imported>Rigormath: /* Kongruenz ganzer Zahlen */ Die Kongruenzklassen heißen hier Restklassen.

2026-02-14T16:18:17Z

Kongruenz ganzer Zahlen: Die Kongruenzklassen heißen hier Restklassen.

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In der [[Mathematik]], genauer der [[Algebra]], nennt man eine [[Äquivalenzrelation]] auf einer [[Algebraische Struktur|algebraischen Struktur]] eine '''Kongruenzrelation''', wenn die [[Algebraische Struktur#Definition|fundamentalen Operationen]] der algebraischen Struktur mit dieser Äquivalenzrelation [[Verträglichkeit (Mathematik)|verträglich]] sind.

== Definitionen ==
=== Kongruenzrelation und Quotientenalgebra ===
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge <math>A</math> hat nicht notwendigerweise etwas mit der [[Mathematische Struktur|Struktur]] zu tun, die darauf definiert ist. Speziell in der Algebra sind jedoch solche Äquivalenzrelationen <math>\equiv</math> von besonderem Interesse, deren ([[Surjektivität|surjektive]]) [[Quotientenabbildung]]
: <math>\mathrm q_{\equiv}\colon\, A \twoheadrightarrow A/{\equiv},\, a \mapsto [a]_{\equiv},</math>
mit der algebraischen Struktur <math>\mathbf A = (A, (f_i)_{i \in I})</math> verträglich bzw. ein [[Homomorphismus]] ist. Denn dann ist die von <math>\mathrm q_{\equiv}</math> induzierte Struktur auf der [[Äquivalenzrelation#Quotientenmenge und Partition|Quotientenmenge]] <math>A/{\equiv}</math>, die sogenannte ''Faktor-'' oder ''Quotientenalgebra'' <math>\mathbf A/{\equiv} := (A/{\equiv}, (f_{i,\equiv})_{i \in I})</math> von <math>\mathbf A</math> nach <math>\equiv</math> mit Operationen <math>f_{i,\equiv}</math>,
: <math>f_{i,\equiv}([a_1]_{\equiv}, \dotsc, [a_{n_i}]_{\equiv}) := [f_i(a_1, \dotsc, a_{n_i})]_{\equiv}</math> für alle <math>a_{1\!\;\!}, \dotsc, a_{n_i\!} \in A</math> und jedes <math>i \in I</math>,
von der gleichen Art wie die von <math>A</math>.

Man nennt eine solche Äquivalenzrelation <math>\equiv</math> eine ''Kongruenzrelation'' auf <math>\mathbf A</math> und zwei Elemente <math>a, b \in A</math> ''kongruent'' nach <math>\equiv</math>, wenn sie bezüglich <math>\equiv</math> äquivalent sind:
: <math>a \equiv b \iff [a]_{\equiv} = [b]_{\equiv}</math>.
Die [[Äquivalenzklasse]] <math>[a]_{\equiv}</math> von jedem <math>a \in A</math> heißt dann ''Kongruenzklasse''.

Eine Äquivalenzrelation <math>\equiv</math> auf <math>A</math> ist genau dann eine Kongruenzrelation auf einer algebraischen Struktur <math>\mathbf A = (A, (f_i)_{i \in I})</math>, wenn alle fundamentalen Operationen <math>f_i</math>, <math>i \in I</math>, verträglich sind mit <math>\equiv</math>, d. h. für alle <math>a_{1\!\;\!}, \dotsc, a_{n_i\!\;\!}, b_1, \dotsc, b_{n_i\!} \in A</math>, <math>n_i \in \N</math>, mit <math>a_{1\!} \equiv b_1, \dotsc, a_{n_i\!} \equiv b_{n_i\!}</math> gilt:
: <math>f_i(a_1, \dotsc, a_{n_i\!\;\!}) \equiv f_i(b_1, \dotsc, b_{n_i\!\;\!})</math>.

=== Kern eines Homomorphismus ===
Sind <math>\mathbf A = (A, (f_i)_{i \in I})</math> und <math>\mathbf B = (B, (g_i)_{i \in I})</math> zwei [[Algebraische Struktur#Arten algebraischer Strukturen|algebraische Strukturen gleicher Art]] und ist <math>\varphi\colon\, \mathbf A \to \mathbf B</math> ein Homomorphismus dieser Art, dann ist der ''[[Äquivalenzrelation#Kern einer Funktion|Kern]] von <math>\varphi</math>''
: <math>\ker\varphi := \varphi^{-1} \circ \varphi = \{(a,b) \in A \times A \mid \varphi(a) = \varphi(b)\} =\colon \equiv</math>
eine Kongruenzrelation <math>\equiv</math> auf <math>\mathbf A</math> und für alle <math>a \in A</math> gilt:
: <math>[a]_{\equiv} = \varphi^{-1}(\{\varphi(a)\}) = \varphi^{-1}(\varphi(\{a\})) = \ker \varphi(\{a\})</math>.

<math>\varphi</math> lässt sich wie folgt in einen surjektiven, einen [[Bijektivität|bijektiven]] sowie einen [[Injektivität|injektiven]] Homomorphismus [[Funktion (Mathematik)#Verkettung|zerlegen]] ([[Homomorphiesatz]]):
: <math>\varphi = \mathrm i_{\varphi} \circ \varphi^{\equiv\!} \circ \mathrm q_{\equiv}</math>
mit <math>\varphi^{\equiv}\colon\, A/{\equiv} \;{\!\;\twoheadrightarrow\;\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\rightarrowtail}\; \varphi(A),\, [a]_{\equiv} \mapsto \varphi(a),</math> und der [[Inklusionsabbildung]] <math>\mathrm i_{\varphi}\colon\, \varphi(A) \rightarrowtail B,\, \varphi(a) \mapsto \varphi(a)</math>.

== Verallgemeinerung ==
=== Quotientenstruktur ===
Allgemein spielen diejenigen Äquivalenzrelationen <math>\equiv</math> auf einer Menge <math>A</math> eine wichtige Rolle, deren Quotientenabbildung
: <math>\mathrm q_{\equiv}\colon\, A \twoheadrightarrow A/{\equiv},\, a \mapsto [a]_{\equiv},</math>
mit der [[Mathematische Struktur|Struktur]] <math>\mathbf A = (A, (R_i)_{i \in I})</math> auf <math>A</math> verträglich bzw. ein [[Homomorphismus#Homomorphismen relationaler Strukturen|Homomorphismus]] ist.

Die durch <math>\mathrm q_{\equiv}</math> gegebene Struktur auf der Quotientenmenge <math>A/{\equiv}</math>, die sogenannte ''Faktor-'' oder ''Quotientenstruktur'' <math>\mathbf A/{\equiv} := (A/{\equiv}, (R_{i,\equiv})_{i \in I})</math> mit [[Relation (Mathematik)|Relationen]] <math>R_{i,\equiv}</math>,
: <math>([a_1]_{\equiv}, \dotsc, [a_{n_i}]_{\equiv}) \in R_{i,\equiv} \;:\!\iff (a_1, \dotsc, a_{n_i}) \in R_i\;\;</math> für jedes <math>i \in I</math>,
ist dann wieder von der gleichen Art wie die von <math>A</math>.

Insbesondere sind dann auch alle zu <math>\mathbf A</math> gehörenden [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] mit <math>\equiv</math> verträglich.

== Spezielle Kongruenzen ==
=== Normalteiler einer Gruppe ===
Bezeichne nun <math>\mathbf G = (G, *)</math> eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], <math>e</math> deren [[neutrales Element]] und <math>\mathbf N = (N, *)</math> eine beliebige ''[[normale Untergruppe]]'' von <math>\mathbf G</math>.

Für jedes <math>a \in G</math> sei
: <math>aN := \{a*n \mid n \in N\}</math>
die zugehörige [[Gruppentheorie#Nebenklassen|Nebenklasse]] des ''Normalteiler''s <math>N</math>.<ref name="Traeger">Zwischen einer Gruppe <math>\mathbf G = (G, *)</math> und ihrer Trägermenge <math>G</math> wird in der Literatur meist nicht klar unterschieden.</ref> Mit
: <math>G/N := \{aN \mid a \in G\}</math>
und dem [[Komplexprodukt]] <math>\cdot</math> bildet dann <math>\mathbf G/N := (G/N, \cdot)</math> eine Gruppe mit dem neutralen Element <math>N = eN</math>: die [[Faktorgruppe]] von <math>\mathbf G</math> nach <math>N</math>.

Weil aber
: <math>\varphi_N\colon\, \mathbf G \to \mathbf G/N,\, a \mapsto aN,</math>
ein [[Gruppenhomomorphismus]] ist, ist
: <math>\equiv_{N\,} := \ker\varphi_N</math>
eine Kongruenzrelation auf <math>\mathbf G</math> und für alle <math>a, b \in G</math> gilt:
: <math>a \equiv_{N\!} b \iff \varphi_N(a) = \varphi_N(b) \iff aN = bN</math>.

Umgekehrt liefert jede beliebige Kongruenzrelation <math>\equiv</math> auf <math>\mathbf G</math> genau einen Normalteiler <math>[e]_{\equiv}</math> in <math>\mathbf G</math>.

Bei einer Gruppe entsprechen also die Normalteiler genau den Kongruenzrelationen. Daher wird für einen beliebigen Gruppenhomomorphismus <math>\varphi\colon\, \mathbf G \to \mathbf H</math> auch der Normalteiler
: <math>[e]_{\equiv} = \ker \varphi(\{e\})</math>
als der ''[[Kern (Algebra)|Kern]] von <math>\varphi</math>'' bezeichnet.

=== Kongruenz nach einem Modul ===
Eine additive [[abelsche Gruppe]] <math>\mathbf G = (G, +)</math> nennt man einen ''Modul'' (von [[Latein|lat.]] ''modulus'' Maß). Da jede [[Untergruppe]] <math>\mathbf M = (M, +)</math> von <math>\mathbf G</math> ein Modul und zudem normal ist, entsprechen die [[Trägermenge]]n der Untergruppen<ref name="Traeger" /> genau den Kongruenzrelationen auf einem Modul.

Dies gilt ebenso für die Trägermengen der ''[[Untermodul]]n'' eines [[Modul (Mathematik)|Moduls über einem Ring]] und insbesondere auch für die ''[[Untervektorraum|Untervektorräume]]'' eines [[Vektorraum]]es.

Man bezeichnet für alle <math>a \in G</math> die Nebenklasse
: <math>a + M := \{a+m \mid m \in M\}</math>
als ''Restklasse nach <math>M</math>'' oder ''Restklasse modulo <math>M</math>'' (von lat. ''modulō'', [[Ablativ]] zu ''modulus'') und die Faktorgruppe <math>\mathbf G/M := (G/M, +)</math> heißt ''Restklassenmodul'' von <math>\mathbf G</math> nach <math>M</math>.

Wenn zwei Elemente <math>a, b \in G</math> kongruent nach <math>\equiv_M</math> sind, dann nennt man sie auch ''kongruent nach dem Modul <math>M</math>''<ref name="Traeger" /> oder ''kongruent modulo <math>M</math>'' und schreibt dies
: <math>a \equiv b \pmod M\quad</math> oder <math>\quad a \equiv b \mod M\quad</math> oder kurz <math>\quad a \equiv b \;\;(M)</math>.
Es gilt:
: <math>a \equiv b \mod M \;\;\iff\;\; -b + a \in M</math>.

Ist <math>M</math> [[Untergruppe#Erzeugte Untergruppen|einfach erzeugt]] in <math>G</math>, also <math>M = \langle m\rangle := \{\zeta m \mid \zeta \in \Z\}</math> für ein <math>m \in G</math>, dann sagt man auch, dass <math>a, b</math> ''kongruent modulo <math>m</math>'' sind und notiert
: <math>a \equiv b \mod m</math>.

== Beispiele ==
=== Identitätsrelation ===
Für jede algebraische Struktur <math>\mathbf A = (A, (f_i)_{i \in I})</math> ist die durch den [[Funktionsgraph|Graphen]] der [[identische Abbildung|identischen Abbildung]] <math>\operatorname{id}_A</math> auf <math>A</math> gegebene [[Äquivalenzrelation#Identitätsrelation|Äquivalenzrelation]], die [[Identitätsrelation|''Gleichheits-'' oder ''Identitätsrelation'']]
: <math>\mathrm I_A := \{(a, b) \in A \times A \mid a = b\} = \{(a, a) \mid a \in A\}</math>,
eine Kongruenzrelation auf <math>\mathbf A</math>.

=== Allrelation ===
Auf <math>\mathbf A = (A, (f_i)_{i \in I})</math> seien nun jeweils zwei beliebige Elemente äquivalent. Dadurch ist eine [[Äquivalenzrelation#Allrelation|Äquivalenzrelation]] gegeben, die sogenannte [[Allrelation|''All-'' oder ''Universalrelation'']]
: <math>\mathrm U_A := A \times A = \{(a, b) \mid a, b \in A\}</math>,
auch sie ist eine Kongruenzrelation auf <math>\mathbf A</math>.

=== Ringideale ===
Jeder [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbf R = (R, +, \cdot)</math> ist ein Modul <math>(R, +)</math> über sich selbst und die Trägermengen der zugehörigen Untermoduln sind genau die ''[[Ideal (Ringtheorie)|Ideale des Ringes]]'', daher entsprechen die Ringideale genau den Kongruenzrelationen auf <math>\mathbf R</math>.

=== ''L<sup>p</sup>''-Raum ===
Im Vektorraum <math>(\mathcal{L}^p, +)</math> der <math>p</math>-fach [[Lebesgue-Integral|integrierbaren Funktionen]], <math>0 < p \leq \infty</math>, ist
: <math>\mathcal{U}_0 := \{f \in \mathcal{L}^p \mid f(x) = 0</math> [[fast überall]]<math>\}</math>
Trägermenge eines Unterraums von <math>(\mathcal{L}^p, +)</math>.

Den [[Quotientenvektorraum]]
: <math>(L^p, +) := (\mathcal{L}^{p\!}/\mathcal{U}_0, +)</math>
bezeichnet man als ''[[Lp-Raum|<math>L^{p\!}</math>-Raum]]''.

=== Kongruenz ganzer Zahlen ===
„Kongruenz“ nannte man ursprünglich jede auf dem [[Hauptidealring]] der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] <math>(\Z, +, \cdot)</math> definierte ''[[Kongruenz (Zahlentheorie)|Kongruenz]] zweier ganzer Zahlen <math>\alpha, \beta</math>'' modulo einer weiteren ganzen Zahl <math>\mu</math>:
: <math>\alpha \equiv \beta \mod \mu \;\;\iff\;\; \alpha - \beta \in (\mu) := \Z\mu = \{\zeta\mu \mid \zeta \in \Z\}</math>.
<math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind genau dann kongruent modulo <math>\mu</math>, wenn sie denselben [[Division mit Rest|Rest bei Division]] durch <math>\mu</math> haben. Die zugehörigen Kongruenzklassen heißen auch [[Restklasse]]n modulo <math>\mu.</math>

== Weitere Kongruenzbegriffe ==
* [[Kongruente Zahl]]
* [[Kongruenz (Geometrie)]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Stanley Burris, H. P. Sankappanavar |Titel=A Course in Universal Algebra |TitelErg=Millennium Edition |Nummer=2012 Update |ISBN=978-0-9880552-0-9 |Online=[https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra2012.pdf math.uwaterloo.ca] |Format=PDF |KBytes=4400}}
* {{Literatur |Autor=[[Udo Hebisch]], Hanns Joachim Weinert |Titel=Halbringe. Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart |Datum=1993 |ISBN=3-519-02091-2}}
* {{Literatur |Autor=[[Thomas Ihringer]] |Titel=Allgemeine Algebra. Mit einem Anhang über Universelle Coalgebra von H. P. Gumm |Reihe=Berliner Studienreihe zur Mathematik |BandReihe=10 |Verlag=Heldermann |Ort=Lemgo |Datum=2003 |ISBN=3-88538-110-9}}
* {{Literatur |Autor=Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder |Titel=dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte |Band=Bände 1 und 2. 9. und 8. Auflage |Verlag=Deutscher Taschenbuch Verlag |ID=München 1991 und 1992, ISBN 3-423-03007-0 und ISBN 3-423-03008-9}}
* {{Literatur |Autor=[[B. L. van der Waerden]] |Titel=Algebra |TitelErg=Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. Band I |Reihe=Heidelberger Taschenbücher |BandReihe=12 |Auflage=9. |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=1993 |ISBN=978-3-642-85528-3 |DOI=10.1007/978-3-642-85527-6}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Universelle Algebra]]

Kongruenzrelation - Versionsgeschichte

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