imported>Godung Gwahag: /* Definition */

2019-11-29T13:46:31Z

Definition

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In der [[Reelle Analysis|reellen Analysis]] ist ein '''Konvergenzmodul''' eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], welche angibt, wie schnell eine konvergente [[Folge (Mathematik)|Folge]] konvergiert. Konvergenzmoduln werden oft in der [[Berechenbare Analysis|berechenbaren Analysis]] und [[Konstruktive Mathematik|konstruktiven Mathematik]] verwendet.

Wenn eine Folge [[Reelle Zahlen|reeller Zahlen]] <math>(x_i)</math> gegen eine reelle Zahl <math>x</math> konvergiert, dann gibt es nach Definition für jedes reelle <math>\epsilon>0</math> eine [[Natürliche Zahlen|natürliche Zahl]] <math>N</math> so, dass <math>\left|x-x_i\right| < \epsilon</math>, falls <math>i > N</math>. Ein Konvergenzmodul ist im Wesentlichen eine Funktion, die bei gegebenem <math>\epsilon</math> einen entsprechenden Wert von <math>N</math> berechnet.

== Definition ==

Sei <math>(x_i)</math> einen konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert <math>x</math>. Es gibt zwei Arten, einen Konvergenzmodul als eine Funktion von den natürlichen Zahlen in die natürlichen Zahlen zu definieren:
* Als eine Funktion <math>f(n)</math> so, dass für alle <math>n\in\N</math> gilt: wenn <math>i>f(n)</math>, dann <math>\left|x-x_i\right| < 1/n</math>.
* Als eine Funktion <math>g(n)</math> so, dass für alle <math>n</math> gilt: wenn <math>i \geq j > g(n)</math>, dann <math>\left|x_i-x_j\right| < 1/n</math>. (Diese existiert, da jede konvergente Folge eine [[Cauchy-Folge]] ist.)
Die letztere Definition wird oft in konstruktiven Szenarien eingesetzt, wobei der Grenzwert <math>x</math> unter Umständen mit der konvergenten Folge identifiziert wird. Manche Autoren verwenden eine alternative Definition, die <math>1/n</math> durch <math>2^{-n}</math> ersetzt.

== Einzelnachweise ==
* Klaus Weihrauch (2000), ''Computable Analysis''.

[[Kategorie:Analysis]]

Konvergenzmodul - Versionsgeschichte

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