Springer |Datum=2013 |ISBN=978-3-0348-5910-3 |Seiten=108}}</ref> Anschaulich besitzen glatte konvexe Mengen keine Ecken oder Kanten.

== Normierte Räume ==
=== Konvexitätsbedingungen ===
In [[Normierter Raum|normierten Räumen]] <math>(V,\|\cdot \|)</math>, das heißt in Vektorräumen <math>V</math> mit einer [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot\|</math>, die jedem Vektor <math>x\in V</math> seine Länge <math>\|x\|</math> zuordnet, kann man mittels der Norm konvexe Mengen konstruieren. Die für die Theorie der normierten Räume wichtigste konvexe Menge ist die [[abgeschlossene Einheitskugel]] <math>\overline{B_V} := \{x\in V;\,\|x\|\le 1\}</math>.

Gewisse [[Konvexitätsbedingung]]en, die man an die Einheitskugel eines normierten Raums stellen kann und die die Konvexität der Einheitskugel verschärfen, definieren Raumklassen normierter Räume. Das führt zu Begriffsbildungen wie zum Beispiel [[Strikt konvexer Raum|strikt konvexer]], [[Gleichmäßig konvexer Raum|gleichmäßig konvexer]] oder [[Glatter Raum|glatter Räume]].

=== Normale Struktur ===
Ein Punkt <math>x</math> einer beschränkten, konvexen Mengen <math>M\subset V</math> heißt ''diametral für M'', wenn <math>\sup\{\|x-y\|;\, y\in M\}</math> gleich dem Durchmesser von <math>M</math> ist. In der Einheitskugel sind genau die Randpunkte, das heißt die Vektoren der Länge 1, diametral. Für eine Strecke in einem normierten Raum sind genau die Endpunkte dieser Strecke diametral.
In diesen beiden Beispielen gibt es auch stets nicht-diametrale Punkte. Das betrachtet man als eine „normale“ Eigenschaft und definiert:

Eine beschränkte, konvexe Menge hat ''normale Struktur'', wenn jede darin enthaltene abgeschlossene und konvexe Teilmenge <math>M</math> mit mindestens zwei Punkten nicht-diametrale Punkte bzgl. <math>M</math> enthält.

Man kann zeigen, dass jede kompakte, konvexe Menge in einem normierten Raum normale Struktur hat.<ref>Vasile I. Istratescu: ''Strict Convexity and Complex Strict Convexity, Theory and Applications'', Taylor & Francis Inc. (1983), ISBN 0-8247-1796-1, Satz 2.11.20</ref> Da beschränkte, abgeschlossene Mengen in endlichdimensionalen Räumen nach dem [[Satz von Heine-Borel]] kompakt sind, haben also alle beschränkten, konvexen Mengen in endlichdimensionalen Räumen normale Struktur. Das Auftreten beschränkter, konvexer Mengen ohne normale Struktur ist daher ein rein unendlichdimensionales Phänomen.

== Verallgemeinerungen ==
Allgemein genügen für die sinnvolle Definition von Konvexität schon erheblich schwächere Voraussetzungen an die Geometrie, die auf <math>M</math> gilt. Man braucht aus [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie]] lediglich die Axiome der Verknüpfung und die der Anordnung. Die Konvexität hängt insbesondere von der Definition einer geraden Verbindungsstrecke ab. So ist die Halbebene, die durch <math>\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x+y \leq 0\}</math> definiert wird, konvex in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]], aber nichtkonvex in der [[Moulton-Ebene]]: Beispielsweise läuft die „Gerade“ zwischen <math>(-1,1)</math> und <math>(1,-1)</math> über den (nicht in der Menge enthaltenen) Punkt <math>(0,\tfrac{1}{3})</math>. Siehe auch [[kollinear]].

Je nach mathematischem Kontext werden unterschiedliche Verallgemeinerungen benutzt, die auch teilweise nicht kohärent sind.

=== Konvexitätsraum ===
Folgende Axiomatik verallgemeinert die grundlegenden Eigenschaften konvexer Mengen auf einem Niveau, das vergleichbar ist mit dem der [[Axiomensysteme der Allgemeinen Topologie|Topologie]].

Eine Menge <math>X</math> zusammen mit einer [[Potenzmenge|Menge von Teilmengen]] <math>\mathcal{K} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> wird ''Konvexitätsraum'' genannt, wenn für <math>\mathcal{K}</math> Folgendes gilt:
* die [[leere Menge]] und <math>X </math> selbst liegen in <math> \mathcal{K}</math>
* die [[Schnittmenge]] beliebig vieler Mengen aus <math>\mathcal{K}</math> liegt wieder in <math>\mathcal{K}</math>
* Falls eine Teilmenge <math>K \subset \mathcal{K}</math> [[Totalordnung|total geordnet]] ist [[Teilmenge#Größe und Anzahl von Teilmengen|bezüglich Inklusion]], so liegt die [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] aller Mengen aus <math>K</math> in <math>\mathcal{K}</math>.

Dann werden die Mengen aus <math>\mathcal{K}</math> die ''konvexen Mengen von'' <math>X</math> genannt.

=== Metrisch konvexer Raum ===
[[Datei:Circle-convex-metric-space.svg|mini|Ein [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] ist metrisch konvex, aber als Teilmenge des euklidischen Raums nichtkonvex.]]

Ein [[metrischer Raum]] <math>(X,d)</math> wird ''metrisch konvex'' genannt, wenn zu je zwei [[Paarweise verschieden|verschiedenen]] Punkten <math>x,y \in X</math> stets ein dritter Punkt <math>z \in X \setminus \{x,y\}</math> derart existiert, dass in der [[Dreiecksungleichung]] sogar Gleichheit gilt:
: <math>d(x,y)=d(x,z)+d(z,y)</math> .

Von einem Punkt <math>z \in X \setminus \{x,y\}</math>, welcher dieser Bedingung genügt, sagt man dann:
: ''<math>z</math> liegt zwischen <math>x</math> und <math>y</math>''.

Hier gilt allerdings nicht mehr, dass der Schnitt von metrisch konvexen Mengen wieder metrisch konvex wäre. So ist die Kreislinie mit der Metrik der [[Bogenlänge]] metrisch konvex, zwei abgeschlossenen [[Halbkreis]]e, die bis auf ihre beiden Endpunkte <math>x,y</math> [[disjunkt]] sind, sind auch metrisch konvexe (Teil)mengen, ihr zweielementiger Schnitt <math>\{ x,y \}</math> aber nicht.

Das grundlegende Resultat über metrisch konvexe Räume ist der [[Verbindbarkeitssatz von Menger]].

=== Geodätisch konvexe Mannigfaltigkeiten ===
[[Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit]]en <math>(M,g)</math> haben eine innewohnende Metrik, die die [[Geodäte]]n der Mannigfaltigkeit festlegt. Wenn jedes Paar von Punkten in einer Umgebung durch eine einzige Geodäte der Mannigfaltigkeit verbunden werden kann, die vollständig in dieser Umgebung liegt, nennt man diese Umgebung [[Exponentialabbildung|einfach konvex]].

Eine Untermannigfaltigkeit <math>C\subset M</math> einer riemannschen Mannigfaltigkeit <math>(M,g)</math> heißt ''geodätisch konvex'', wenn sich je zwei beliebige Punkten <math>x,y\in C</math> durch eine Kurve in <math>C</math> verbinden lassen, die eine ''in <math>(M,g)</math> global längenminimierende Geodäte'' ist.

=== Beispiele und Unterschiede ===
* Die [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] mit dem üblichen Abstand bilden eine metrisch konvexe Teilmenge von <math>\R</math>, die nicht konvex ist.
* Gleiches gilt für <math>\R^2\backslash \{ 0 \}</math>, was als riemannsche Mannigfaltigkeit auch nicht geodätisch konvex ist.
* Eine konvexe Teilmenge des euklidischen Raumes ist stets auch metrisch konvex, bezüglich der von der [[Norm (Mathematik)|Norm]] induzierten Metrik. Für [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] Teilmengen gilt auch die Umkehrung.

== Krümmung von Kurven ==
[[Datei:Convex supergraph.svg|mini|Eine [[Konvexe Funktion|Funktion]] ist genau dann konvex, wenn ihr [[Epigraph (Mathematik)|Epigraph]], in diesem Bild die grüne Menge über dem blauen [[Funktionsgraph]]en, eine konvexe Menge ist.]]

Im [[Ebene (Mathematik)|Zweidimensionalen]] kann die [[Krümmung]] einer [[Differenzierbarkeit|stetig differenzierbaren]] [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] in einem Punkt <math>x_0</math> in Relation zum Betrachter untersucht werden:
* Liegen die [[Umgebung (Mathematik)|benachbarten]] Punkte von <math>x_0</math> in der gleichen [[Tangente|Tangential]]-[[Halbebene]] wie der Betrachter, so ist sie dort für ihn ''konkav gekrümmt''.
* Existiert eine Umgebung um <math>x_0</math>, so dass alle Punkte daraus in der anderen Tangential-Halbebene liegen, so ist die Kurve in <math>x_0</math> für den Betrachter ''konvex gekrümmt''.

Analog kann in höheren Dimensionen die Krümmung von [[Hyperebene]]n untersucht werden, wozu das Objekt aber [[Orientierung (Mathematik)|orientierbar]] sein muss.

== Klassische Resultate über konvexe Mengen (Auswahl) ==
* [[Bieberbachsche Ungleichung]]
* [[Auswahlsatz von Blaschke]]
* [[Brunn-Minkowski-Ungleichung]]
* [[Satz von Cauchy (Geometrie)|Satz von Cauchy]]
* [[Eulersche Polyederformel]]
* [[Satz von Helly]]
* [[Satz von Jung]]
* [[Lemma von Kakutani]]
* [[Satz von Krein-Milman]]
* [[Satz von Minkowski]]
* [[Minkowskischer Gitterpunktsatz]]
* [[Satz von Pick]]
* [[Satz von Radon]]
* [[Trennungssatz]]

== Siehe auch ==
* [[Absolutkonvexe Menge]]
* [[Hilbert-Metrik]]
* [[Konvexe Funktion]]
* [[Simplex (Mathematik)]]
* [[Verallgemeinerte Konvexität]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Tommy Bonnesen]], [[Werner Fenchel]]
|Titel=Theorie der konvexen Körper
|TitelErg=Berichtigter Reprint.
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|Ort=Berlin (u. a.)
|Datum=1974
|ISBN=3-540-06234-3}}
* {{Literatur
|Autor=Arne Brøndsted
|Titel=An introduction to convex polytopes
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=New York (u. a.)
|Datum=1983
|ISBN=0-387-90722-X}}
* {{Literatur
|Autor=[[Leonard Blumenthal|Leonard M. Blumenthal]]
|Titel=Theory and Applications of Distance Geometry
|Reihe=Chelsea Scientific Books
|Auflage=2.
|Verlag=[[Chelsea Publishing Company]]
|Ort=Bronx, New York
|Datum=1970
|ISBN=0-8284-0242-6
|Seiten=}}
* {{Literatur
|Autor=W. A. Coppel
|Titel=Foundations of Convex Geometry
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
|Ort=Cambridge
|Datum=1998
|ISBN=0-521-63970-0}}
* {{Literatur
|Autor=[[Kazimierz Goebel]], [[William A. Kirk]]
|Titel=Topics in Metric Fixed Point Theory
|Reihe=Cambridge Studies in Advanced Mathematics
|BandReihe=28
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
|Ort=Cambridge
|Datum=1990
|ISBN=0-521-38289-0}}
* {{Literatur
|Autor=Peter M. Gruber
|Titel=Convex and Discrete Geometrie
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin (u. a.)
|Datum=2007
|ISBN=978-3-540-71132-2}}
* {{Literatur
|Autor=[[Isaak Moissejewitsch Jaglom|Isaak M. Jaglom]] und [[Wladimir Grigorjewitsch Boltjanski|W. G. Boltjanskij]]
|Titel=Konvexe Figuren
|Verlag=[[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
|Ort=Berlin
|Datum=1956
|ISBN=}}
* {{Literatur
|Autor=Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller
|Titel=Vieweg Mathematik Lexikon
|Verlag=[[Vieweg Verlag]]
|Ort=Braunschweig (u. a.)
|Datum=1988
|ISBN=3-528-06308-4
|Seiten=159–160}}
* {{Literatur
|Hrsg=[[Victor L. Klee]]
|Titel=Convexity
|TitelErg=Proceedings of the Seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, held at the University of Washington, Seattle, Washington, June 13 - 15, 1961
|Verlag=[[American Mathematical Society]]
|Ort=Providence, RI
|Datum=1963
|ISBN=}}
* {{Literatur
|Autor=Steven R. Lay
|Titel=Convex sets and their applications
|Verlag=[[John Wiley & Sons]]
|Ort=New York (u. a.)
|Datum=1982
|ISBN=0-471-09584-2}}
* {{Literatur
|Autor=Kurt Leichtweiß
|Titel=Konvexe Mengen
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin [u. a.]
|Datum=1980
|ISBN=3-540-09071-1}}
* {{Literatur
|Autor=Jürg T. Marti
|Titel=Konvexe Analysis
|Verlag=[[Birkhäuser Verlag|Birkhäuser]]
|Ort=Basel (u. a.)
|Datum=1977
|ISBN=3-7643-0839-7}}
* {{Literatur
|Autor=[[Willi Rinow]]
|Titel=Die innere Geometrie der metrischen Räume
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
|BandReihe=105
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg
|Datum=1961
|ISBN=}}
* {{Literatur
|Autor=[[Frederick A. Valentine]]
|Titel=Konvexe Mengen
|Reihe=BI-Hochschultaschenbücher
|BandReihe=402/402a
|Verlag=[[Bibliographisches Institut]]
|Ort=Mannheim
|Datum=1968
|ISBN=}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Convexity|(nicht)konvexe Mengen}}
* {{PlanetMath|id=ConvexSet |title=Convex set}}
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Convex_set ''Convex set''] in der [[Encyclopaedia of Mathematics]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4165212-5}}

[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Topologischer Vektorraum]]
[[Kategorie:Konvexgeometrie]]

Konvexe Menge - Versionsgeschichte

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