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2024-12-14T09:14:20Z

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{{Dieser Artikel|beschreibt winkeltreue Abbildungen; für die konforme Abbildung in der Funktionentheorie siehe [[Biholomorphe Abbildung]].}}
[[Datei:Conformal map.svg|miniatur|Ein rechtwinkliges Netz und sein Bild (unten) nach einer konformen Abbildung <math>f</math>. Linienpaare, die sich unter 90° schneiden, werden abgebildet auf Linienpaare, die sich ebenfalls unter 90° schneiden.]]

Eine '''konforme Abbildung''' ist eine '''winkeltreue Abbildung'''.

Das bedeutet, dass aus einem rechtwinkligen Koordinatennetz durch eine konforme Abbildung zwar ein im Allgemeinen [[Krummlinige Koordinaten|krummliniges Koordinatennetz]] entsteht, dass aber „im Kleinen“ die rechtwinklige Netzstruktur vollständig erhalten bleibt, also insbesondere die Zwischenwinkel und die Längenverhältnisse je zweier beliebiger Vektoren.

Solche Abbildungen finden vielfache Anwendungen in der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]], u. a. in der Theorie komplizierter [[Elektrostatisches Feld|elektrostatischer Potentiale]] und der zugehörigen elektrostatischen Felder sowie in der [[Strömungsmechanik]].

== Definition ==
Eine [[lineare Abbildung]] <math>L \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> heißt ''konform'', wenn sie bijektiv ist, wenn für alle <math>v,w\in \mathbb{R}^n</math> mit <math>v\neq 0</math> und <math>w\neq 0</math>
:<math>\frac{\langle Lv, Lw \rangle}{\|Lv\|_2\|Lw\|_2}=\frac{\langle v, w \rangle}{\|v\|_2\|w\|_2}</math>
gilt und wenn ihre [[Determinante]] positiv ist. (Ist sie negativ, so heißt <math>L</math> stattdessen ''anti-konform''). Hierbei ist <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> das [[Standardskalarprodukt]] und <math>\| \cdot \|_2</math> die [[euklidische Norm]]. Mit anderen Worten erhalten (lineare) konforme oder anti-konforme Abbildungen den Betrag des Winkels zwischen zwei beliebigen Vektoren; während eine konforme die Orientierung des Winkels erhält, kehrt sie eine anti-konforme um.

Des Weiteren heißt für <math>D\subset \mathbb{R}^n</math> eine differenzierbare Abbildung <math>f:D\to \mathbb{R}^n</math> ''konform'' in einem Häufungspunkt <math>x</math> von <math>D</math>, wenn ihr [[Differential (Mathematik)|Differential]] in <math>x</math> konform ist.

Wird in der obigen Definition einer konformen linearen Abbildung auf die Forderung, dass <math>L</math> die [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] erhalte, also die Determinante positiv sei, verzichtet und die Annahme der Bijektivität durch die der Injektivität ersetzt, ergibt die Definition auch für Abbildungen <math>L:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n</math> mit <math>m<n</math> einen Sinn. Allgemeiner können dann auch beliebige [[Prähilbertraum|Innenprodukträume]] als Definitions- und Zielbereich zugelassen werden (die durchaus unendlich-dimensional sein dürfen). Handelt es sich sogar um [[Hilbertraum|Hilberträume]], ergibt auch die Definition nicht notwendigerweise linearer konformer Abbildungen Sinn, wenn das Differential im Sinne der [[Fréchet-Ableitung]] verstanden wird.

== Eigenschaften ==
* Falls <math>U</math> eine [[Offene Menge|offene Teilmenge]] der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]] <math>\mathbb C</math> ist, dann ist die [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f \colon U \to \mathbb{C}</math> konform genau dann, wenn sie [[Holomorphe Funktion|holomorph]] ist und ihre [[Differentialrechnung|Ableitung]] ungleich null auf ganz <math>U</math> ist. Die konformen Abbildungen bilden also die geometrische Veranschaulichung der komplex differenzierbaren (''analytischen'' oder ''holomorphen'') Funktionen einer komplexen Variablen (vgl. die Veranschaulichung reeller Funktionen durch ebene Kurven). Real- bzw. Imaginärteil einer solchen Funktion bzw. ihrer lokal rechtwinkligen Koordinatennetze können z. B. als [[Potential (Physik)|Potentiale]] eines elektrostatischen Feldes oder eines Strömungsfeldes interpretiert werden.<ref>[[Friedrich Hund]]: ''Theoretische Physik.'' 3 Bände, Stuttgart Teubner, zuerst 1956–1957, Band 2: ''Theorie der Elektrizität und des Lichts, Relativitätstheorie.'' 4. Auflage, 1963.</ref> Auch [[meromorphe Funktion]]en sind nützlich, weil deren Polstellen die [[Dipol (Physik)|Dipole]], [[Quadrupol]]e usw., allgemein: die [[Multipol]]e dieser Potentiale erzeugen.
* Die konformen Abbildungen des [[Minkowski-Raum]]s auf sich selbst umfassen die [[Lorentz-Transformation]]en und [[Parallelverschiebung|Translationen]], die die Metrik unverändert lassen, die [[Dilatation (Geometrie)|Dilatationen]], die die Metrik um eine glatte Funktion skalieren sowie die '''speziellen konformen Transformationen''', zu denen die [[Kreisspiegelung|Inversion]] an einer Kugeloberfläche gehört (vgl. [[Kugelwellentransformation]]).
* Wie die [[Lorentz-Gruppe|Lorentz-Transformationen]] und die [[Poincaré-Gruppe|Poincaré-Transformationen]] bilden auch die konformen Transformationen eine [[Lie-Gruppe]], die [[konforme Gruppe]].

== Physikalische Anwendungen ==
[[Datei:Zhukovsky transform.svg|mini|hochkant=1.5|Tragflügel und Kreis hängen durch eine konforme Abbildung zusammen]]
Die nebenstehende Abbildung zeigt an einem Beispiel aus dem „Flugzeugbau“, dass durch die konforme Abbildung komplizierte Kurven auf wesentlich einfachere Kurven abgebildet werden können. Das abgebildete Beispiel einer konformen Abbildung ist die [[Joukowski-Funktion]] (auch „Schukowski-Funktion“ geschrieben). Bei dieser Abbildung wird das Joukowski-Profil auf einen Kreis abgebildet. Die Geschwindigkeit, mit der etwa Luftteilchen das (zweidimensionale) Tragflügel-Profil umströmen, wird einfacher berechenbar, wenn es um die Umströmung eines Kreiszylinders geht. Damit wird plausibel, dass die konformen Abbildungen in folgenden Gebieten eine wichtige Bedeutung haben, solange man Phänomene in der zweidimensionalen Ebene untersucht:
* [[Strömungslehre]] ([[Aerodynamik]], [[Hydrodynamik]])
* [[Elektrostatik]] (vgl. das elektrostatische Feld in Analogie zu Strömungsfeldern)
* [[Wärmeleitung]]

=== Invarianz unter konformen Abbildungen ===
Im Falle des <math>d</math>-dimensionalen Minkowski-Raumes gilt: Die Zusammenhangskomponente der 1 von der Gruppe der orientierungstreuen konformen Transformationen ist isomorph zur Gruppe <math>SO(d,2)</math>, wenn <math>d>2</math> gilt. Für <math>d=2</math> ist diese Gruppe unendlichdimensional. Sie ist isomorph zu <math>\mathrm{Diff}_+(\mathbb R)\times \mathrm{Diff}_+(\mathbb R)</math>, wobei <math>\mathrm{Diff}_+(\mathbb R)</math> die unendlichdimensionale Gruppe der orientierungstreuen Diffeomorphismen von <math>\mathbb R</math> auf sich bezeichnet.

Im Falle des <math>d</math>-dimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] ist die entsprechende Gruppe isomorph zu <math>SO(d+1,1)</math>, <math>d \geq 2</math>. Im Falle <math>d=2</math> ist sie daher auch isomorph zur Gruppe der [[Möbiustransformation]]en.

[[Physikalisches System|Physikalische Systeme]], die unveränderlich unter konformen Abbildungen sind, haben eine große Bedeutung in der [[Festkörperphysik]], in der [[Stringtheorie]] und in der [[Konforme Feldtheorie|konformen Feldtheorie]].

== Konforme Abbildungen auf (semi-)riemannschen Mannigfaltigkeiten ==
Seien <math>(M,g)</math> und <math>(N,h)</math> zwei [[riemannsche Mannigfaltigkeit]]en bzw. [[Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit|semi-riemannsche Mannigfaltigkeiten]]. Die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> bezeichnen die [[Metrischer Tensor|metrischen Tensoren]]. Zwei Metriken <math>g</math> und <math>h</math> auf einer Mannigfaltigkeit <math>M</math> heißen in der [[Riemannsche Geometrie|riemannschen Geometrie]] „konform äquivalent“, falls <math>g=uh</math> mit einer auf <math>M</math> definierten positiven Funktion <math>u</math>, die ''konformer Faktor'' genannt wird. Die Klasse konform äquivalenter Metriken auf <math>M</math> heißt '''konforme Struktur.'''

Ein [[Diffeomorphismus]] <math>f\colon M\to N</math> heißt ''konform,'' falls <math>h_{f(x)}(\mathrm df_{x}(v), \mathrm df_{x}(w))=e^{\sigma(x)}\cdot g_{x}(v,w)</math> für alle Punkte <math>x\in M</math> und Vektoren <math>v,w\in T_{x}M</math> des [[Tangentialraum]]es gilt. Man drückt das auch so aus, dass die [[Rücktransport|Pullback-Metrik]] auf <math>M</math> konform äquivalent zur Metrik von <math>M</math> ist. Die Potenz <math>e^{\sigma(x)}</math> soll andeuten, dass der Faktor stets größer als 0 ist, dass es sich also um einen konformen Faktor handelt. Ein Beispiel einer konformen Abbildung ist die [[stereographische Projektion]] der Kugeloberfläche auf die [[projektive Ebene]] (Ebene ergänzt durch einen Punkt im Unendlichen).

Die konformen Abbildungen einer Mannigfaltigkeit in sich selbst werden von [[Konformes Killing-Vektorfeld|konformen Killing-Vektorfeldern]] erzeugt.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Eberhard Freitag]], Rolf Busam
|Titel=Funktionentheorie 1
|Auflage=3., neu bearbeitete und erweiterte
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2000
|ISBN=3-540-67641-4
}}
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Conformal mapping}}
* ''[https://3d-xplormath.org/ Programm mit Visualisierung konformer Abbildungen, auch eigene Formeln.]'' Bei: ''3D-XplorMath.org.''

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Geometrische Abbildung]]

Konforme Abbildung - Versionsgeschichte

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