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2023-12-14T09:41:19Z

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{{Belege}}
Die '''kontaminierte Normalverteilung''' ist eine besondere Form der [[Mischverteilung]]. Sie spielt eine große Rolle in der [[robuste Statistik|robusten Statistik]] bei der Untersuchung [[Schätzfunktion|statistischer Schätzer]] und [[Statistischer Test|statistischer Tests]].

== Definition ==
Die reelle [[Zufallsvariable]] <math>X\,</math> hat eine kontaminierte [[Normalverteilung]], wenn sich ihre [[Dichtefunktion]] <math>f</math> in der Form
:<math>f(x)= (1 - \varepsilon)\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\operatorname{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)^2} + \varepsilon\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\operatorname{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu_{2}}{\sigma_{2}}\right)^2} </math>
mit <math>\mu_1, \mu_2 \in \R, \sigma_1,\sigma_2 \in (0,\infty) </math> und <math>\varepsilon\in [0,1]</math>,
also als Konvexkombination von zwei Normalverteilungs-Dichtefunktionen
darstellen lässt.

Die [[Verteilungsfunktion]] <math>F</math> hat dann die Gestalt
:<math>F(x) = (1 - \varepsilon)\,\Phi\left(\frac{x-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\right) + \varepsilon\, \Phi\left(\frac{x-\mu_{2}}{\sigma_{2}}\right) </math>,

wobei <math>\Phi</math> die [[Normalverteilung#Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung]] bezeichnet.

== Erwartungswert und Varianz ==
Für den [[Erwartungswert]] und die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] gilt:

:<math>\operatorname{E}(X)= (1 - \varepsilon)\mu_1 + \varepsilon\mu_2</math>,

:<math>\operatorname{Var}(X)= (1 - \varepsilon)\sigma_1^2 + \varepsilon\sigma_2^2+\varepsilon(1 - \varepsilon)(\mu_1-\mu_2)^2</math>.

Oft werden durch zusätzliche Bedingungen wie <math>\mu_1 =\mu_2 \,</math> Spezialfälle abgeleitet ([[skalenkontaminierte Normalverteilung]]).

== Beispiel ==
Ein Hersteller von elektronischen Geräten benutzt Kondensatoren mit der [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kapazität]] 5 [[Nanofarad]] [nF], die er von zwei Herstellern bezieht. Die von A hergestellten zeigen eine etwas geringere Streuung als die vom B. Vom Hersteller A stammen 60 % der bezogenen Kondensatoren, von B 40 %.
Man nehme an, im genügend weiten Bereich ist die Kapazität der Kondensatoren von beiden Herstellern [[Normalverteilung|normalverteilt]] mit Parametern <math>\mu_1, \mu_2,\sigma_1^2, \sigma_2^2</math>. Sei <math>\mu_1 = \mu_2 = 5\,[\mathrm{nF}] \,</math> und <math>\sigma_1^2= 0{,}0144 \,[\mathrm{nF}^2], \sigma_2^2= 0{,}0225 \,[\mathrm{nF}^2]</math>.

Eine Abweichung von mehr als 10 % vom Sollwert <math>5\,[\mathrm{nF}]</math> der Kapazität sei unerwünscht. Es stellt sich daher die folgende Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kondensator eine um mehr als 10 % abweichende Kapazität vom Sollwert aufweist?

<math> 10 \,\% \,\cdot \, 5 =0{,}5\,,</math>

:<math>\begin{align} P(X < 4{,}5 \cup X>5{,}5) &= \left( 0{,}6 \,\cdot \,\Phi \left( \frac{(5-0{,}5)-5}{\sqrt{0{,}0144 }}\right)\, +\, 0{,}4 \,\cdot \, \Phi \left( \frac{(5-0{,}5)-5}{\sqrt{0{,}0225 }}\right) \right)\\
& \qquad +\left( 1 - 0{,}6 \,\cdot \,\Phi \left( \frac{(5+0{,}5)-5}{\sqrt{0{,}0144 }}\right)\, +\, 1 - 0{,}4 \,\cdot \, \Phi \left( \frac{(5+0{,}5)-5}{\sqrt{0{,}0225 }}\right) \right)\\
&=\left( 0{,}6 \,\cdot \,\Phi \left( \frac{-0{,}5}{0{,}12 }\right)\, +\, 0{,}4 \,\cdot \, \Phi \left( \frac{-0{,}5}{0{,}15 }\right) \right)+\left(1- 0{,}6 \,\cdot \,\Phi \left( \frac{0{,}5}{0{,}12 }\right)\, +\, 1 - 0{,}4 \,\cdot \, \Phi \left( \frac{0{,}5}{0{,}15 }\right) \right)\\
&=2 \,\cdot \,\left( 0{,}6 \,\cdot \,\Phi \left( \frac{-0{,}5}{0{,}12 }\right)\, +\, 0{,}4 \,\cdot \, \Phi \left( \frac{-0{,}5}{0{,}15 }\right) \right)\\
&\approx 2 \,\cdot \,\left( 0{,}6 \,\cdot \, 0{,}000015464 + 0{,}4 \,\cdot \, 0{,}000429117 \right)\\
&= 0{,}000361849
\end{align}</math>

Ein Anteil von zirka 0,000361849 aller Kondensatoren zeigt bezüglich der Kapazität eine höhere Abweichung als 10 %.

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Kontaminierte Normalverteilung - Versionsgeschichte

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