~2025-46850-1: Klargemacht, dass sich die sich nicht ergebenden Schlüsse auf „Aus A folgt B“ beziehen. Das war besonders verwirrend, da die beiden nicht erlaubten Schlüsse selber equivalent sind.

2025-08-26T17:01:36Z

Klargemacht, dass sich die sich nicht ergebenden Schlüsse auf „Aus A folgt B“ beziehen. Das war besonders verwirrend, da die beiden nicht erlaubten Schlüsse selber equivalent sind.

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Unter '''Kontraposition''' (von {{laS|contra}} ‚gegen‘ und lat. {{lang|la|''positio''}} ‚Position‘, ‚Stellung‘, ‚Lage‘) versteht man in der [[Klassische Logik|Logik]] den Umkehrschluss einer [[Implikation]], d. h. den Schluss von „Wenn ''A'', dann ''B''“ auf „Wenn ''nicht B'', dann ''nicht A''“.

Tatsächlich ist die [[Logische Aussage|Aussage]] „Aus ''A'' folgt ''B''“ sogar [[Logische Äquivalenz|äquivalent]] zu ihrer Kontraposition „Aus ''nicht B'' folgt ''nicht A''“.

Nicht aus „Aus ''A'' folgt ''B''“ ergibt sich dagegen der Schluss „Aus ''B'' folgt ''A''“ oder „Aus ''nicht A'' folgt ''nicht B''“.

== Notation in der Mathematik ==
Sind <math>A</math> und <math>B</math> zwei Aussagen, dann sind die Folgerungen (Subjunktionen) <math>A \rightarrow B</math> und <math>\neg B \rightarrow \neg A</math> äquivalente Aussagen:
:<math>(A \rightarrow B) \Longleftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)</math>
Dabei bezeichnet <math>\neg A</math> die [[Negation]] einer Aussage <math>A</math>. In der [[Mathematik]] verwendet man für [[Implikation]]en die Notation <math>\Rightarrow</math>, die die [[Allgemeingültigkeit]] der Folgerung anzeigt.

Für <math>x,y \in \mathbb{R}</math> ist die [[Subjunktion]] <math>(x < y) \rightarrow (x^2 < y^2)</math> äquivalent („<math>\Longleftrightarrow</math>“) zur Kontraposition <math>(x^2 \geq y^2)\rightarrow (x \geq y)</math>. Die Subjunktion <math>(x < y) \rightarrow (x^2 < y^2)</math> selbst ist allerdings in den reellen Zahlen eine falsche Aussage, denn es gilt zwar <math>-4 < 3</math>, aber wegen der Ungleichung <math>16=(-4)^2 \geq 3^2 = 9</math> gilt ''nicht'' <math>(-4)^2 < 3^2</math>. Die Äquivalenz („<math>\Longleftrightarrow</math>“) ist dagegen tautologisch (allgemeingültig), da die linke Aussage genau dann wahr ist, wenn auch die Kontraposition (rechte Aussage) wahr ist.

=== Wahrheitstafeln ===
Die [[Logische Äquivalenz|Äquivalenz]] der Aussagen kann man über [[Wahrheitstabelle]]n überprüfen:

{| class="wikitable"
|+ Wahrheitstabelle für <math>A \rightarrow B</math>
|-
! <math>A</math> !! <math>B</math> !! <math>A \rightarrow B</math>
|-
| wahr || wahr || wahr
|-
| wahr || falsch || falsch
|-
| falsch || wahr || wahr
|-
| falsch || falsch || wahr
|}

{| class="wikitable"
|+ Wahrheitstabelle für <math>\neg B \rightarrow \neg A</math>
|-
! <math>A</math> !! <math>B</math> !! <math>\neg B</math> !! <math>\neg A</math> !! <math>\neg B \rightarrow \neg A</math>
|-
| wahr || wahr || falsch || falsch || wahr
|-
| wahr || falsch || wahr || falsch || falsch
|-
| falsch || wahr || falsch || wahr || wahr
|-
| falsch || falsch || wahr || wahr || wahr
|}

=== Äquivalenz zu einer ODER-Aussage ===
Sowohl <math>A \rightarrow B</math> als auch <math>\neg B \rightarrow \neg A</math> sind ferner äquivalent zu <math>\neg A \vee B</math>. „<math>\vee </math>“ ist dabei die Notation für ein „ODER“ ([[Disjunktion]]) – siehe auch folgende [[Wahrheitstabelle]] im Vergleich zu den Wahrheitstabellen für [[Subjunktion]] und Kontraposition.

{| class="wikitable"
|+ Wahrheitstabelle für <math>\neg A \vee B</math>
|-
! <math>A</math> !! <math>B</math> !! <math>\neg A</math> !! <math>\neg A \vee B </math>
|-
| wahr || wahr || falsch || wahr
|-
| wahr || falsch || falsch || falsch
|-
| falsch || wahr || wahr || wahr
|-
| falsch || falsch || wahr || wahr
|}

== Beispiele ==
=== Alltagsbeispiel ===
„Wenn es regnet, dann ist der Fußgängerweg nass.“ Diese Aussage („Aus ''A'' folgt ''B''“) ist äquivalent zu ihrer ''Kontraposition'' („Aus ''nicht B'' folgt ''nicht A''“): „Wenn der Fußgängerweg nicht nass ist, dann regnet es nicht.“

„Aus ''B'' folgt ''A''“ gilt allerdings nicht: „Wenn der Fußgängerweg nass ist“, ''muss'' es nicht zwangsläufig regnen. Es ''kann'' (immer noch) regnen; es kann schon wieder regnen; es regnet nicht; oder der Fußgängerweg ist aus anderen Gründen nass (Straßenreinigung, spielende Kinder).

=== Mathematisches Beispiel ===
''Aussage:''
:<math>\forall a \in \Z \colon \quad \left(a \equiv 1 \bmod 3 \Rightarrow a^2 \equiv 1 \bmod 3\right)</math>

Es gilt die ''Kontraposition:''
:<math>\forall a \in \Z \colon \quad \left(a^2 \not\equiv 1 \bmod 3 \Rightarrow a \not\equiv 1 \bmod 3\right)</math>

''Falsch'' wäre jedoch:
:<math>\forall a \in \Z \colon \quad \left(a^2 \equiv 1 \bmod 3 \Rightarrow a \equiv 1 \bmod 3\right)</math>

Denn <math>a^2 \equiv 1 \bmod 3</math> ist zwar [[Notwendige und hinreichende Bedingung|notwendig, aber nicht hinreichend]] für <math>a \equiv 1 \bmod 3</math>:<br />
Wenn <math>a^2 \equiv 1 \bmod 3</math> gilt, kann neben <math>a \equiv 1 \bmod 3</math> auch <math>a \equiv 2 \bmod 3</math> gelten.

== Siehe auch ==
* [[Umkehrschluss]], die Kontraposition als juristische Auslegungsmethode
* [[Negation]]
* [[Disjunktion]]

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Fallunterscheidung und Kontraposition#Kontraposition|Mathe für Nicht-Freaks: Kontraposition}}

[[Kategorie:Logik]]

Kontraposition - Versionsgeschichte

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