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Der '''Konvergenzradius''' ist in der [[Analysis]] eine Eigenschaft einer [[Potenzreihe]] der Form
: <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math>,
die angibt, in welchem Bereich der [[Reelle Zahl|reellen Gerade]] oder der [[Komplexe Zahl|komplexen Ebene]] für die Potenzreihe [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] garantiert ist.

== Definition ==
Der Konvergenzradius ist als das [[Supremum]] aller Zahlen <math>\rho \geq 0</math> definiert, für welche die Potenzreihe für (mindestens) ein <math>x</math> mit <math>|x-x_0| = \rho</math> [[Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]]:
:<math>r:=\sup \left\{ |x-x_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}\ \text{konvergiert}\right.\right\} </math>
Falls die Potenzreihe für alle reellen Zahlen bzw. auf der ganzen komplexen Zahlenebene konvergiert, also diese Menge der <math>\rho</math> [[Beschränktheit|(nach oben) unbeschränkt]] ist, sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich: <math>r = \infty</math>.

== Folgerungen aus dem Konvergenzradius ==
Für eine Potenzreihe mit Konvergenzradius <math>r>0</math> gilt:
* Ist <math>|x-x_0|<r</math>, so ist die Potenzreihe [[Absolute Konvergenz|absolut konvergent]].<br/>Bei <math>r = \infty</math> konvergiert die Reihe mit [[Konvergenzgeschwindigkeit|superlinearer Konvergenzgeschwindigkeit]]; bei <math>r < \infty</math> für <math>x\ne x_0</math> mit linearer Konvergenzgeschwindigkeit der Konvergenzrate {{nowrap|<math>|x-x_0|/r </math>.}}
* Ist <math>|x-x_0|=r</math>, so kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in manchen Situationen hilft aber der [[Abelscher Grenzwertsatz|Abelsche Grenzwertsatz]].<br/>Konvergiert die Reihe, so konvergiert sie [[Konvergenzgeschwindigkeit|unterlinear]].
* Ist <math>|x-x_0|>r</math>, so ist die Potenzreihe [[Grenzwert (Folge)|divergent]].

Wird eine reelle Potenzreihe betrachtet, deren Koeffizienten <math>a_n</math> reelle Zahlen sind, und sind auch <math>x,~x_0</math> reell, so ist der Konvergenzbereich nach Auflösung der Betragsungleichungen das Intervall <math>(x_0-r,~x_0+r)</math> sowie möglicherweise einer der oder beide Randpunkte. Für Potenzreihen im Komplexen, das heißt, alle diese Größen können komplexe Zahlen sein, besteht der [[Konvergenzbereich]] dieser [[Funktionenreihe]] aus dem Inneren der Kreisscheibe um den Mittelpunkt <math>x_0</math> und mit Radius <math>r</math>, dem '''Konvergenzkreis''', sowie möglicherweise aus einigen seiner Randpunkte.

Außerdem gilt für alle <math>r^{\prime}<r</math>, dass die Potenzreihe gleichmäßig für alle <math>x</math> mit <math>|x-x_0| \leq r^{\prime}</math> konvergiert. Auf einem inneren Kreis oder Teilintervall liegt also auch stets eine [[gleichmäßige Konvergenz]] vor.

== Bestimmung des Konvergenzradius ==

Der Konvergenzradius lässt sich mit der '''[[Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]]''' berechnen: Es gilt
:<math>r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.</math>
Dabei gilt <math>r = 0</math>, falls der [[Limes superior]] im Nenner gleich <math>+\infty</math> ist, und <math>r = +\infty</math>, falls er gleich <math>0</math> ist.

Wenn ab einem bestimmten Index alle <math>a_n</math> von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert oder unendlich ist, dann kann der Konvergenzradius einfacher durch
:<math>r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|</math>
berechnet werden. Diese Formel ist aber nicht immer anwendbar, zum Beispiel bei der Koeffizientenfolge <math>a_{2n}=1,~a_{2n+1}=1/n</math>: Die zugehörige Reihe hat den Konvergenzradius 1, aber der angegebene Limes existiert nicht. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist dagegen immer anwendbar.

== Beispiele für unterschiedliches Randverhalten ==
Die folgenden drei Beispiele reeller Potenzreihen haben jeweils Konvergenzradius 1, konvergieren also für alle <math>x</math> im Intervall <math>(-1, 1)</math>; das Verhalten an den Randpunkten ist jedoch unterschiedlich:
* <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> konvergiert an keinem der Randpunkte <math>\pm 1</math>.
* <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2}</math> konvergiert an beiden Randpunkten <math>-1</math> und <math>+1</math>.
* <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}</math> konvergiert nicht am rechten Randpunkt <math>+1</math> ([[harmonische Reihe]]), wohl aber am linken Randpunkt <math>-1</math> (alternierende harmonische Reihe).

== Einfluss des Entwicklungspunktes auf den Konvergenzradius ==
[[Datei:Konvergenzkreise.jpg|mini|Die drei Konvergenzkreise der Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit vom Entwicklungspunkt. Sie schneiden sich im Punkt <math>z'=2 \mathrm i</math> da hier die Funktion <math>f</math> eine Singularität besitzt]]
Der Entwicklungspunkt <math> z_0</math> einer Potenzreihe hat einen direkten Einfluss auf die Koeffizientenfolge <math> (a_n)_{n \in \N} </math> und damit auch auf den Konvergenzradius. Betrachtet man beispielsweise die [[analytische Funktion]]
:<math>f \colon \mathbb{C} \setminus \{2 \mathrm i\} \to \mathbb{C},\ z \mapsto \frac{1}{2 \mathrm i-z}</math>
in ihrer Potenzreihendarstellung
:<math>f(z)=\frac{1}{2 \mathrm i} \cdot \frac{1}{1-\bigl(\frac{z}{2 \mathrm i}\bigr)}=\frac{1}{2 \mathrm i} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{2 \mathrm i}\right)^n</math>.
Diese Umformungen folgen direkt mittels der [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]]. Diese Darstellung entspricht der Potenzreihe um den Entwicklungspunkt <math>z_0=0</math> und mit dem Wurzelkriterium folgt für den Konvergenzradius <math>r_0=2</math>.

Wählt man dagegen <math>z_1=2</math>
als Entwicklungspunkt, so folgt mit einigen algebraischen Umformungen
:<math>f(z)=\frac{1}{-(z-2)+2 \mathrm i-2}=\frac{1}{2 \mathrm i-2} \cdot \frac{1}{1-\bigl(\frac{z-2}{2 \mathrm i-2}\bigr)}=\frac{1}{2 \mathrm i-2} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z-2}{2 \mathrm i-2}\right)^n</math>.
Auch hier folgt mittels des Wurzelkriteriums der Konvergenzradius <math>r_1=\sqrt{8}</math>.

Ein dritter Entwicklungspunkt <math>z_2=3 \mathrm i</math> liefert mit analogem Vorgehen
:<math>f(z)=\frac{1}{-(z-3 \mathrm i)-3 \mathrm i+2 \mathrm i}=\frac{1}{-\mathrm i} \cdot \frac{1}{1-\bigl(\frac{z-3 \mathrm i}{\mathrm i}\bigr)}=\frac{1}{-\mathrm i} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z-3 \mathrm i}{\mathrm i}\right)^n</math>
als Potenzreihendarstellung mit dem Konvergenzradius <math>r_2=1</math>. Zeichnet man diese drei Konvergenzradien um ihre Entwicklungspunkte, so schneiden sie sich alle im Punkt <math>z'=2 \mathrm i</math> da hier die Funktion <math>f</math> eine Singularität besitzt und nicht definiert ist. Anschaulich dehnt sich also der Konvergenzkreis um einen Entwicklungspunkt aus, bis er an eine nicht definierte Stelle der Funktion stößt.

== Herleitung ==
Die Formeln für den Konvergenzradius lassen sich aus den [[Konvergenzkriterium|Konvergenzkriterien für Reihen]] herleiten.
=== Wurzelkriterium ===
Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt sich aus dem [[Wurzelkriterium]]. Nach diesem Kriterium konvergiert die Potenzreihe
:<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_n}\left(x-x_0\right)^n,</math>
absolut wenn
:<math>\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \sup }}\,\sqrt[n]{\left| a_n\left(x-x_0\right)^n \right|} = \left|x-x_0\right|\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \sup }}\,\sqrt[n]{|a_n|}<1.</math>
Auflösen nach <math>\left|x-x_0\right|</math> liefert den Konvergenzradius
:<math>\left|x-x_{0}\right|<\frac{1}{\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim\sup}}\sqrt[n]{|a_{n}|}}=\liminf_{n\rightarrow\infty}\,|a_{n}|^{-1/n}=r.</math>

=== Quotientenkriterium ===
Sofern fast alle <math>a_n</math> ungleich Null sind, konvergiert die Potenzreihe <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_n}\left( x-x_0 \right)^n</math> nach dem [[Quotientenkriterium]], wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
:<math>
\limsup_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{a_{n+1}\left(x-x_0\right)^{n+1}}{a_n\left(x-x_0\right)^n} \right|
=\limsup_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\left(x-x_0\right) \right|
=\left|x-x_0\right|\limsup_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|<1.
</math>
Auflösen nach <math>\left|x-x_0\right|</math> liefert:
:<math>\left|x-x_{0}\right|<\frac{1}{\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim\sup}}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=\liminf_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=:r.</math>
Die Potenzreihe konvergiert also für <math>\left|x-x_0\right|<r</math>. Dies ist im Allgemeinen aber nicht der Konvergenzradius. Das liegt daran, dass das Quotientenkriterium im folgenden Sinne echt schwächer ist als das Wurzelkriterium: Ist
:<math>\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim\sup}}\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right| > 1</math>,
so kann im Allgemeinen nicht darauf geschlossen werden, dass die Reihe <math>\sum \limits_{n=0}^\infty {b_n}</math> divergiert. Die Divergenz erhält man aber aus
:<math>\underset{n\to\infty}{\mathop{\liminf}}\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right| > 1</math>.
Ähnlich wie oben schließt man also, dass die Potenzreihe <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_n}\left( x-x_0 \right)^n</math> für <math>\left|x-x_0\right|>R</math> divergiert, wobei
:<math>R := \frac{1}{\liminf_{n\to \infty} {\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}}</math>.
Man kann im Allgemeinen folglich nur aussagen, dass der Konvergenzradius zwischen <math>r</math> und <math>R</math> liegt.

Daraus folgt aber insbesondere: Aus der Existenz von <math>\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|</math> folgt <math>r=R</math> und in diesem besonderen Falle ist
:<math>r=R=\frac{1}{\lim\limits_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|} = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|</math>
der gesuchte Konvergenzradius.

== Literatur ==
* E. Freitag, R. Busam: ''[[Funktionentheorie]]''. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-58650-4.
* [[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis – Teil 1'', 6. Auflage, Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 542–561
* [[Klaus Jänich]]: ''Funktionentheorie – eine Einführung''. 6. Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2004, ISBN 3540203923.

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

Konvergenzradius - Versionsgeschichte

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