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2024-07-04T20:13:26Z

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[[Datei:Conoid-circle.svg|300px|mini|Gerades Kreis-Konoid: Leitkurve (rot) ist ein Kreis, die Achse (blau) steht senkrecht auf der Richtebene (gelb) ]]
[[Datei:Conoid-circle-contour.svg|mini|Gerades Kreiskonoid (beschränkt wie im ersten Bild): Umrisse in 3-Tafelprojektion]]
Ein '''Konoid''' (von griechisch κωνος Kegel und -ειδης ähnlich) ist in der Mathematik eine [[Regelfläche]], deren Erzeugendenschar (Geraden) die beiden Zusatzbedingungen
* '''(1)''' Alle Erzeugenden der Fläche sind parallel zu einer Ebene, der ''Richtebene''.
* '''(2)''' Alle Erzeugenden schneiden eine feste Gerade, die ''Achse''.
erfüllt.
* Das Konoid heißt ''gerade'', falls die Achse zur Richtebene ''senkrecht'' steht.

Wegen '''(1)''' ist jedes Konoid eine ''[[Catalansche Fläche]]'' und kann durch eine Parameterdarstellung
* <math>\mathbf x(u,v)= \mathbf c(u) + v\mathbf r(u)\ ,</math>
beschrieben werden. Jede Flächenkurve <math>\mathbf x(u_0,v)</math> mit festem Parameter <math> u=u_0</math> ist eine Erzeugende, <math> \mathbf c(u) </math> beschreibt die ''Leitkurve'' und die Vektoren <math>\mathbf r(u)</math> sind alle parallel zur Richtebene. Die Planarität der Vektoren <math>\mathbf r(u)</math> lässt sich bei hinreichender Differenzierbarkeit durch
:<math>\det(\mathbf r,\mathbf \dot r,\mathbf \ddot r)=0 </math>
ausdrücken.
* Ist die Leitkurve ein Kreis, so heißt das Konoid ''Kreiskonoid''.
''Bemerkung:''
#Ein Konoid ist (wie eine Gerade) unbeschränkt. Eine grafische Darstellung kann also immer nur einen endlichen Teil der Fläche zeigen.
#Der Begriff Konoid wurde bereits von [[Archimedes]] in seinem Traktat ''Über Konoide und Sphäroide'' geprägt.

== Beispiele ==
=== Gerades Kreiskonoid ===
Die Parameterdarstellung
:<math> \mathbf x(u,v)=(\cos u,\sin u,0) + v (0,-\sin u,z_0) \ ,\ 0\le u <2\pi, v\in \R</math>
:beschreibt ein ''gerades'' Kreiskonoid mit dem Einheitskreis in der x-y-Ebene als ''Leitkurve'' und einer zur y-z-Ebene parallelen ''Richtebene''. Die ''Achse'' ist die Gerade <math>(x,0,z_0) \ x\in \R \ .</math>

''Besonderheiten'': 1) Jeder horizontale Schnitt ist eine Ellipse, 2) Die Umrisse der im Bild gezeigten Teilfläche bzgl. der Hauptrichtungen sind ein Rechteck, ein Kreis und ein Dreieck (s. 2. Bild), 3) <math>(1-x^2)(z-z_0)^2-y^2z_0^2=0</math> ist eine implizite Darstellung, das heißt, das gerade Kreiskonoid ist eine Fläche 4. Grades. 4) Die [[Keplersche Fassregel]] liefert bei einem geraden Kreiskonoid mit Grundkreisradius <math>r</math> und Höhe <math>h</math> das exakte Volumen: <math> V=\tfrac{\pi}{2}r^2h</math>.

Die implizite Darstellung wird von der ganzen Gerade <math>(x,0,z_0)</math> erfüllt. In den Punkten dieser Gerade existieren keine [[Tangentialebene]]n. Man nennt solche Punkte ''singulär''.

=== Hyperbolisches Paraboloid ===
[[Datei:Hyp-paraboloid.svg|250px|mini|Hyperbolisches Paraboloid als Konoid<br />
rot: Leitkurve, blau:Achse, Richtebene ist parallel zur y-z-Ebene]]
Die Parameterdarstellung
:<math> \mathbf x(u,v)=(u,-1,-u) +v(0,1,u)</math>
:::<math>=(u,v-1,u(v-1)), \ u,v \in \R \ , </math>
:beschreibt das [[Hyperbolisches Paraboloid|hyperbolische Paraboloid]] mit der Gleichung <math>z=xy \ .</math> Es ist eine Fläche 2. Grades ([[Quadrik]]).
Die Leitkurve dieses Konoids ist die Gerade <math>(0,-1,0)+u(1,0,-1)</math> (im Bild rot), die Richtebene ist parallel zur y-z-Ebene. Wählt man die x-Achse als Achse, ist das Konoid ''gerade''. Da bei diesem Beispiel durch jeden Punkt <math>\mathbf x(u_0,v_0)</math> der Fläche außer der Erzeugenden <math> \mathbf x(u_0,v)</math> auch die weitere Gerade <math> \mathbf x(u,v_0)</math> verläuft, kann man auch eine dieser weiteren Geraden als Achse wählen. Allerdings ist nur die zuerst genannte Achse senkrecht zur Richtebene. In diesem Fall könnte man die x-Achse sowohl als Leitkurve als auch als Achse wählen.

Das hyperbolische Paraboloid besitzt keine singulären Punkte.

=== Plücker-Konoid ===
[[Datei:Pluecker-conoid.svg|250px|mini|Plücker Konoid<br />
rot: Leitkurve, blau: Achse, <br />
die Richtebene ist parallel zur x-y-Ebene]]
Die Parameterdarstellung
:<math> \mathbf x(u,v)=\left(0,0,c\sin u\cos u)+v(\cos u,\sin u,0\right)</math>
:::: <math>=\left(v\cos u,v\sin u,c\sin u\cos u\right)\ ,0\le u <\pi\ , \ v \in \R \ , c>0 \ ,</math>
stellt ein '''[[Julius Plücker|Plücker]]-Konoid''' mit der Gleichung
:<math>(x^2+y^2)z=c\;xy </math> dar.
Die ''Leitkurve'' ist eine zweifach durchlaufene Strecke auf der z-Achse, die ''Achse'' des Konoids ist die z-Achse und die Richtebene ist parallel zur x-y-Ebene. Da die Achse senkrecht auf der Richtebene steht, ist das Konoid ''gerade''.

Die implizite Darstellung wird von der ganzen z-Achse erfüllt. Die Punkte der z-Achse sind singulär (es existieren keine Tangentialebenen).

=== Whitney Umbrella ===
[[Datei:Whitney-umbrella.svg|250px|mini|Whitney Umbrella]]
Die Parameterdarstellung
:<math> \mathbf x(u,v)=\left(0,0,u^2\right)+ v\left(u,1,0\right)</math>
:::: <math>=\left(uv,v,u^2\right)\ , u,v \in \R \ ,</math>
stellt einen ''[[Hassler Whitney|Whitney]] Umbrella'' mit der Gleichung <math> x^2=y^2z</math> dar. Die Fläche ist ein Konoid mit der zweifach durchlaufenen positiven z-Achse als ''Leitkurve'', der z-Achse als ''Achse'' und einer zur x-y-Ebene parallelen ''Richtebene''. Da die Achse senkrecht auf der Richtebene steht, ist auch dieses Konoid ''gerade''.

Die implizite Darstellung wird auch von der negativen z-Achse, dem Griff des Schirms, erfüllt. Die Punkte der z-Achse sind singulär (es existieren keine Tangentialebenen).

=== Parabolisches Konoid ===
[[Datei:Conoid-parabolic.svg|250px|mini|Parabolisches Konoid: Leitkurve ist eine Parabel]]
Die Parameterdarstellung
:<math> \mathbf x(u,v)=\left(1,u,-u^2\right)+ v\left(-1,0,u^2\right)</math>
:::: <math>=\left(1-v,u,-(1-v)u^2\right)\ , u,v \in \R \ ,</math>
stellt ein ''parabolisches Konoid'' mit der Gleichung <math> z=-xy^2</math> dar. Das Konoid hat eine Parabel als ''Leitkurve'', die y-Achse als ''Achse'' und eine zur x-z-Ebene parallele ''Richtebene''. Da die Achse senkrecht auf der Richtebene steht, ist das Konoid ''gerade''. Es wird in der Architektur als Dachfläche benutzt (s. Anwendungen).

Das parabolische Konoid besitzt keine singulären Punkte.

=== Wendelfläche ===
Auch die [[Wendelfläche]] ist ein gerades Konoid. Sie besitzt keine Singularitäten.

== Anwendungen ==
[[Datei:Pouziti konoidu1.jpg|mini|Konoid in der Architektur]]
[[Datei:Pouziti konoidu3.jpg|mini|Konoide in der Architektur]]
=== In der Mathematik ===
Unter den Konoiden gibt es zahlreiche einfache Beispiele von Flächen mit [[Singularität (Mathematik)|Singularitäten]].

=== In der Architektur ===
Konoide finden, wie andere Regelflächen auch, in der Architektur Verwendung, da sie sich leicht aus Strecken (Balken, Stäbe) modellieren lassen. ''Gerade'' Konoide können besonders leicht hergestellt werden: Man fädelt Stäbe so auf eine Achse auf, dass sie sich nur um diese Achse drehen können. Anschließend lenkt man die Stäbe mit Hilfe einer beliebigen Leitkurve aus und erzeugt damit ein gerades Konoid. (Siehe parabolisches Konoid.)

== Weblinks ==
* [https://mathworld.wolfram.com/PlueckersConoid.html mathworld: Plückers Conoid]
* [https://mathcurve.com/surfaces/plucker/plucker.shtml mathcurve: Pluecker Konoid]
* [https://mathcurve.com/surfaces/conoide_parabolique/conoide_parabolique.shtml mathcurve: parabolisches Konoid]
* [https://k3dsurf.sourceforge.net/ K3Dsurf: 3d surface generator]

== Literatur ==
* ''Kleine Enzyklopädie Mathematik'', Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 219.

[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]

Konoid - Versionsgeschichte

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