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2025-07-27T11:45:26Z

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[[Datei:Ellipse-konj-durchm-def.svg|450px|mini|Definitionen konjugierter Durchmesser einer Ellipse:<br />
oben: KD1, Mitte: KD2, unten KD3]]
'''Konjugierte Durchmesser''' sind in der Geometrie zwei Durchmesser einer [[Ellipse]], die in einer besonderen Beziehung zueinander stehen. Dabei bedeutet Durchmesser eine [[Sehne (Geometrie)|Sehne]] durch den Mittelpunkt. Ist die Ellipse ein Kreis, so sind zwei Durchmesser genau dann konjugiert, wenn sie orthogonal sind.

== Definition ==
In der Literatur findet man die folgenden äquivalenten Definitionen:<ref> Ulrich Graf, Martin Barner: ''Darstellende Geometrie.'' Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 106.</ref><ref>C. Leopold: ''Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung.'' Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 61.</ref><ref>Rudolf Fucke, Konrad Kirch, Heinz Nickel: ''Darstellende Geometrie.'' Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 183.</ref>

* KD1: Die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers <math>d_1</math> einer Ellipse sind parallel. Ist <math>d_2</math> der zu diesen Tangenten parallele Durchmesser, so gilt auch die Umkehrung: Die Tangenten in den Endpunkten von <math>d_2</math> sind zu <math>d_1</math> parallel.
:Zwei Durchmesser <math>d_1, d_2</math> einer Ellipse heißen '''konjugiert''', wenn die Tangenten in den Endpunkten des einen Durchmessers parallel sind zum anderen Durchmesser.
* KD2: Die Mittelpunkte der zu einem Durchmesser <math>d_1</math> parallelen Sehnen einer Ellipse liegen auf einem Durchmesser <math>d_2</math>. Und umgekehrt: Die Mittelpunkte der zu <math>d_2</math> parallelen Sehnen liegen auf <math>d_1</math>.
: Zwei Durchmesser <math>d_1,d_2</math> heißen ''konjugiert'', wenn die Mittelpunkte der zu <math>d_1</math> parallelen Sehnen auf <math>d_2</math> liegen.
* KD3: Fasst man eine Ellipse als [[Affine Abbildung|affines Bild]] des Einheitskreises auf, so heißen die Bilder orthogonaler Kreisdurchmesser ''konjugiert''.

Der ''Beweis'' der Eigenschaften in KD1 und KD2 ergibt sich aus der Tatsache, dass eine beliebige Ellipse ein affines Bild des Einheitskreises ist (siehe [[Ellipse (Darstellende Geometrie)]]). Denn die beiden Eigenschaften sind bei einem Kreis offensichtlich richtig, und eine affine Abbildung bildet Mittelpunkte auf Mittelpunkte ab und erhält die Parallelität.

Die ''Hauptachsen'' einer Ellipse sind immer konjugiert.

Zwei '''konjugierte Halbmesser''' einer Ellipse sind zwei auf verschiedenen zueinander konjugierten Durchmessern liegende halbe Durchmesser.<br />
Zwei '''konjugierte Punkte''' einer Ellipse sind zwei auf verschiedenen zueinander konjugierten Durchmessern liegende Ellipsenpunkte.<br />
Zwei '''Richtungen''' (Vektoren) heißen '''konjugiert''', wenn es ein dazu paralleles Paar von konjugierten Durchmessern der Ellipse gibt.

Konjugierte Durchmesser spielen in der [[Darstellende Geometrie|Darstellenden Geometrie]] bei der [[Rytzsche Achsenkonstruktion|Rytzschen Achsenkonstruktion]] eine wichtige Rolle (siehe [[Ellipse (Darstellende Geometrie)|Ellipse in der Darstellenden Geometrie]]). Dabei werden aus der Kenntnis zweier konjugierter Halbmesser die Hauptachsen einer Ellipse rekonstruiert.
{{Absatz}}
<gallery widths="200" heights="200" class="float-right">
File:Hyperbel-psehnen-s.svg|Hyperbel: Mittelpunkte paralleler Sehnen
Datei:Parabel-psehnen-s.svg|Parabel: Mittelpunkte paralleler Sehnen
</gallery>

''Bemerkung:''
# Die Mittelpunkte paralleler Sehnen einer ''[[Hyperbel (Mathematik)#Mittelpunkte paralleler Sehnen|Hyperbel]]'' liegen auch auf einer Gerade durch den Mittelpunkt. Diese Gerade muss aber keine Sehne sein, nämlich dann, wenn die parallelen Sehnen beide Äste der Hyperbel schneiden. Deshalb spricht man hier nur von konjugierten Richtungen. Wenn bei einer Hyperbel von konjugierten Durchmessern die Rede ist, ist mit Durchmesser ein Durchmesser der gegebenen Hyperbel oder der zu ihr konjugierten Hyperbel gemeint. (Die zur Hyperbel <math>\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}=1</math> konjugierte Hyperbel hat die Gleichung <math>-\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1</math>.)
# Die Mittelpunkte paralleler Sehnen einer ''[[Parabel (Mathematik)#Eigenschaften|Parabel]]'' liegen auch auf einer Gerade. Diese Gerade ist immer parallel zur Parabelachse (s. Bild). Da eine Parabel keinen Mittelpunkt besitzt, spricht man hier i.a. nicht von konjugierten Durchmessern. Manchmal wird eine Parallele zur Parabelachse als Durchmesser bezeichnet.

== Berechnung konjugierter Punkte einer Ellipse ==
Die Tangente an die Ellipse <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> im Punkt <math>(x_1,y_1)</math> hat die Gleichung <math>\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1</math> (siehe [[Ellipse]]). Ein zu <math>(x_1,y_1)</math> konjugierter Punkt <math>(x_2,y_2)</math> muss auf der zur Tangente parallelen Gerade durch den Nullpunkt (Mittelpunkt) liegen. Also gilt
* Zwei Punkte <math>(x_1,y_1), (x_2,y_2)</math> der Ellipse <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> sind genau dann konjugiert, wenn die Gleichung
:: <math> \frac{x_1x_2}{a^2}+\frac{y_1y_2}{b^2}=0</math>
: erfüllt ist.

Falls <math>a=b</math> , d. h. die Ellipse ein Kreis ist, gehören zwei konjugierte Punkte zwei orthogonalen Halbmessern an und die letzte Gleichung hat die vertraute Form <math>x_1x_2+y_1y_2=0</math> ([[Skalarprodukt]] =0).

Ist die Ellipse durch die Parameterdarstellung
:<math>x(t)=a\cos t,\quad y(t)=b\sin t</math>
gegeben d. h. als affines Bild des Einheitskreises <math>(\cos t,\sin t),\ 0\le t<2\pi </math>, so gehören die Punkte <math>(x(t),y(t), \ (x(t\pm\tfrac{\pi}{2}), y(t\pm\tfrac{\pi}{2})</math> als Bilder von orthogonalen Halbmessern des Einheitskreises zu konjugierten Punkten der Ellipse. Mit Hilfe der [[Additionstheoreme (Trigonometrie)|Additionstheoreme]] folgt:
* Die zwei Punkte <math>(-a\sin t,b\cos t),\ (a\sin t, -b\cos t) </math> sind zum Punkt <math>(a\cos t,b\sin t)</math> konjugiert.

== Zusammenhang mit Orthogonalitätsrelationen ==
Der vorige Abschnitt hat gezeigt, dass die Ellipse <math>\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1</math> direkt mit der symmetrischen [[Bilinearform]]
* <math>\ f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\frac{x_1x_2}{a^2}+\frac{y_1y_2}{b^2}</math>
zusammenhängt.
Diese Bilinearform definiert
* auf <math>\R^2</math> eine '''Orthogonalitätsrelation''':
:<math> (x_1,y_1), (x_2,y_2) \ne(0,0) </math> sind genau dann '''orthogonal''', wenn <math> f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\frac{x_1x_2}{a^2}+\frac{y_1y_2}{b^2}=0</math> ist, und
* auf <math>\R^2</math> eine '''Metrik''':
:<math> f((x,y),(x,y))=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}</math> ist die '''Länge''' des Vektors <math> (x,y) </math> und
* auf der Ferngerade eine '''elliptische''' [[Korrelation (Projektive Geometrie)|'''Polarität''']]. (''Elliptisch'' bedeutet hier: die Polarität hat ''keine'' Fixpunkte. Dies ist gleichbedeutend zu ''kein Vektor ist zu sich selbst orthogonal'')

Zwei konjugierte Richtungen sind also orthogonal im hier definierten Sinne und die gegebene Ellipse ist der „Einheitskreis“ bezüglich der hier definierten Metrik.

'''Bemerkung 1:'''
Die Hyperbel <math>\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}=1</math> führt mit analogen Überlegungen auf die symmetrische Bilinearform
* <math>\ f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\frac{x_1x_2}{a^2}-\frac{y_1y_2}{b^2}</math>.
:Auch hier kann man eine Orthogonalitätsrelation und eine Metrik definieren. Das besondere in diesem Fall ist: Es gibt Richtungen, die zu sich selbst orthogonal sind, nämlich die Asymptotenrichtungen, und es gibt von (0,0) verschiedene Vektoren der Länge 0 ! Diese Metrik nennt man auch ''Minkowski-Metrik'' und die zugehörigen „Kreise“ (=Hyperbeln) ''Minkowski-Kreise'' oder ''pseudoeuklidische Kreise''. Dieser Fall spielt in der [[Relativitätstheorie]] eine wesentliche Rolle. Auf der Ferngerade induziert die Bilinearform eine ''hyperbolische'' [[Korrelation (Projektive Geometrie)|''Polarität'']]. (Hyperbolisch bedeutet hier: Die Polarität hat ''zwei'' Fixpunkte.)

'''Bemerkung 2:'''
Versucht man analoge Überlegungen für eine Parabel, so führt dies auf eine „unbrauchbare“ Orthogonalitätsrelation. In diesem Fall wären nämlich alle Richtungen zur Richtung der Parabelachse orthogonal.

== Siehe auch ==
* [[Satz von Apollonios]]
== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Darstellende Geometrie]]
[[Kategorie:Ebene Geometrie]]

Konjugierte Durchmesser - Versionsgeschichte

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