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2025-01-15T09:13:48Z

Einzelnachweise

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[[Datei:Constant function2.svg|gerahmt|Eine konstante reelle Funktion einer Variablen <math> x</math>]]
In der [[Mathematik]] ist eine '''konstante Funktion''' (von {{laS|''constans''}} „feststehend“) eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die für alle Argumente stets denselben [[Funktionswert]] annimmt.

== Definition und Charakterisierung ==
Sei <math>f\colon A \to B</math> eine Funktion zwischen zwei [[Menge (Mathematik)|Mengen]]. Dann ist <math>f</math> ''konstant'', wenn für alle <math>x,y \in A</math> gilt: <math>f(x)=f(y)</math>.

In kurz gefasster Formelschreibweise kann dieser Sachverhalt folgendermaßen verdeutlicht werden:<ref>{{Literatur |Titel=Mathematische Annalen |Verlag=Springer |Datum=1890 |Online=https://www.google.de/books/edition/Mathematische_Annalen/6MHRU7ApBhoC?hl=de&gbpv=1&dq=%22=%20Constans%22%20mathematik&pg=PA174&printsec=frontcover |Abruf=2025-01-15}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=Zeitschrift für Mathematik und Physik |Verlag=B. G. Teubner. |Datum=1897 |Online=https://www.google.de/books/edition/Zeitschrift_f%C3%BCr_Mathematik_und_Physik/3MhWX_3pyqwC?hl=de&gbpv=1&dq=%22=+Const%22+mathematik&pg=PA279&printsec=frontcover |Abruf=2025-01-15}}</ref>

:<math>f(x) = \text {constans}</math> oder abgekürzt <math>f(x) = \text {const}</math>

Äquivalent zu dieser Definition ist die Aussage, dass die [[Bild (Mathematik)|Bildmenge]] von <math>f</math> aus höchstens einem [[Element (Mathematik)|Element]] besteht.

Insbesondere in der [[Kategorientheorie]] werden konstante Funktionen mittels Hintereinanderausführung charakterisiert:
: <math>f\colon A \to B</math> ist genau dann konstant, wenn für alle Funktionen <math>g,h\colon C \to A</math> gilt: <math>f \circ g = f \circ h</math>.

Auf diese Weise werden konstante [[Morphismus|Morphismen]] sauber definiert. Gebräuchlich ist weiterhin: Ist für jede Funktion <math>g\colon C \to A</math> die Verknüpfung <math>f \circ g </math> konstant, dann ist auch <math>f</math> konstant.

== Eigenschaften, bekannte Funktionen ==
Im Fall einer konstanten Funktion von den [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] in die reellen Zahlen ist ihr [[Funktionsgraph|Graph]] eine zur [[Abszisse|x-Achse]] [[Parallel (Geometrie)|parallele]] („waagerechte“) [[Gerade]].

* Ist der Wert der Funktion die [[Zahl]] [[Null]], so handelt es sich um den Spezialfall der [[Nullfunktion]] (oder Nullabbildung). Sowohl in der reellen als auch der komplexen [[Differentialrechnung]] ist die [[Differentialrechnung|Ableitung]] einer konstanten Funktion die Nullfunktion. Definiert man eine [[Vektorraum]]-Struktur auf einer Menge von Funktionen, so entspricht die Nullfunktion stets dem [[Nullvektor]].

* Ist der Funktionswert [[Eins]], so spricht man häufig von der ''Einsfunktion''. Sie ist die Ableitung der [[Identische Abbildung|Identität]].
: Der Begriff „Einsfunktion“ wird jedoch noch in einem anderen Kontext verwendet. Mittels Hintereinanderausführung kann eine Gruppenstruktur auf einer Menge von Funktionen definiert werden. Das [[Neutrales Element|neutrale Element]] dieser [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] wird auch oft mit „Einsfunktion“ bezeichnet, ist aber keine konstante Funktion, sondern die [[identische Abbildung]].

* [[Polynom]]e nullten Grades sind konstante Funktionen. Zwischen [[Vektorraum|Vektorräumen]] ist eine konstante Funktion genau dann eine [[lineare Abbildung]], wenn es sich um die Nullfunktion handelt.

Die Konstanz einer Funktion ist nicht immer augenfällig: Betrachtet man eine beliebig vorgegebene Funktion, so kann sie konstant sein, obwohl ihr Funktionsterm scheinbar vom Argument abhängt. Ein Beispiel ist die Funktion <math>f\colon \Z/2\Z \to \Z/2\Z</math>, also auf dem [[Restklassenring]] [[modulo]] 2, mittels <math>f(x) = x^2 - x</math>. Diese Funktion ist konstant <math>0</math> (da <math>0^2-0=0</math> und <math>1^2-1=0</math>).

== Weitere Zusammenhänge, Verallgemeinerungen ==
* Der [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] besagt, dass eine [[Beschränktheit|beschränkte]], [[Ganze Funktion|ganze]] Funktion konstant ist. Daraus folgt auch, dass eine [[elliptische Funktion]] ohne [[Polstelle#Komplexe Funktionen|Polstelle]] konstant ist.
* Eine Verallgemeinerung von konstanten Funktionen sind [[lokal konstante Funktion]]en, bei denen für jedes Argument <math>x</math> eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] um <math>x</math> existiert, auf der sie konstant sind. Damit lassen sich beispielsweise folgende Sätze formulieren:
** Sei <math>Y</math> eine Menge, die mehr als ein Element enthält. Ein [[topologischer Raum]] <math>X</math> ist [[zusammenhängend]], wenn jede lokal konstante Funktion <math>f\colon X \to Y</math> konstant ist.
** Sei <math>g\colon A \to B</math> eine [[stetige Funktion]] zwischen zwei topologischen Räumen. Ist <math>A</math> zusammenhängend und <math>B</math> [[Diskrete Topologie|diskret]], so ist <math>g</math> konstant.

== Literatur ==
Zum mengentheoretischen Funktionsbegriff:
* {{Literatur
|Autor=[[Paul Richard Halmos]]
|Hrsg=H. Kirsch, H. G. Steiner
|Titel=Naive Mengenlehre
|Sammelwerk=Moderne Mathematik in elementarer Darstellung
|Auflage=5.
|Verlag=Vandenhoeck & Ruprecht
|Ort=Göttingen
|Datum=1994
|ISBN=3-525-40527-8
|Seiten=43–47
|Originaltitel=Naive Set Theory
|Originalsprache=en-US
|Übersetzer=Manfred Armbust und Fritz Ostermann}}

Konstante Funktionen in der reellen und komplexen Analysis:
* {{Literatur
|Autor=[[Harro Heuser]]
|Titel=Lehrbuch der Analysis
|Band=Teil 1
|Auflage=8.
|Verlag=B. G. Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1988
|ISBN=3-519-12231-6}}
In der Funktionentheorie, zum Satz von Liouville:
* {{Literatur
|Autor=[[Heinrich Behnke]], Friedrich Sommer
|Titel=Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen
|Auflage=Studienausgabe, 3.
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin / Heidelberg / New York
|Datum=1972
|ISBN=3-540-07768-5}}

== Einzelnachweise ==
<references></references>

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Konstante Funktion - Versionsgeschichte

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