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In der [[Ordnungstheorie]] und [[Mengenlehre]] findet die Eigenschaft '''konfinal''' (auch: '''kofinal''', engl. ''cofinal'') Anwendung bei topologischen [[Netz (Topologie)#Teilnetz|Teilnetzen]], so auch bei den [[Proendliche Zahl|proendlichen Zahlen]].
Der davon abgeleitete Begriff der '''Konfinalität''' (auch: '''Kofinalität''', {{enS|cofinality}}) bezeichnet ein spezielles Attribut von [[Ordnungsrelation#Halbordnung|halbgeordneten]] Teilmengen, nämlich eine [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]].

Der Begriff wurde von [[Felix Hausdorff]] eingeführt.

== Definitionen ==
* Sei <math>\lambda</math> eine durch <math>\leq</math> [[Ordnungsrelation#Halbordnung|partiell geordnete]] Menge und <math>X\subseteq\lambda</math>. Die Menge <math>X</math> heißt '''konfinal (kofinal) in''' <math>\lambda</math> oder auch '''konfinal in''' <math>(\lambda,\leq)</math>, falls zu jedem <math>\mu \in \lambda</math> ein <math>\xi \in X</math> mit <math>\mu\leq\xi</math> existiert.

* Die ''Konfinalität'' von <math>\lambda</math> wird mit <math>\operatorname{cf}(\lambda)</math> bezeichnet und ist definiert als die kleinste [[Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer konfinalen Teilmenge, d. h.
::<math>\operatorname{cf}(\lambda) \; :=\min_{X\subseteq\lambda\text{ konfinal}} |X|</math>.

* Für eine [[Ordinalzahl]] <math>\lambda</math> und damit auch für eine jede [[Kardinalzahl (Mathematik)#Definition|Kardinalzahl]] <math>\lambda</math> hat man folgende Begriffsbildung:
::Falls <math>\operatorname{cf}(\lambda) < \lambda</math>, so heißt <math>\lambda</math> '''singulär.'''
::Falls <math>\operatorname{cf}(\lambda) = \lambda</math>, so heißt <math>\lambda</math> '''regulär.'''

=== Begriffsbildung im Sinne von Hausdorff ===
In Hausdorffs ''[[Grundzüge der Mengenlehre]]'' findet man die eine allgemeinere Begriffsbildung zur Konfinalität, welche im Falle, dass eine [[linear geordnete Menge]] vorliegt, mit der obigen übereinstimmt. Dieser allgemeinere Begriff lässt sich folgendermaßen darstellen:<ref name="FH-001">Felix Hausdorff: ''Grundzüge der Mengenlehre.'' Reprinted, New York, 1965, S. 140.</ref><ref name="EK-001">Erich Kamke: ''Mengenlehre.'' 1971, S. 167–168.</ref>
* Ist <math>(S, \preccurlyeq)</math> eine [[nichtleer]]e [[teilweise geordnete Menge]] und <math>T \subseteq S</math> eine darin liegende nichtleere [[Teilmenge]], so sagt man, '''<math>S</math> sei mit <math>T</math> konfinal''', wenn '''kein Element <math>s \in S</math>''' existiert, welches [[echt größer]] ist als jedes Element <math>t \in T</math>.<ref>In Bezug auf die vorliegende [[Ordnungsrelation]] <math>\preccurlyeq</math>.</ref>

== Folgerungen ==
* Die [[Relation (Mathematik)|Relation]]
::<math>X \mathrel{\overset{\underset{\text{cof}}{}}{\subseteq}} \lambda \quad :\Longleftrightarrow \quad X \subseteq \lambda \; \; \wedge \; \; X</math> ist kofinal in <math>\lambda</math>
:ist [[Transitive Relation|transitiv]] und [[Reflexive Relation|reflexiv]], also eine [[Quasiordnung]].
::Transitivität: Ist <math>X \mathrel{\overset{\underset{\text{cof}}{}}{\subseteq}} \lambda</math> und {{nowrap|<math>Y \mathrel{\overset{\underset{\text{cof}}{}}{\subseteq}} X</math>,}} dann ist erstens {{nowrap|<math>Y \subseteq X \subseteq \lambda</math>.}} Zweitens gibt es zu jedem <math>\xi \in X</math> ein <math>\eta \in Y</math> mit {{nowrap|<math>\xi \le \eta</math>.}} Ist nun {{nowrap|<math>\mu \in \lambda</math>,}} dann gibt es ein <math>\xi \in X</math> mit <math>\mu\leq\xi</math>, also auch ein {{nowrap|<math>\eta \in Y</math> mit <math>\mu \le \xi \le \eta</math>.}} Zusammengenommen folgt {{nowrap|<math>Y \mathrel{\overset{\underset{\text{cof}}{}}{\subseteq}} \lambda </math>.}}
::Die Reflexivität ist trivial.
* Die Konfinalität ist genau dann <math>0</math>, wenn die partiell geordnete Menge leer ist.
* Die Konfinalität ist genau dann <math>1</math>, wenn die Ordnung ein [[Größtes Element|Maximum]] besitzt, etwa wenn es sich um eine Nachfolgerordinalzahl handelt.
* Für nicht-leere partiell geordnete Mengen ohne [[Maximales Element|maximale Elemente]] ist die Konfinalität mindestens [[Abzählbare Menge|abzählbar]], also <math>\aleph_0</math> ''(siehe [[Aleph-Funktion]]),'' und höchstens die Kardinalität der Menge selbst, denn jede partiell geordnete Menge liegt konfinal in sich selbst.
* Für totalgeordnetes <math>\lambda</math> gilt <math>\operatorname{cf}(\operatorname{cf}(\lambda))=\operatorname{cf}(\lambda)</math>, das heißt, <math>\operatorname{cf}(\lambda)</math> ist regulär.
* Für eine [[Ordinalzahl#Limes- und Nachfolgerzahlen|Limeszahl]] <math>\lambda</math> (aufgefasst als Von-Neumann-Ordinalzahl) ist eine Teilmenge <math>X</math> genau dann konfinal, wenn ihre [[Vereinigung (Mengenlehre)|Vereinigung]] <math>\textstyle\bigcup X</math> gleich <math>\lambda</math> ist.
* Besitzt eine unendliche Menge <math>K</math> reguläre Kardinalität <math>\kappa</math>, so benötigt man mindestens <math>\kappa</math> viele Mengen mit Mächtigkeit kleiner als <math>\kappa</math>, um <math>K</math> als Vereinigung dieser Mengen darzustellen.
* Für eine Limeszahl <math>\lambda</math> ist eine Teilmenge genau dann konfinal, wenn sie als [[Netz (Topologie)|Netz]], versehen mit der natürlichen Ordnung, in der [[Ordnungstopologie]] von <math>\lambda+1</math> gegen <math>\lambda</math> konvergiert.

== Beispiele ==
* Die Konfinalität von <math>\R</math> mit der natürlichen Ordnung ist <math>\aleph_0</math>, denn die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] bilden eine abzählbare konfinale Teilmenge.
* <math>\aleph_0</math> ist regulär.
* Schränkt man ein Netz unter Übernahme der Ordnung auf eine konfinale Teilmenge ein, erhält man ein Teilnetz (jedoch muss nicht jedes Teilnetz diese Gestalt besitzen).
* Die Kardinalzahl <math>\aleph_\omega</math> ist singulär. Es gilt <math>\operatorname{cf}(\aleph_\omega) = \aleph_0</math>, denn <math>\{\aleph_i \mid i\in\N\}</math> ist eine konfinale Teilmenge.
* Ist <math>\alpha</math> eine [[Ordinalzahl#Limes- und Nachfolgerzahlen|Nachfolgerordinalzahl]] und gilt das [[Auswahlaxiom]], so ist <math>\aleph_\alpha</math> stets regulär. Die Frage, ob es neben <math>\aleph_0</math> weitere und damit überabzählbare, reguläre Limeskardinalzahlen gibt, ist Kern der [[Große Kardinalzahl|Große-Kardinalzahl-Axiome]], d. h. der Axiome über die Existenz großer Kardinalzahlen.

== Literatur ==
* Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: ''Mengenlehre für den Mathematiker'' (= ''Vieweg-Studium.'' 58 ''Grundkurs Mathematik.''). Vieweg, Braunschweig u. a. 1985, ISBN 3-528-07258-X.
* [[Thomas Jech]]: ''Set Theory.'' 3rd millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.
* {{Literatur
|Autor=[[Pavel Aleksandrov|P. S. Alexandroff]]
|Titel=Lehrbuch der Mengenlehre
|TitelErg=Übersetzt aus dem Russischen von Manfred Peschel, Wolfgang Richter und Horst Antelmann
|Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]]
|Ort=Thun und Frankfurt am Main
|Datum=1994
|ISBN=3-8171-1365-X}}
* {{Literatur
|Autor=[[Egbert Harzheim]]
|Titel=Ordered Sets
|Reihe=Advances in Mathematics
|BandReihe=7
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|Ort=New York
|Datum=2005
|ISBN=0-387-24219-8
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim&s5=Sets&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2127991 MR2127991]}}
* {{Literatur
|Autor=Felix Hausdorff
|Titel=Grundzüge der Mengenlehre
|TitelErg=Reprinted, New York, 1965
|Verlag=[[Chelsea Publishing Company]]
|Ort=New York, N. Y.
|Datum=1965}}
* {{Literatur
|Autor=[[Erich Kamke]]
|Titel=Mengenlehre
|Reihe=Sammlung Göschen
|BandReihe=999/999a
|Auflage=7.
|Verlag=[[Walter de Gruyter]]
|Ort=Berlin, New York
|Datum=1971}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Konfinalitat}}
[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]

Konfinalität - Versionsgeschichte

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