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2024-01-31T15:13:27Z

Mathematische Werkzeuge

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{{Dieser Artikel|behandelt die mathematische Kontrolltheorie. Kriminologische Theorien gleichen Namens finden sich unter [[Kriminologische Kontrolltheorie]]. Außerdem steht ''Kontrolltheorie'' für die Theorie der [[Optimale Steuerung|Optimalen Steuerung]].}}

Die '''Kontrolltheorie''' (auch '''Regelungstheorie''') ist ein Teilgebiet der [[Angewandte Mathematik|angewandten Mathematik]]. Sie betrachtet [[Dynamisches System|dynamische Systeme]], deren [[Systemverhalten|Verhalten]] durch ''Eingangsgrößen'' von außen beeinflusst werden können. Solche Systeme sind z. B. Gegenstand der [[Regelungstechnik]], aus der die Kontrolltheorie hervorgegangen ist.

Beispiele für [[System]]e sind in zahlreichen und vielfältigen Anwendungsgebieten aus [[Naturwissenschaft]]en, [[Technik]] und [[Medizin]], [[Ökonomie]], [[Biologie]], [[Ökologie]] und aus den [[Gesellschaftswissenschaft]]en zu finden. Der Planet [[Erde]], [[Auto]]s, Menschen, Wirtschaftsräume, [[Zelle (Biologie)|Zellen]], [[Ökosystem]]e und [[Gesellschaft (Soziologie)|Gesellschaften]] sind Beispiele für Systeme. Typische Fragestellungen in der Kontrolltheorie betreffen die Analyse eines gegebenen Systems sowie dessen gezielte Beeinflussung durch Vorgabe geeigneter Eingangsgrößen<ref>Eduardo D. Sontag: ''Mathematical Control Theory. Deterministic Finite Dimensional Systems'' (= ''Texts in Applied Mathematics.'' 6). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98489-5.</ref>. Typische praktische Fragen lauten beispielsweise:

* Ist das System [[Gleichgewicht (Systemtheorie)#stabil|stabil]]?
* Wie empfindlich reagiert das System auf Störungen und Modellunbestimmtheiten?
* Bleiben alle Systemvariablen in bestimmten Bereichen?
* Ist es möglich, einen gegebenen gewünschten Zielzustand zu erreichen?
* Wie muss die Eingangsgröße gewählt werden, um einen Zielzustand in kürzester Zeit und mit geringstem Aufwand zu erreichen?

Voraussetzung für eine präzise Beantwortung derartiger Fragen ist die Einführung [[mathematisches Modell|mathematischer Modelle]] zur Systembeschreibung. Auf Basis dieser Modelle wurden in der Kontrolltheorie weitere mathematische Konzepte und Begriffe für Stabilität, [[Steuerbarkeit]] und [[Beobachter (Regelungstechnik)|Beobachtbarkeit]] entwickelt.

== Mathematische Modellformen ==
Die mathematische Modellierung ist die Grundlage von Aussagen über gegebene dynamische Systeme.

Eine Auswahl gebräuchlicher Modellformen für Systeme mit wertekontinuierlichem Verhalten ist:
* [[Gewöhnliche Differentialgleichung]]en
* [[Partielle Differentialgleichung]]en
* [[Stochastische Differentialgleichung]]en
* [[Differentielle Einschließung]]en

Kontinuierliche gewöhnliche Differentialgleichungen können dargestellt werden durch
* [[Blockschaltbild]]er und
* Bond-Graphen.

Die Differentialgleichungen können linear (z. B. [[Zustandsraummodell]], [[Übertragungsfunktion]]) oder [[nichtlinear]] (z. B. [[Hammerstein-Modell]], [[Wiener-Modell]]) sein. Probleme auf Basis nichtlinearer Modelle sind im Allgemeinen schwieriger.

Beispiele für Systeme mit ereignisdiskretem Verhalten sind:
* [[Automat (Informatik)|Automaten]]
* [[Petri-Netz]]e

Die Kombination kontinuierlicher und ereignisdiskreter Systeme bezeichnet man als [[Hybrides Modell|hybride Systeme]], beispielsweise
* diskontinuierliche Differentialgleichungen,
* Systeme mit schaltender Dynamik,
* hybride Automaten.

== Querschnittsprobleme ==
Auf Basis der mathematischen Modelle werden in der Kontrolltheorie Antworten z. B. auf folgende Fragen gesucht:
* [[Simulation]] / Vorhersage (Lösung des [[Anfangswertproblem]]s)
* [[Gleichgewicht (Systemtheorie)#stabil|Stabilität]]sanalyse
* Erreichbarkeitsanalyse, [[Steuerbarkeit]]sanalyse, [[Beobachter (Regelungstechnik)|Beobachtbarkeitsanalyse]]
* [[Sicherheit]]sanalyse
* [[Robustheit]]sanalyse
* [[Chaosforschung|Chaos]] / [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkation]]sanalyse
* Aufprägen eines gewünschten Verhaltens.

Von aktuellem Interesse ist die Betrachtung [[Komplexes System|komplex]]er [[dynamisches System|dynamischer Systeme]], welche auf komplexe Probleme führen. Mit komplexen Problemen sind solche Probleme gemeint, deren Repräsentation und Lösung eine „große“ Menge Speicherplatz und/oder Rechenzeit benötigt. Einige Probleme der Kontrolltheorie führen auf nicht entscheidbare mathematische Probleme. Die Reduktion der Komplexität praktisch relevanter Probleme, so dass deren (approximative) praktische Lösbarkeit gewährleistet ist, ist Gegenstand andauernder Forschung<ref>Vincent D. Blondel, John N. Tsitsiklis: ''A survey of computational complexity results in systems and control.'' In: ''Automatica.'' Bd. 36, Nr. 9, 2000, S. 1249–1274, {{DOI|10.1016/S0005-1098(00)00050-9}}.</ref>.

== Mathematische Werkzeuge ==
Zur Modellierung solcher meist nichtlinearer Systeme werden – im Unterschied zur Standard-Regelungstechnik – verschiedene analytische und numerische Methoden angewendet:
* Lösungskonzepte von Differentialgleichungen
* [[Stabilitätstheorie]] nach [[Alexander Michailowitsch Ljapunow|Ljapunow]]
* [[Funktionenfolge #Konvergenzbegriffe|Konvergenzbegriffe]]
* [[Norm (Mathematik)|Signalnormen]], Systemnormen, [[Operatornorm]]en
* [[Riccati-Gleichung]]en
* [[Variationsrechnung]]
* [[Konvexe Optimierung]]
* Globale und lokale [[Optimierung (Mathematik)|Optimierungsrechnung]]
* [[Invariante (Mathematik)|Invariante Mengen]].

== Anwendungen ==
Da die Kontrolltheorie aus der theoretischen Regelungstechnik hervorgegangen ist, wird sie in der Regelungstechnik bzw. in der gesamten [[Automatisierungstechnik]] angewendet.

Eine weitere typische Anwendung betrifft die Fehlertoleranz von Systemen. Da die gezielte Beeinflussung komplexer Systeme häufig teuer und riskant ist, wird ein entsprechend hoher Aufwand bei Beobachtung und Kontrolle betrieben. Die Aussagen der Kontrolltheorie unterstützen häufig [[Entscheidung unter Unsicherheit|Entscheidungen unter Unsicherheit]] und müssen deshalb von angemessenem [[Risikomanagement]] und einer ''Analyse der Fehler- und Einflussmöglichkeiten'' ([[FMEA]]) begleitet werden. Siehe auch [[Fehlertolerantes Regelsystem]].

== Siehe auch ==
{{Commonscat|Control theory|Kontrolltheorie (Control theory)}}
* [[Optimale Steuerung]] und [[Optimale Regelung]]
* [[Stabilitätstheorie]]

== Quellen ==
<References/>

[[Kategorie:Regelungstheorie| ]]
[[Kategorie:Systemtheorie (Kybernetik)]]
[[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme]]

Kontrolltheorie - Versionsgeschichte

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