imported>Rigormath: /* Definition */ Die Konjugierte einer Zahl a ᵢ ⱼ ist gemeint, und so sollte der Überstrich über a ᵢ ⱼ stehen, nicht nur über a.

2025-04-25T13:38:38Z

Definition: Die Konjugierte einer Zahl a ᵢ ⱼ ist gemeint, und so sollte der Überstrich über a ᵢ ⱼ stehen, nicht nur über a.

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Die '''konjugierte Matrix''', kurz '''Konjugierte''', ist in der [[Mathematik]] diejenige [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], die durch [[komplexe Konjugation]] aller Elemente einer gegebenen [[Komplexe Zahl|komplexen]] Matrix entsteht. Die Umwandlung einer Matrix in ihre konjugierte Matrix wird '''Konjugation''' der Matrix genannt. Die Konjugationsabbildung, die einer Matrix ihre Konjugierte zuordnet, ist stets [[Bijektive Funktion|bijektiv]], [[Lineare Abbildung|linear]] und [[Involution (Mathematik)|selbstinvers]]. Viele Kenngrößen konjugierter Matrizen, wie [[Spur (Mathematik)|Spur]], [[Determinante]] und [[Eigenwerte]], sind gerade die komplex Konjugierten der jeweiligen Kenngrößen der Ausgangsmatrizen.

Die konjugierte Matrix wird beispielsweise bei der Definition der [[Adjungierte Matrix|adjungierten Matrix]] verwendet, die durch Konjugation und [[Transponierte Matrix|Transposition]] einer gegebenen Matrix entsteht. Zudem wird die konjugierte Matrix auch in der Definition der konjugierten [[Ähnlichkeit (Matrix)|Ähnlichkeit]] von Matrizen eingesetzt.

== Definition ==

Ist <math>A = (a_{ij}) \in \Complex^{m \times n}</math> eine [[Komplexe Zahl|komplexe]] [[Matrix (Mathematik)|Matrix]],

:<math>
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & \dots &a_{1n} \\
\vdots & &\vdots \\
a_{m1} & \dots &a_{mn}
\end{pmatrix}
</math>

dann ist die zugehörige konjugierte Matrix <math>\bar{A} \in \Complex^{m \times n}</math> definiert als

:<math>\bar{A} = (\overline{a_{ij}}) = \begin{pmatrix} \overline{a_{11}} & \dots & \overline{a_{1n}} \\ \vdots & & \vdots \\ \overline{a_{m1}} & \dots & \overline{a_{mn}} \end{pmatrix}</math>.

Die konjugierte Matrix <math>\bar{A}</math> ergibt sich also dadurch, dass alle Einträge der Ausgangsmatrix <math>A</math> [[Komplexe Konjugation|komplex konjugiert]] werden. Gelegentlich wird die konjugierte Matrix auch durch <math>A^\ast</math> notiert, wobei dann allerdings Verwechslungsgefahr mit der [[Adjungierte Matrix|adjungierten Matrix]] besteht, die ebenso bezeichnet wird.

== Beispiele ==

Die Konjugierte der Matrix

:<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 2+i & 3-2i \\ 4i & -5 & -6-3i \end{pmatrix} \in \Complex^{2 \times 3}</math>

ist die Matrix

:<math>\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2-i & 3+2i \\ -4i & -5 & -6+3i \end{pmatrix} \in \Complex^{2 \times 3}</math>.

Für eine komplexe Matrix mit ausschließlich [[Reelle Zahl|reellen]] Einträgen ist die Konjugierte gleich der Ausgangsmatrix.

== Eigenschaften ==

=== Rechenregeln ===

Die folgenden Rechenregeln für konjugierte Matrizen folgen direkt aus den [[Komplexe Konjugation#Rechenregeln|Rechenregeln der komplexen Konjugation]]. Es gelten

:<math>\overline{z \cdot A} = \bar{z} \cdot \bar{A}</math>
:<math>\overline{A + B} = \bar{A} + \bar{B}</math>
:<math>\overline{A \cdot C} = \bar{A} \cdot \bar{C}</math>
:<math>\bar{\bar{A}} = A</math>

für alle Matrizen <math>A,B \in \Complex^{m \times n}</math>, <math>C \in \Complex^{n \times k}</math> und alle Skalare <math>z \in \Complex</math>.

=== Transponierte ===

Die Konjugierte der [[Transponierte Matrix|transponierten Matrix]] ist gleich der Transponierten der konjugierten Matrix, das heißt

:<math>\overline{A^\mathsf{T}} = \left( \bar{A} \right)^\mathsf{T}</math>.

Diese Matrix wird [[adjungierte Matrix]] von <math>A</math> genannt und meist mit <math>A^\mathsf{H}</math> oder <math>A^*</math> bezeichnet.

=== Inverse ===

Die Konjugierte einer [[Reguläre Matrix|regulären Matrix]] <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> ist stets ebenfalls regulär. Für die Konjugierte der [[Inverse Matrix|Inversen]] einer regulären Matrix gilt dabei

:<math>\overline{A^{-1}} = \left( \bar{A} \right)^{-1}</math>.

Die Konjugierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der konjugierten Matrix.

=== Exponential und Logarithmus ===

Für das [[Matrixexponential]] der Konjugierten einer quadratischen Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> gilt

:<math>\exp (\bar{A}) = \overline{\exp A}</math>.

Entsprechend gilt für den [[Matrixlogarithmus]] der Konjugierten einer regulären komplexen Matrix

:<math>\ln(\bar{A}) = \overline{\ln A}</math>.

=== Konjugationsabbildung ===

Die [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]]

:<math>\Complex^{m \times n} \to \Complex^{m \times n}, \quad A \mapsto \bar{A}</math>,

die einer Matrix ihre Konjugierte zuordnet, wird ''Konjugationsabbildung'' genannt. Aufgrund der vorstehenden Gesetzmäßigkeiten besitzt die Konjugationsabbildung die folgenden Eigenschaften.

* Die Konjugationsabbildung ist stets [[Bijektive Funktion|bijektiv]], [[Lineare Abbildung|linear]] und [[Involution (Mathematik)|selbstinvers]].
* Im [[Matrizenraum]] <math>\Complex^{m \times n}</math> stellt die Konjugationsabbildung einen [[Automorphismus]] dar.
* In der [[Allgemeine lineare Gruppe|allgemeinen linearen Gruppe]] <math>\operatorname{GL}(n,\Complex)</math> und im [[Matrizenring]] <math>\Complex^{n \times n}</math> stellt die Konjugationsabbildung (für <math>m = n</math>) ebenfalls einen Automorphismus dar.

=== Kenngrößen ===

Für den [[Rang (Lineare Algebra)|Rang ]] der Konjugierten einer Matrix <math>A \in \Complex^{m \times n}</math> gilt

:<math>\operatorname{rang}{\bar{A}} = \operatorname{rang}(A)</math>.

Für die [[Spur (Mathematik)|Spur]] der Konjugierten einer quadratischen Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> gilt jedoch

:<math>\operatorname{spur}{\bar{A}} = \overline{\operatorname{spur}(A)}</math>.

Ebenso gilt für die [[Determinante]] der Konjugierten einer quadratischen Matrix

:<math>\det{\bar{A}} = \overline{\det(A)}</math>.

Für das [[Charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]] von <math>\bar{A}</math> ergibt sich daraus

:<math>\chi_{\bar{A}}(\lambda) = \det(\lambda I - \bar{A}) = \det\overline{(\bar\lambda I - A)} = \overline{\det(\bar\lambda I - A)} = \overline{\chi_{A}(\bar\lambda)}</math>.

Die [[Eigenwert]]e von <math>\bar{A}</math> sind demnach gerade die komplex Konjugierten der Eigenwerte von <math>A</math>. Auch die zugehörigen [[Eigenvektor]]en können komplex konjugiert gewählt werden.

=== Normen ===

Für die [[Frobeniusnorm]] und die [[Spektralnorm]] der Konjugierten einer Matrix <math>A \in \Complex^{m \times n}</math> gilt

:<math>\| \bar{A} \|_F = \| A \|_F</math>   und   <math>\| \bar{A} \|_2 = \| A \|_2</math>.

Auch für die [[Zeilensummennorm|Zeilensummen-]] und die [[Spaltensummennorm]] der Konjugierten gilt

:<math>\| \bar{A} \|_1 = \| A \|_1</math>   und   <math>\| \bar{A} \|_\infty = \| A \|_\infty</math>.

Diese [[Matrixnorm]]en bleiben demnach unter Konjugation erhalten.

== Verwendung ==

=== Spezielle Matrizen ===

Die konjugierte Matrix wird in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] unter anderem bei folgenden Definitionen verwendet:

* Die [[adjungierte Matrix]] ist diejenige Matrix, die durch Konjugation und Transposition einer gegebenen komplexen Matrix entsteht, also <math>A^\mathsf{H} = \overline{A^\mathsf{T}} = (\bar{A})^\mathsf{T}</math>.
* Eine [[hermitesche Matrix]] ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Transponierte gleich ihrer Konjugierten ist, das heißt <math>A^\mathsf{T} = \bar{A}</math>.
* Eine [[schiefhermitesche Matrix]] ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Transponierte gleich dem Negativen ihrer Konjugierten ist, das heißt <math>A^\mathsf{T} = -\bar{A}</math>.
* Eine komplexe Matrix ist genau dann [[Reelle Zahl|reell]], wenn sie gleich ihrer konjugierten Matrix ist, das heißt, wenn <math>A = \bar{A}</math> gilt.

=== Produkt mit der Konjugierten ===

Für eine komplexe Zahl <math>z</math> ist die Zahl <math>z \bar{z}</math> als [[Betragsquadrat]] stets reell und nichtnegativ. Für eine komplexe quadratische Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> muss jedoch die Matrix <math>A \bar{A}</math> nicht notwendigerweise reell sein. Die Determinante von <math>A \bar{A}</math> ist allerdings stets reell und nichtnegativ, denn es gilt mit dem [[Determinantenproduktsatz]]

:<math>\det(A \bar{A}) = \det(A) \cdot \det(\bar{A}) = \det(A) \cdot \overline{\det(A)}</math>.

Die Eigenwerte der Matrix <math>A \bar{A}</math> müssen ebenfalls nicht alle reell sein, jedoch treten die nicht-reellen Eigenwerte paarweise komplex konjugiert auf. Die Matrix <math>A \bar{A}</math> tritt beispielsweise bei der Analyse [[Symmetrische Matrix#Komplexe symmetrische Matrizen|komplexer symmetrischer Matrizen]] auf.<ref>{{Literatur|Autor=Roger A. Horn, Charles R. Johnson|Titel=Matrix Analysis|Verlag=Cambridge University Press|Jahr=2012|Seiten=261ff}}</ref>

=== Konjugierte Ähnlichkeit ===

Zwei quadratische Matrizen <math>A, B \in \Complex^{n \times n}</math> heißen ''konjugiert ähnlich'' ({{EnS|''consimilar''}}), wenn eine reguläre Matrix <math>S \in \Complex^{n \times n}</math> existiert, sodass

:<math>B = S^{-1}~A~\bar{S}</math>

gilt. Die konjugierte Ähnlichkeit stellt ebenso wie die normale [[Ähnlichkeit (Matrix)|Ähnlichkeit]] eine [[Äquivalenzrelation]] auf der Menge der quadratischen Matrizen dar. Zwei reguläre Matrizen <math>A, B \in \Complex^{n \times n}</math> sind dabei genau dann zueinander konjugiert ähnlich, wenn die Matrix <math>A \bar{A}</math> ähnlich zu der Matrix <math>B \bar{B}</math> ist.<ref>{{Literatur|Autor=Roger A. Horn, Charles R. Johnson|Titel=Matrix Analysis|Verlag=Cambridge University Press|Jahr=2012|Seiten=300ff}}</ref>

== Literatur ==

* {{Literatur|Autor=[[Siegfried Bosch]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Springer|Jahr=2006|ISBN=3-540-29884-3}}
* {{Literatur|Autor=Roger A. Horn, Charles R. Johnson|Titel=Matrix Analysis|Verlag=Cambridge University Press|Jahr=2012|ISBN=0-521-46713-6}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==

* {{MathWorld|title=Conjugate Matrix|id=ConjugateMatrix}}

[[Kategorie:Matrix]]

Konjugierte Matrix - Versionsgeschichte

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