imported>Bleckneuhaus: OMA-freundliche Sprache

2026-03-10T13:17:54Z

OMA-freundliche Sprache

Neue Seite

[[Datei:Venn0110.svg|mini|200px|[[Venn-Diagramm]] von <math>A\;\;\!\!\dot\cup\;\;\!\!B</math><br />Die '''Kontravalenz''' ist das ''[[Disjunktion|Oder]]'' mit ausgeschlossenem ''[[Konjunktion (Logik)|Und]]''.<br />Unter den Mengenoperationen entspricht diesem Junktor die [[Symmetrische Differenz|Vereinigung unter Ausschluss der Schnittmenge]].]]
'''Kontravalenz''' bezeichnet in der [[Klassische Logik|klassischen Logik]] und Mathematik die Verbindung zweier [[Logische Aussage|Aussagen]] durch den zweistelligen [[Junktor]] ''entweder – oder'',<ref>Vgl. Lorenz: ''Disjunktion.'' In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): ''Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie.'' 2. Aufl. 2005.<br /> In einer anderen Bedeutung auch die [[Wahrheitswertefunktion]], die diesen Junktor interpretiert.</ref> der auch ''exklusives Oder'' oder ''Kontravalentor'' heißt. Bei der Kontravalenz muss genau eine der beiden Aussagen zutreffen, entweder die eine oder die andere; weder sind beide zugleich wahr noch beide zugleich falsch.

[[Synonymie|Synonym]] mit Kontravalenz werden auch die Bezeichnungen '''ausschließende [[Disjunktion]]''' (auch ''vollständige'' oder ''antivalente Disjunktion''),<ref>z. B. Lorenz: ''Disjunktion.'' In: Mittelstraß (Hrsg.): ''Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie,'' 2. Aufl. 2005.</ref> '''Bisubtraktion''',<ref>z. B: [[Paul Lorenzen]]: ''Logik,'' 4. Aufl. (1970), S. 48 (um das Wort „Disjunktion“ zu vermeiden).</ref> '''ausschließendes Oder, Antivalenz, kontradiktorischer Gegensatz''',<ref>z. B. Menne: ''Logik,'' 6. Aufl. (2001), S. 39.</ref> '''Kontrajunktion''' oder '''Alternation'''<ref>Strobach: ''Einführung in die Logik'' (2005), S. 22: manchmal, aber der lateinischen Bedeutung nicht gut entsprechend.</ref> verwendet. In der [[Schaltalgebra]] spricht man von dem ''[[Exklusiv-Oder-Gatter]] (XOR-Gatter),'' in der [[Aussagenlogik]] nennt man sie ''XOR-Verknüpfung.''

== Definition und Eigenschaften ==
[[Definition|Definiert]] wird die Kontravalenz durch die [[Wahrheitswertefunktion]] ihres Junktors: Eine Kontravalenz ist genau dann wahr, wenn beide durch sie verbundenen Aussagen unterschiedliche [[Wahrheitswert]]e haben, wenn also ''entweder'' die eine ''oder'' die andere wahr ist, aber nicht beide zugleich wahr oder beide zugleich falsch sind. Der [[latein]]ische Ausdruck für dieses ausschließende Oder als „entweder – oder“ lautet „aut – aut“.

Durch eine [[Wahrheitstabelle]] (Matrix) ist die '''aut-Funktion''' als Wahrheitswertefunktion der Kontravalenz damit wie folgt gegeben:

{| class="wikitable centered"
! A !! B !! <math>A \dot\lor B</math>
|-
| wahr || wahr || falsch
|-
| wahr || falsch || wahr
|-
| falsch || wahr || wahr
|-
| falsch || falsch || falsch
|-
|}

Die Kontravalenz ist [[Assoziativgesetz|assoziativ]] und [[Kommutativgesetz|kommutativ]]. Zudem ist sie [[Involution (Mathematik)|selbstinvers]] und distributiv bezüglich logisch [[Konjunktion (Logik)|UND]], aber nicht bezüglich [[Disjunktion|ODER]]:
* Es gelten immer <math>A\;\dot\lor\;B = B\;\dot\lor\;A</math> sowie <math>(A\;\dot\lor\;B)\;\dot\lor\;C = A\;\dot\lor\;(B\;\dot\lor\;C)</math>.
* Es gilt immer <math>A \land (B\;\;\!\!\dot\lor\;\;\!\!C) = (A \land B)\;\;\!\!\dot\lor\;\;\!\!(A \land C)</math>,
* jedoch gilt <math>A \lor (B\;\;\!\!\dot\lor\;\;\!\!C) = (A \lor B)\;\;\!\!\dot\lor\;\;\!\!(A \lor C)</math> nur, falls <math>A</math> falsch ist.
* Sie ist selbstinvers wegen <math>A\;\dot\lor\;B\;\dot\lor\;B = A</math>.
* Daraus folgt, dass das Ergebnis verknüpft mit einem Operanden den anderen Operanden ergibt: Wenn <math>A\;\dot\lor\;B\ = C</math>, sind <math>B\;\dot\lor\;C\ = A</math> und <math>A\;\dot\lor\;C\ = B</math>.

== Abgrenzung und Gemeinsamkeiten ==
Der Unterschied zum ''nicht-ausschließenden Oder'' (im engeren Sinn die Disjunktion) besteht in der „verschärften Information“,<ref name="Essler51">Essler/Martínez: ''Grundzüge der Logik I,'' 4. Aufl. (1991), S. 51</ref> dass „von vornherein feststeht, dass eine der beiden Alternativen wahr sein muss“,<ref>Schülerduden, Philosophie, 2. Aufl. (2002), Disjunktion</ref> doch nicht beide zugleich wahr sind, also nicht nur wenigstens, sondern auch höchstens einer der beiden Sachverhalte besteht.<ref name="Essler51" />

Äquivalenzen der Kontravalenz, also Formeln mit anderen Junktoren, die denselben Wahrheitswertverlauf haben, sind:
* Negation des [[Bikonditional]]s (Negation der [[Logische Äquivalenz|Äquivalenz]]) <math>\neg (A \leftrightarrow B)</math><ref>[[David Hilbert|Hilbert]]/Ackermann: ''Grundzüge,'' 6. Aufl. (1972), S. 6; Reichenbach: ''Grundzüge der symbolischen Logik'' (1999), S. 33</ref>
* <math>(A \vee B) \wedge \neg (A \wedge B)</math> oder
* <math>(A \vee B) \wedge (\neg A \vee \neg B)</math> oder
* <math>(A \wedge \neg B) \vee (\neg A \wedge B)</math>.

== Bedeutung und praktische Anwendung ==
Die Bedeutung der Kontravalenz ist in der modernen Logik eher gering, „da sie relativ wenige Zusammenhänge zu formulieren gestattet“.<ref>Essler/Martínez: ''Grundzüge der Logik I,'' 4. Aufl. (1991), S. 98 Fn. 33</ref> In der Schaltalgebra hat sie als XOR-Verknüpfung hingegen große Bedeutung. Die Eigenschaft, dass die zweimalige Anwendung der XOR-Verknüpfung der Identität entspricht, d. h., dass sie selbstinvers ist, wird unter anderem in der [[Kryptographie]] – dort ermöglicht sie die Verwendung der gleichen Funktion beim [[Verschlüsseln]] und [[Entschlüsseln]] – sowie beim [[RAID]]-System verwendet.
{{Siehe auch|Exklusiv-Oder-Gatter#Anwendung|titel1=Anwendung der XOR-Verknüpfung}}

== Notation und Aussprache ==
[[Mathematisches Symbol|Symbole]] des Kontravalentors sind unter anderem:
* <math>\dot\lor</math>
* ⌴ ein halbes nach oben offenes Quadrat.<ref>Lorenzen: ''Logik.'' 4. Aufl. (1970), S. 39.</ref>
* '''XOR''' oder '''EOR'''
* <math>\nleftrightarrow</math>
* „>-<“
* „><“
* [[Radkreuz|<math>\oplus</math>]]

Die Sprechweise für den Junktor
<math>A\;\;\!\!\dot\lor\;\;\!\!B</math> variiert ebenfalls:

* „A kontra B“<ref>Menne: ''Logik,'' 6. Aufl. (2001), S. 39</ref>
* „A oder (aber) B“<ref name="Essler51" />
* „Entweder A, oder B“<ref>Essler/Martínez: ''Grundzüge der Logik I,'' 4. Aufl. (1991), S. 51</ref><ref>Detel: ''Grundkurs Philosophie I: Logik'' (2007), S. 71</ref>
* „A, außer dass B“<ref name="Essler96">Wilhelm K. Essler: ''Einführung in die Logik'' (= ''[[Kröners Taschenausgabe]].'' Band 381). 2., erweiterte Auflage. Kröner, Stuttgart 1969, {{DNB|456577998}}, S. 96.</ref>
* „A, ausgenommen dass B“<ref name="Essler96" />
* „A, es sei denn, dass B“<ref name="Essler96" />
* „A genau dann, wenn nicht B“<ref>Spies: ''Einführung in die Logik'' (2004), S. 13.</ref>

Gemeinsprachlich wird der Kontravalentor mit „entweder – oder“ umschrieben.<ref>Rosenkranz: ''Einführung in die Logik'' (2006), S. 81.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Aussagenlogik]]
** [[Logische Äquivalenz|Äquivalenz]] ([[XNOR-Gatter]])
** [[Negation]] ([[Nicht-Gatter]])
** [[Subjunktion]] ([[Implikation]])
** [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] ([[Und-Gatter]])
** [[Disjunktion]] ([[Oder-Gatter]])

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Aussagenlogik]]

Kontravalenz - Versionsgeschichte

imported>Bleckneuhaus: OMA-freundliche Sprache